Вишка. Клочко

20 . Якщо поміняти місцями два рядки або стовпці визначника, то визначник змінить знак на протилежний.

Ці властивості доводяться безпосередньо, розкривши кожний визначник за формулою (1.6.) і порівнявши знайдені результати.

30 . Якщо у визначнику один із рядків або стовпців складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

40 . Визначник з двома однаковими рядками або стовпцями дорівнює нулю.

Ці властивості легко перевіряються безпосередньо.

50 . Якщо елементи двох рядків або стовпців визначника відповідно пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Дійсно, нехай у визначнику відповідні елементи рядків пропорційні,

тобто а11 = а12 . Тоді за основною властивістю пропорції матимемо, що

а21 а22

a11a22 = a12a21 , звідси a11a22 − a12a21 = 0 , що рівносильно тому, що detA = 0.

60 . Якщо всі елементи якого-небудь рядка або стовпця мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

Дійсно, нехай в другому стовпці є спільний множник m . Тоді

70 . Якщо кожний елемент будь-якого рядка або стовпця є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, з яких перший містить в цьому рядку або стовпці перші доданки, а другий – другі доданки, а решта рядків або стовпців збігається із рядками або

Доведення проводиться безпосередньо, розкривши за формулою (1.6.) визначники лівої і правої частини і порівнявши результати.

80 . Визначник не зміниться, якщо до елементів якого-небудь рядка або стовпця додати відповідні елементи іншого рядка або стовпця, помножені на одне і те ж число.

10

Розв’язування.

- 3 × (-1) ×1= 4 -12 + 0 + 4 + 0 + 3 = -1.

Зауваження. Всі властивості визначників матриці 2-го порядку мають місце і для визначників матриці 3-го порядку.

Доведення цих властивостей проводиться теж безпосередньо перевіркою.

Зауважимо, що властивість 8 0 зручно використовувати для обчислення визначника матриці, утворюючи нулі у рядку або стовпці визначника.

Покажемо це на прикладах.

б) утворимо нулі в першому порядку другого визначника на місці другого і третього елементів. Для цього до другого і третього стовпців додамо відповідні елементи першого стовпця, помножені відповідно на 5 і

Відповідь: –1; 5.

1.3.3 Поняття мінора і алгебраїчного доповнення. Теореми розкладання і анулювання

12

Нехай аіj – довільний елемент цієї матриці, що стоїть на перетині

і − го рядка і j – го стовпця. Викреслимо рядок і стовпець, на перетині яких стоїть елемент аіj , тоді дістанемо матрицю, порядок якої на одиницю

менший, ніж порядок матриці А.

Визначник цієї матриці і називається мінором елемента аіj .

Означення. Мінором елемента матриці третього порядку називається визначник матриці другого порядку, що утворюється з даної матриці викреслюванням рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться даний елемент.

Мінор елемента аіj позначається символом Міj .

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента аіj матриці

де і – номер рядка, j – номер стовпця, на перетині яких знаходиться даний елемент аіj .

Алгебраїчні доповнення мають ряд важливих властивостей, які сформулюємо у вигляді теорем.

Теорема 1 (про розкладання визначника). Визначник матриці дорівнює сумі добутків всіх елементів будь-якого рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення,

тобто detА = а11А11 + а12 А12 + а13 А13 , або detА = а13А13 + а23А23 + а33 А33 , або detА = а11A11 + а21А21 + а31А31 і.т.д.

Доведення. Доведення цієї теореми здійснюється безпосередньо. Для визначеності доведемо перше співвідношення:

=а11(а22а33 − а23а32 )− а12 (а21а33 − а23а31 )+ а13 (а21а32 − а22а31 )=

=а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 − а11а23а32 − а12а21а33 − а13а22а31 = detА,

якщо зіставити з формулою (1.9). Аналогічно доводиться решта

співвідношень.

Теорема 2 (про анулювання визначника). Сума добутків всіх елементів будь-якого рядка або стовпця цього визначника на алгебраїчні

13

Означення. Визначником матриці n-го порядку називається число,

що дорівнює сумі добутків всіх елементів першого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

Зауважимо, що мінором елемента матриці п-го порядку є визначник матриці (n − 1)-го порядку, який утворюється викреслюванням рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться даний елемент.

Зауваження. Всі властивості визначників матриці 3-го порядку мають

Зауважимо, що більш зручним способом обчислення визначників вищих порядків є метод утворення нулів у певному рядку або стовпці, а

далі використовується теорема про розкладання визначника.

14

Застосовуємо вказаний спосіб для обчислення даного визначника. Утворимо нулі в першому рядку на місці елементів 2 і − 3, додавши до

другого і четвертого стовпців відповідні елементи першого стовпця, помножені відповідно на − 2 і 3, дістанемо:

1.4 Поняття оберненої матриці і її знаходження

Нагадаємо, що два числа а і b називаються оберненими, якщо а b=1, звідси b = 1а = а−1 . Отже, числа а і а−1 обернені.

За аналогією з цим введемо поняття оберненої матриці, яка вводиться лише для квадратної матриці.

Означення. Матриця В називається оберненою до квадратної

Теорема 1. Якщо квадратна матриця має обернену матрицю, то вона невироджена.

15

третього порядку. Покажемо, що А-1А =Е. На підставі теорем розкладання і анулювання визначника будемо мати:

Розв’язування. Оскільки detА =10 ¹ 0, то існує обернена матриця.

16

Складемо приєднану матрицю до А, для цього знайдемо алгебраїчні