Контр. работа 2011

Итоговая контрольная работа

Вариант 1

Тема 1. Элементы теории множеств

Задача 1

Приведите определение термина «область определения функции» в терминах теории множеств

Н айдите область определения функции. Покажите результат аналитически и на числовой оси

Задача 2

Дайте определение термина «числовая последовательность» с точки зрения теории множеств.

Д ана числовая последовательность, n-й элемент которой равен

Напишите первые семь элементов числовой последовательности. Приведите точечный график элементов последовательности. Оцените предел последовательности при .

Тема 2. Прогрессии. Проценты

Задача 1

Найдите разность, первые шесть членов арифметической прогрессии, заданной двумя членами: a₂ = 12,

a₁₀ = -4. Постройте точечный график первых шести членов прогрессии. Как изменяется n-ный член прогрессии с увеличением n?

Задача 2

Найдите четвертый член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, заданной ее членами:

b₂ = 6, b₅ = 162. Как изменяется n-й член прогрессии с увеличением n?

Задача 3

Земельный участок имеет форму квадрата. Оцените ( в процентах) изменение площади участка, если :

а) одна из сторон увеличится на 20%; б) обе стороны уменьшатся на 10%

Задача 4

При уплате в Сбербанке штрафа по квитанции ГИБДД автолюбителю за просрочку начислили пеню в размере 6%. Каков был размер штрафа, если всего пришлось заплатить 84 руб. 80 коп.?

Задача 5

Вкладчик вложил в Сбербанк сумму в размере 7000 $ при годовой процентной ставке р% =10%

Вкладчику было предложено выбрать одну из трех схем начисления процентов:

• Схему простых процентов;

• Схему сложных процентов с ежегодным начислением процентов

• Схему сложных процентов с ежемесячным начислением процентов

Какую сумму может получить вкладчик по каждой из предложенных схем: а) через шесть месяцев; б)через год; в) через полтора года .

Приведите необходимые расчетные формулы, результаты вычислений. Сделайте вывод о целесообразности применения каждой из схем.

Тема 3. Основы математического анализа

Задача 1

Н айдите пределы выражений:

Задача 2

Пользуясь таблицей формул дифференцирования, найдите первую производную функции.

Какие методы дифференцирования Вы использовали

Задача 3

Что такое дифференциал функции? Каков его геометрический смысл?

Найдите дифференциал функции:

Покажите последовательность действий, необходимых для вычисления дифференциала

Задача 4

Н айдите следующие неопределенные интегралы. Объясните, по какому методу вычислялся каждый интеграл

Задача 5

О пределенный интеграл – дайте определение. Вычислите определенный интеграл. Приведите метод вычисления.

Задача 6

В ычислите площадь, ограниченную параболой,

прямыми x = -1 и x = 2 и осью абсцисс. Приведите график функции, заштрихуйте вычисляемую площадь

Задача 7

Дана функция

Найдите:

1. Область определения функции.

2. Точки разрыва и вертикальные асимптоты. Определите интервалы непрерывности.

3. Исследуйте функцию на четность, нечетность, периодичность.

4. Пределы функции на границах области определения . Совместите с определением наклонных асимптот

5. Первую производную, точки экстремумов и интервалы монотонности.

6. Вторую производную, точки перегиба и характер выпуклости.

7. Точки пересечения функции с осями координат OX и оy (если это возможно).

8. Постройте график функции.

9. Вычислите площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью OX и прямыми x = 0 и x = 2.

Ответы на основные вопросы:

• минимум функции y_min(0) = 2; максимум функции y_max(-4) = -6

• точек перегиба нет

• вертикальная асимптота x = -2;

• наклонная асимптота y = x;

• площадь S = 2 + 4ln3 .

Вариант 2

Тема 1. Теория множеств

Задача 1

Приведите определение термина «область определения функции» в терминах теории множеств

Н айдите область определения функции. Покажите результат аналитически и на числовой оси.

Задача 2

Дайте определение термина «числовая последовательность» с точки зрения теории множеств

Д ана числовая последовательность, n-й элемент которой равен

Напишите первые пять элементов последовательности. Приведите точечный график последовательности.

Оцените предел последовательности при

Тема 2. Прогрессии. Проценты

Задача 1

Найдите разность, первые шесть членов арифметической прогрессии, заданной двумя членами:a₄ = 8, a₁₀ = 2. Постройте точечный график первых шести членов прогрессию Как изменяется n-ный член прогрессии с увеличением n?

Задача 2

Найдите пятый член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, заданной ее членами: b₃ = 96, b₆ = 12. Как изменяется n-й член прогрессии с увеличением n?

Задача 3

Земельный участок имеет форму прямоугольника со сторонами а и 2а. Как изменится (в процентах) периметр участка, если: а) каждая из сторон увеличится на 10%; б) каждая из сторон уменьшится вдвое.

Задача 4

В январе завод выполнил 104% месячного плана выпуска продукции, а в феврале дал продукции на 5% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил а) двухмесячный план выпуска продукции; среднемесячный план выпуска продукции.

Задача 5

Вкладчик вложил в банк СБ сумму в размере 100000 руб. при годовой процентной ставке р%=30%.

Вкладчику было предложено выбрать одну из трех схем начисления процентов:

• Схему простых процентов;

• Схему сложных процентов с ежегодным начислением процентов

• Схему сложных процентов с ежемесячным начислением процентов

Какую сумму может получить вкладчик по каждой из предложенных схем: а) через восемь месяцев; б) через год; в) через год и шесть месяцев года .

Приведите необходимые расчетные формулы, результаты вычислений. Сделайте вывод о целесообразности применения каждой из схем.

Тема 3. Основы математического анализа

Задача 1

Н айдите пределы выражений

Задача 2

П ользуясь таблицей формул дифференцирования, найдите первую производную функции

Какие методы дифференцирования Вы использовали.

Задача 3

Н айдите дифференциал функции:

Ответьте на вопросы: дифференциал - аналитический и геометрический смысл; последовательность действий, необходимых для вычисления дифференциала.

Задача 4

Н айдите следующие неопределенные интегралы. Объясните, по какому методу вычислялся каждый интеграл

З адача 5. Определенный интеграл – дайте определение. Вычислите определенный интеграл

Примечание:

Задача 6

В ычислите площадь, ограниченную параболой

прямой y1 = -2 и прямыми х=-1 и х=1. Приведите графики функций y и y1, заштрихуйте вычисляемую площадь.

Задача 7

Дана функция

Найдите:

1. Область определения функции.

2. Точки пересечения функции с осью OX (если это возможно).

3. Исследуйте функцию на четность, нечетность, периодичность.

4. Точки разрыва.

5. Вертикальные и наклонные асимптоты.

6. Интервалы монотонности.

7. Точки экстремумов.

8. Точки перегиба и характер выпуклости.

9. Постройте график функции.

10. Вычислите площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью OX и прямыми x = 0 и x = 1.

Ответы на основные вопросы:

• минимум функции y_min(0) = 0;

• максимум функции y_max(-2) = -4;

• точки перегиба: нет

• наклонная асимптота y =x-1;

• площадь S = ln2 -1/2.