cgw_Linear_Algebra_and_Analytic_Geometry
.pdfЗАДАНИЯ ДЛЯ РГР №1-1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Даны матрицы A и B . Найти A B , B A , 2AT B .
2. Решить систему уравнений A X B : а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом.
3. Найти ранг матрицы: а) по определению; б) используя элементарные преобразования.
4. Даны векторы a , b , c . Найти:
а) скалярное произведение векторов a и b и угол между ними; б) проекцию вектора a b на направление вектора c ;
в) векторное произведение векторов a и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;
г) смешанное произведение векторов a , b , c .
5. Даны вершины A , B , C треугольника. Найти:
а) уравнение и длину медианы AM ; б) уравнение и длину высоты AD ; в) угол A треугольника ABC .
6. Даны: точка A , уравнения прямой L и плоскости а) угол между прямой и плоскостью; б) расстояние от точки до прямой; в) расстояние от точки до плоскости;
г) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно данной плоскости; д) уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно прямой;
е) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно данной прямой;
ж) уравнение плоскости, проходящей через точку A параллельно данной плоскости; з) уравнение плоскости, проходящей через точку A и данную прямую.
7. Даны точки A , B , C , D . Найти: а) площадь треугольника ABC ;
б) объем пирамиды ABCD ; в) уравнение плоскости ABC ; г) уравнение прямой AD .
8. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать ее. Найти координаты вершин и фокусов.
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
|
A |
2 |
1 |
; B |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
2. А = 1 2 3 |
|
|
; В = |
4 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
7 |
8 |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
A |
1 |
2 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
3 |
|
|
7 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1;2;1 ; |
|
|
2;3; 1 ; |
|
|
5;0;0 . |
||||||||||
4. |
|
a |
|
b |
c |
||||||||||||||
5. |
|
A 1;2 ; B 5;2 ; C 3;0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
|
A 1;2;1 ; |
L : |
x 1 |
|
|
y |
|
z 1 |
; P : x 4y 8z 5 0 . |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
12 |
|
||
7. |
|
A 1;3;1 ; |
B 0;1; 1 ; |
C 9;1; 1 ; D 3;1;2 . |
|||||||||||||||
8. а) 4x2 y2 16 ; |
|
б) x2 y2 6x 4y 3 0 ; в) 4x2 3y2 12 . |
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РГР №1-1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Даны матрицы A и B . Найти A B , B A , 2AT B .
2. Решить систему уравнений A X B : а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом.
3. Найти ранг матрицы: а) по определению; б) используя элементарные преобразования.
4. Даны векторы a , b , c . Найти:
а) скалярное произведение векторов a и b и угол между ними; б) проекцию вектора a b на направление вектора c ;
в) векторное произведение векторов a и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;
г) смешанное произведение векторов a , b , c .
5. Даны вершины A , B , C треугольника. Найти:
а) уравнение и длину медианы AM ; б) уравнение и длину высоты AD ; в) угол A треугольника ABC .
6. Даны: точка A , уравнения прямой L и плоскости а) угол между прямой и плоскостью; б) расстояние от точки до прямой; в) расстояние от точки до плоскости;
г) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно данной плоскости; д) уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно прямой;
е) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно данной прямой;
ж) уравнение плоскости, проходящей через точку A параллельно данной плоскости; з) уравнение плоскости, проходящей через точку A и данную прямую.
7. Даны точки A , B , C , D . Найти: а) площадь треугольника ABC ;
б) объем пирамиды ABCD ; в) уравнение плоскости ABC ; г) уравнение прямой AD .
8. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать ее. Найти координаты вершин и фокусов.
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|||
1. A |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
5 |
; |
B |
3 |
|
1 |
4 |
. |
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
1 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. А = |
|
2 3 |
|
2 |
; В = |
|
0 |
. |
|
|
|||||
|
|
4 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
A |
7 |
5 |
1 |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4.a 1; 1;3 ; b 0;3;4 ; c 4;0;3 .
5.A 1;0 ; B 6;0 ; C 3; 2 .
6. |
A 2;1;0 ; |
L : |
x 3 |
|
|
y 2 |
|
z |
|
; P : 2x 4y 12z 4 0 . |
|
|
|
8 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
||||
7. |
A 1;3;1 ; B 9;1; 1 ; |
C 0;1; 1 ; |
D 3;1;2 . |
||||||||
8. а) x2 4y2 |
16 ; |
|
б) x2 y2 x y 0,5 0 ; в) 2x2 3y2 12 . |
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РГР №1-1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Даны матрицы A и B . Найти A B , B A , 2AT B .
2. Решить систему уравнений A X B : а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом.
3. Найти ранг матрицы: а) по определению; б) используя элементарные преобразования.
4. Даны векторы a , b , c . Найти:
а) скалярное произведение векторов a и b и угол между ними; б) проекцию вектора a b на направление вектора c ;
в) векторное произведение векторов a и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;
г) смешанное произведение векторов a , b , c .
5. Даны вершины A , B , C треугольника. Найти:
а) уравнение и длину медианы AM ; б) уравнение и длину высоты AD ; в) угол A треугольника ABC .
6. Даны: точка A , уравнения прямой L и плоскости а) угол между прямой и плоскостью; б) расстояние от точки до прямой; в) расстояние от точки до плоскости;
г) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно данной плоскости; д) уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно прямой;
е) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно данной прямой;
ж) уравнение плоскости, проходящей через точку A параллельно данной плоскости; з) уравнение плоскости, проходящей через точку A и данную прямую.
7. Даны точки A , B , C , D . Найти: а) площадь треугольника ABC ;
б) объем пирамиды ABCD ; в) уравнение плоскости ABC ; г) уравнение прямой AD .
8. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать ее. Найти координаты вершин и фокусов.
Вариант 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. A |
|
1 |
5 |
|
; B |
|
1 |
0 |
. |
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
9 |
|
|
|||
2. А = 1 2 |
2 |
; В = |
|
3 |
.. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3. |
A |
3 |
2 |
1 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
4 |
7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3; 3;1 ; |
|
|
1;2;5 ; |
|
|
4;0; 3 . |
|||||||
4. |
a |
b |
|
c |
|||||||||||
5. |
A 4;0 ; B 9;0 ; |
C 6; 2 . |
|
||||||||||||
6. |
A 1;1;3 ; |
L : |
x 1 |
|
y |
|
z 1 |
; |
P : 2x y 2z 5 0 . |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4 |
0 |
|
3 |
|
|
|||||||
7. |
A 3;6;6 ; |
B 0;0;0 ; C 27;0;0 ; D 9;0;9 . |
|||||||||||||
8. а) 4x2 9y2 25 ; |
|
|
б) |
x2 y2 |
x y 0,5 0 ; в) 4x2 9y2 25 . |
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РГР №1-1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Даны матрицы A и B . Найти A B , B A , 2AT B .
2. Решить систему уравнений A X B : а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом.
3. Найти ранг матрицы: а) по определению; б) используя элементарные преобразования.
4. Даны векторы a , b , c . Найти:
а) скалярное произведение векторов a и b и угол между ними; б) проекцию вектора a b на направление вектора c ;
в) векторное произведение векторов a и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;
г) смешанное произведение векторов a , b , c .
5. Даны вершины A , B , C треугольника. Найти:
а) уравнение и длину медианы AM ; б) уравнение и длину высоты AD ; в) угол A треугольника ABC .
6. Даны: точка A , уравнения прямой L и плоскости P . Найти: а) угол между прямой и плоскостью; б) расстояние от точки до прямой; в) расстояние от точки до плоскости;
г) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно данной плоскости; д) уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно прямой;
е) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно данной прямой;
ж) уравнение плоскости, проходящей через точку A параллельно данной плоскости; з) уравнение плоскости, проходящей через точку A и данную прямую.
7. Даны точки A , B , C , D . Найти: а) площадь треугольника ABC ;
б) объем пирамиды ABCD ; в) уравнение плоскости ABC ; г) уравнение прямой AD .
8. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать ее. Найти координаты вершин и фокусов.
Вариант 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
|
A |
1 |
|
|
|
|
; |
B |
0 |
|
|
1 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. А= |
2 |
3 |
1 |
; В= |
|
8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
7 |
1 |
5 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3;0;1 ; |
|
|
2;4;3 ; |
|
|
2; 6;3 . |
|
|||||||||||||||
4. |
|
a |
b |
c |
|
||||||||||||||||||||
5. |
|
A 3;5 ; B 2;4 ; |
C 5;3 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6. |
|
A 2;1;0 ; |
L : |
x 1 |
|
|
y |
|
|
z 1 |
; |
P : 8x 4y z 13 0 . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
7. |
|
A 2;3;1 ; B 1;1; 1 ; C 10;1; 1 ; |
D 4;1;2 . |
|
|||||||||||||||||||||
8. а) x2 y2 7 0 ; |
б) x2 y2 2x 2y 2 0 ; в) 4x2 |
y2 |
4 . |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РГР №1-1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Даны матрицы A и B . Найти A B , B A , 2AT B .
2. Решить систему уравнений A X B : а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом.
3. Найти ранг матрицы: а) по определению; б) используя элементарные преобразования. 4. Даны векторы a , b , c . Найти:
а) скалярное произведение векторов a и b и угол между ними; б) проекцию вектора a b на направление вектора c ;
в) векторное произведение векторов a и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;
г) смешанное произведение векторов a , b , c .
5. Даны вершины A , B , C треугольника. Найти:
а) уравнение и длину медианы AM ; б) уравнение и длину высоты AD ; в) угол A треугольника ABC .
6. Даны: точка A , уравнения прямой L и плоскости а) угол между прямой и плоскостью; б) расстояние от точки до прямой; в) расстояние от точки до плоскости;
г) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно данной плоскости; д) уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно прямой;
е) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно данной прямой;
ж) уравнение плоскости, проходящей через точку A параллельно данной плоскости; з) уравнение плоскости, проходящей через точку A и данную прямую.
7. Даны точки A , B , C , D . Найти: а) площадь треугольника ABC ;
б) объем пирамиды ABCD ; в) уравнение плоскости ABC ; г) уравнение прямой AD .
8. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать ее. Найти координаты вершин и фокусов.
Вариант 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
5 |
0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|||||
1. A |
1 |
3 |
|
; |
B |
2 |
2 |
3 |
. |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. А= |
7 4 |
|
8 |
; В= |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
5 3 4 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2; 3;0 ; |
|
1;4; 4 ; |
|
|
2;2;1 . |
|
|||||||||||||
4. |
|
a |
b |
c |
|
|||||||||||||||||
5. |
|
A 1;2 ; |
|
B 3;2 ; |
C 1;0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
|
A 2;1;3 ; |
L : |
x 3 |
|
|
y 2 |
|
z 4 |
; |
P : x 4y 8z 6 0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
||
7. |
|
A 2;1;3 ; |
B 10;1; 1 ; |
C 1;1; 1 ; |
D 4;1;2 . |
|
||||||||||||||||
8. а) 9x2 4y2 4 0 ; |
|
б) x2 y2 6x 8y 9 0 ; |
в) 4x2 25y2 25 0 . |
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РГР №1-1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Даны матрицы A и B . Найти A B , B A , 2AT B .
2. Решить систему уравнений A X B : а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом.
3. Найти ранг матрицы: а) по определению; б) используя элементарные преобразования. 4. Даны векторы a , b , c . Найти:
а) скалярное произведение векторов a и b и угол между ними; б) проекцию вектора a b на направление вектора c ;
в) векторное произведение векторов a и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;
г) смешанное произведение векторов a , b , c .
5. Даны вершины A , B , C треугольника. Найти:
а) уравнение и длину медианы AM ; б) уравнение и длину высоты AD ; в) угол A треугольника ABC .
6. Даны: точка A , уравнения прямой L и плоскости а) угол между прямой и плоскостью; б) расстояние от точки до прямой; в) расстояние от точки до плоскости;
г) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно данной плоскости; д) уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно прямой;
е) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно данной прямой;
ж) уравнение плоскости, проходящей через точку A параллельно данной плоскости; з) уравнение плоскости, проходящей через точку A и данную прямую.
7. Даны точки A , B , C , D . Найти: а) площадь треугольника ABC ;
б) объем пирамиды ABCD ; в) уравнение плоскости ABC ; г) уравнение прямой AD .
8. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать ее. Найти координаты вершин и фокусов.
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
3 |
0 |
|
|
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. A |
1 |
2 |
; |
B |
2 |
3 |
. |
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
18 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. A= |
|
3 |
1 |
3 ; B= 12 . |
|
||||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
|
1 |
|
3 |
7 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; 7;2 ; |
|
4;1;3 ; |
|
|
4;4;2 . |
|
|
|
||||||
4. |
a |
b |
c |
|
|
|
||||||||||
5. |
A 1;0 ; B 4;0 ; C 1; 2 C(1, 2). |
|
|
|
||||||||||||
6. |
A 2;2; 1 ; L : |
x 3 |
|
y |
|
z 1 |
; |
P :8x 4y z 5 0 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
A 2;3;1 ; B 4;1;2 ; C 10;1; 1 ; |
D 1;1; 1 . |
|
|
|
|||||||||||
8. а) x2 2y2 1 0 ; |
|
б) x2 y2 x 2y 16 0 ; в) |
8x2 |
y2 |
32 0 . |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РГР №1-1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Даны матрицы A и B . Найти A B , B A , 2AT B .
2. Решить систему уравнений A X B : а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом.
3. Найти ранг матрицы: а) по определению; б) используя элементарные преобразования.
4. Даны векторы a , b , c . Найти:
а) скалярное произведение векторов a и b и угол между ними; б) проекцию вектора a b на направление вектора c ;
в) векторное произведение векторов a и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;
г) смешанное произведение векторов a , b , c .
5. Даны вершины A , B , C треугольника. Найти:
а) уравнение и длину медианы AM ; б) уравнение и длину высоты AD ; в) угол A треугольника ABC .
6. Даны: точка A , уравнения прямой L и плоскости а) угол между прямой и плоскостью; б) расстояние от точки до прямой; в) расстояние от точки до плоскости;
г) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно данной плоскости; д) уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно прямой;
е) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно данной прямой;
ж) уравнение плоскости, проходящей через точку A параллельно данной плоскости; з) уравнение плоскости, проходящей через точку A и данную прямую.
7. Даны точки A , B , C , D . Найти: а) площадь треугольника ABC ;
б) объем пирамиды ABCD ; в) уравнение плоскости ABC ; г) уравнение прямой AD .
8. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать ее. Найти координаты вершин и фокусов.
Вариант 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
0 |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
|
A |
1 |
|
2 |
; B |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. А = |
3 5 3 ; В = 1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
7 |
|
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2;2; 3 ; |
|
1; 2;0 ; |
|
|
3;4;0 . |
|||||||||||||||
4. |
|
a |
b |
c |
|||||||||||||||||||
5. |
|
A 1;3 ; |
B 4;3 ; |
C 1;1 . |
|
||||||||||||||||||
6. |
|
A 3;2;1 ; |
L : |
x 1 |
|
|
y |
|
|
z 1 |
; |
P : 8x 4y z 13 0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
7. A 2;5;5 ; B 0;1;1 ; C 18;1;1 ; D 6;1;7 . |
|
|
|
|
8. а) x2 y2 7 0 ; |
б) x2 y2 2x 2y 2 0 ; |
в) 4x2 |
y2 |
4 . |
|
||||
|
|
16 |
|
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РГР №1-1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Даны матрицы A и B . Найти A B , B A , 2AT B .
2. Решить систему уравнений A X B : а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом.
3. Найти ранг матрицы: а) по определению; б) используя элементарные преобразования. 4. Даны векторы a , b , c . Найти:
а) скалярное произведение векторов a и b и угол между ними; б) проекцию вектора a b на направление вектора c ;
в) векторное произведение векторов a и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;
г) смешанное произведение векторов a , b , c .
5. Даны вершины A , B , C треугольника. Найти:
а) уравнение и длину медианы AM ; б) уравнение и длину высоты AD ; в) угол A треугольника ABC .
6. Даны: точка A , уравнения прямой L и плоскости а) угол между прямой и плоскостью; б) расстояние от точки до прямой; в) расстояние от точки до плоскости;
г) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно данной плоскости; д) уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно прямой;
е) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно данной прямой;
ж) уравнение плоскости, проходящей через точку A параллельно данной плоскости; з) уравнение плоскости, проходящей через точку A и данную прямую.
7. Даны точки A , B , C , D . Найти: а) площадь треугольника ABC ;
б) объем пирамиды ABCD ; в) уравнение плоскости ABC ; г) уравнение прямой AD .
8. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать ее. Найти координаты вершин и фокусов.
Вариант 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
A |
1 |
2 |
|
|
; |
B |
1 |
12 |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. А = |
1 2 |
3 |
; В = |
10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
|
1 |
|
4 |
4 |
|
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3; 3;1 ); |
|
1; 1;1 ; |
|
|
|
2; 3;6 . |
||||||||||||||||
4. |
|
a |
b |
c |
|||||||||||||||||||||
5. |
|
A 1;5 ; |
B 3;5 ; |
C 1;3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
|
A 1; 3;0 ; |
L : |
x 3 |
|
|
y 2 |
|
z 4 |
; |
P : x 4y 8z 6 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
8 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
|
A 2;4;4 ; B 0;0;0 ; |
C 18;0;0 ; D 6;0;6 . |
||||||||||||||||||||||
8. а) 9x2 4y2 4 0 ; |
|
|
|
|
б) x2 y2 6x 8y 9 0 ; в) 4x2 25y2 25 0 . |
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РГР №1-1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Даны матрицы A и B . Найти A B , B A , 2AT B .
2. Решить систему уравнений A X B : а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом.
3. Найти ранг матрицы: а) по определению; б) используя элементарные преобразования. 4. Даны векторы a , b , c . Найти:
а) скалярное произведение векторов a и b и угол между ними; б) проекцию вектора a b на направление вектора c ;
в) векторное произведение векторов a и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;
г) смешанное произведение векторов a , b , c .
5. Даны вершины A , B , C треугольника. Найти:
а) уравнение и длину медианы AM ; б) уравнение и длину высоты AD ; в) угол A треугольника ABC .
6. Даны: точка A , уравнения прямой L и плоскости P . Найти: а) угол между прямой и плоскостью; б) расстояние от точки до прямой; в) расстояние от точки до плоскости;
г) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно данной плоскости; д) уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно прямой;
е) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно данной прямой;
ж) уравнение плоскости, проходящей через точку A параллельно данной плоскости; з) уравнение плоскости, проходящей через точку A и данную прямую.
7. Даны точки A , B , C , D . Найти: а) площадь треугольника ABC ;
б) объем пирамиды ABCD ; в) уравнение плоскости ABC ; г) уравнение прямой AD .
8. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать ее. Найти координаты вершин и фокусов.
Вариант 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
|
A |
2 |
3 |
|
|
; |
B 3 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
7 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. A = |
2 |
1 1 |
; B = |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 2 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
|
1 |
1 |
3 |
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
7 |
5 |
5 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1; 3;5 ; |
|
|
0;4;1 ; |
|
|
2;3; 6 . |
|
|
|
||||||||||||
4. |
|
a |
|
b |
c |
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
|
A 3;3 ; B 5;0 ; C 1;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
|
A 1; 1;2 ; |
L : |
x 3 |
|
|
y |
|
z 1 |
|
; |
P :8x 4y z 5 0 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
|
A 0;5;6 ; B 2;1;2 ; C 16;1;2 ; |
D 4;1;8 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
8. а) x2 2y2 1 0 ; |
|
|
б) |
x2 y2 x 2y 16 0 ; |
в) 8x2 |
y2 |
32 0 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РГР №1-1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Даны матрицы A и B . Найти A B , B A , 2AT B .
2. Решить систему уравнений A X B : а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом.
3. Найти ранг матрицы: а) по определению; б) используя элементарные преобразования.
4. Даны векторы a , b , c . Найти:
а) скалярное произведение векторов a и b и угол между ними; б) проекцию вектора a b на направление вектора c ;
в) векторное произведение векторов a и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;
г) смешанное произведение векторов a , b , c .
5. Даны вершины A , B , C треугольника. Найти:
а) уравнение и длину медианы AM ; б) уравнение и длину высоты AD ; в) угол A треугольника ABC .
6. Даны: точка A , уравнения прямой L и плоскости P . Найти: а) угол между прямой и плоскостью; б) расстояние от точки до прямой; в) расстояние от точки до плоскости;
г) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно данной плоскости; д) уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно прямой;
е) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно данной прямой;
ж) уравнение плоскости, проходящей через точку A параллельно данной плоскости; з) уравнение плоскости, проходящей через точку A и данную прямую.
7. Даны точки A , B , C , D . Найти: а) площадь треугольника ABC ;
б) объем пирамиды ABCD ; в) уравнение плоскости ABC ; г) уравнение прямой AD .
8. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать ее. Найти координаты вершин и фокусов.
Вариант 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
4 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
B |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
|
A |
5 |
|
|
; |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
1 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. А = 4 2 1 ; В = |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
9 |
3 1 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
3 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
A 4 |
2 1 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
1 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
|
a |
1; 1;4 ; |
|
b |
2;0;7 ; |
|
c |
|
4;4; 2 . |
|
|
|
||||||||||||
5. |
|
A 1;2 ; |
B 6;2 ; |
C 3;0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
|
A 5;0; 1 ; |
|
L : |
x 1 |
|
|
y |
|
|
z 1 |
|
; |
P : 8x 4y z 13 0 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
|
A 1;4;5 ; B 1;0;1 ; |
C 17;0;1 ; |
D 5;0;7 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
8. а) x2 y2 7 0 ; |
б) x2 y2 2x 2y 2 0 ; |
в) 4x2 |
y2 |
4 . |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|