1.2 Згинання з крученням (bending combined with torsion)

1.2.1 Короткі теоретичні відомості

Надалі розглянемо лише вали круглого поперечного перерізу.

Сили, що діють на вали (тиск на зуби шестерень, натяг ременів, власна вага вала та шківів тощо), спричинюють у поперечних перерізах валів такі внутрішні силові фактори: М_кр = М_х; М_у; М_z; Q_y та Q_z. Отже, в будь-якому поперечному перерізі одночасно виникають нормальні напруження від згинання в двох площинах, а також дотичні напруження від кручення та згинання.

Для розрахунку вала насамперед треба визначити небезпечні перерізи. З цією метою слід побудувати епюри згинальних моментів М_у, М_z та крутного моменту М_х.

При згинанні вала круглого або кільцевого перерізу в кожному з його перерізів відбувається пряме згинання під дією результуючого згиналь­ного моменту (рис. 1.10)

. (1.10)

Положення нейтральної лінії та епюри нормальних напружень σ від результуючого згинального моменту М показані на рис. 1.11. Напруження змінюються пропорційно відстані точок від нейтральної лінії.

Очевидно, небезпечними точками є точки А та В, які найбільш віддалені від нейт­ральної лінії, – в них одночасно і нормальні напруження від згинання, і дотичні напруження мають найбільші значення:

; (1.11)

. (1.12)

Біля найбільш небезпечної точки В виділимо елемент (рис. 1.12). По чотирьох його гранях діють дотичні напруження, а до двох із цих граней прикладені ще й нормальні напруження. Решта граней вільні від напру­жень. Отже, при згинанні з крученням елемент у небезпечній точці пере­буває в плоскому напруженому стані. Аналогічні напруження на гранях у брусі, що згинається.

Зазначимо, що в даному випадку складного напруженого стану впливом дотичних напружень від поперечних сил нехтуємо, оскільки вони знач­но менші, ніж дотичні напруження, спричинені крученням.

Для перевірки міцності елемента, який виділено біля небезпечної точ­ки, треба, вибравши відповідну теорію міцності, скористатися однією з формул, наприклад формулою:

за IV теорією

. (1.13)

Підставляючи у формулу (1.13) вирази (1.11), (1.12) для напружень та враховуючи, що , матимемо

. (1.14)

Чисельник цієї формули є зведеним моментом, дія якого еквівалент­на спільній дії трьох моментів (згідно з вибраною теорією міцності). Отже,

. (1.15)

У разі потреби так само можна здобути формули для зведених моментів і за іншими теоріями міцності.

Неважко помітити, що тепер умову міцності (1.14) можна замінити однією простою формулою

. (1.16)

Отже, при спільній дії згинання з крученням стрижні круглого пере­різу розраховують на згинання від зведеного моменту М_зв.

Розв'язуючі нерівність (1.16) відносно W, дістанемо формули для визначення моменту опору:

(1.17)

та діаметра круглого вала:

. (1.18)

Зазначимо, що наведені формули цілком придатні й для стрижнів кільцевого перерізу.

Приклад. На вал (рис. 1.13) насаджені три зубчастих колеса. Колеса наванта­жені силами Р₁ = 4000Н, Р₂= 3000Н, Р₃= 2000Н, причому сила Р₁ вертикальна, а сили Р₂ та Р₃ горизонтальні. Діаметри зубчастих коліс такі: D₁ = 100 мм; D₂ = 300 мм; D₃ = 250 мм. Допустимі напру­ження [σ] = 60 МПа. Доберемо діаметр вала за IV теорією міцності.

Замінимо діюче навантаження статич­но еквівалентною системою сил.

Перенесемо сили Р₁, Р₂ та Р₃ на вісь вала, замінюючи кожну з них силою, при­кладеною в точках В, С або D відповідно, й скручувальною парою сил ;; відповідно. От­же, дістаємо розрахункову схему (рис. 1.13).

На схемі наведено як значення прикладе­них зовнішніх навантажень (Р_і, М_кі), так і значення спричинених ними опорних ре­акцій.

Розглядаючи окремо сили в горизонтальній та вертикальній площинах (рис. 1.14, а та б), будуємо епюри згинальних моментів. Для побудови сумарної епюри моментів М визначаємо ординати в характерних точках за формулою (1.10):

у перерізі В

Н·м;

у перерізі С

Н·м;

у перерізі D

Н·м.

Епюру М, побудовану за цими даними, наведено на рис. 1.14, в. Як уже зазначало­ся, на ділянках ВС та СD така епюра має завищені значення ординат (дійсні значення показано штриховою лінією).

Розглядаючи моменти, що діють на вал, будуємо епюру крутних моментів (рис. 1.14, г).

Порівнюючи епюри М та М_кр, знаходимо, що небезпечним є переріз 1 – 1 ліворуч від точки С, де одночасно діють М = 714,2 Н∙м та М_кр = 250 Н∙м.

Згідно з IV теорією міцності, зведений момент визначаємо за формулою (1.15):

Н∙м.

Підставляючи зведений момент у формулу (1.17), дістаємо потрібний осьовий момент опору:

см³

і, поклавши , обчислюємо потрібний діаметр вала:

см.

Округливши до найближчого стандартного діаметра, вибираємо d = 50 мм.