2. Примеры решения задач

   1. Вычислить .

◄ Так как

то, используя свойство аддитивности определенного интеграла, получаем

.►

2. Доказать, что для любого .

◄ Так как ,, тои. Согласно свойству 3 мы можем проинтегрировать это неравенство:

, . ►

3. Убедиться, что функция ограничена на промежутке.

◄ Пусть . На основании свойства 4 определенного интеграла

.

Так как , тои, согласно свойству 3 определенного интеграла,

.

Таким образом, , то есть функцияограничена на промежутке. ►

4. Точка движется по прямой со скоростью , периодически зависящей от времени. Найти среднюю скорость за время, где– период.

◄ Найдем среднюю скорость как среднее значение (мгновенной) скорости на отрезке:

Замечание. Так как – путь, пройденный точкой за время отдо, тов полном согласии со “школьным” определением средней скорости. ►

5. Найти производную функции .

◄ По свойству 6 интеграла

.

Теперь по правилу дифференцирования интеграла как функции верхнего предела (свойство 7) получаем . ►

6. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции .

◄ а) Найдем область определения функции. Так как функцияопределена и непрерывна на всей числовой прямой, то интеграл от неёсуществует для любого, т.е..

б) Найдем критические точки функции. По правилу дифференцирования интеграла как функции верхнего предела (свойство 7) . Поэтому, то есть– критическая точка.

в) Разобьем критической точкойна промежуткиии выясним знаки производнойна этих промежутках.

, поэтому убывает на промежутке.

, поэтому возрастает на промежутке. г) В точкефункция имеет минимум,

. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

   1. Вычислить , если

   2. Вычислить .

   3. Вычислить , если, то есть– наибольшее из чисел 1 и.

   4. Вычислить , гдеозначает целую часть числа– наибольшее целое число.

   5. Убедиться, что функция ограничена на всей числовой прямой.

   6. Доказать, что функция ограничена на.Указание. Доказать и использовать неравенство

при .

7. Найти среднее значение функции на отрезке.

8. Найти среднее значение функции на отрезке.

9. Найти среднее значение силы переменного тока за полупериод.

10. Найти производную функции . Убедиться, что функция возрастает на.

11. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции .

12. Вычислить.

Указание. Подынтегральную функцию представить в виде суммы двух слагаемых, первое из которых является нечетной функцией, и воспользоваться свойством 8.

13. Доказать свойство 9, вычислив производную от интеграла как функции аргумента .

8. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

1. Сведения из теории

Если функция определена и непрерывна на промежутке, то

.

Если существует конечный предел в правой части формулы (7.1), то говорят, что несобственный интеграл сходится, если этот предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл расходится.

Если прии несобственный интеграл сходится, то он равен площади фигуры ограниченной ось, графиком функции и прямой(рис. ?)

.

Аналогично

,

если определена и непрерывна на промежуткеи

,

если определена и непрерывна на промежутке.

Ниже приводятся признаки сходимости несобственных интегралов вида . Для несобственных интегралов вида и они формулируются аналогично.

1. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница.

Если  первообразная для и существует конечный предел, то интеграл (7.1) сходится и

.

Если же конечный не существует, то интеграл расходится.

2) Признак сравнения.

Пусть . Если интегралсходится, то сходится и интеграл. Если интегралрасходится, то расходится и интеграл.

3) Предельный признак сравнения.

Если иположительные функции одного порядка при, то есть, где(), то интегралыисходятся или расходятся одновременно.

Замечание. При использовании признаков сравнения полезно иметь ввиду интеграл

(),

сходящийся при и расходящийся при.

4) Абсолютная сходимость.

Если сходится интеграл , то сходится и интеграл, (в этом случае говорят, что онсходится абсолютно).

2. Примеры решения задач

В задачах 11.2.1-11.2.2 вычислить несобственные интегралы (или доказать их расходимость) а) по определению, б) по формуле Ньютона-Лейбница .

1. .

а) ◄ .

Интеграл сходится. ►

б) ◄ ►

2. .

а) ◄. Интеграл расходится. ►

б) ◄ ►

3. Найти площадь фигуры, заданной неравенствами

(рис. ).

◄

. ►

4. Исследовать сходимость несобственного интеграла .

◄ Применим признак сравнения. При и. Интегралсходится (см. задачу11.2.1), поэтому сходится и интеграл . ►

5. Исследовать сходимость несобственного интеграла

.

◄ Применим предельный признак сравнения. В числителе и знаменателе дроби сохраним только слагаемые с наибольшими степенями – “главные” при. Получим функцию, эквивалентную:. Это можно проверить и непосредственно по определению эквивалентности:.

Так как  расходится, то расходится и интеграл .►

6. Исследовать сходимость несобственного интеграла .

◄ Так как , а интегралсходится, то по признаку сравнения сходится и интеграл. Но это означает, чтосходится абсолютно. ►

Замечание. В примерах 11.1.5 и 11.1.6 мы могли не вычислять интегралы и, а просто сослаться на то, что они являются частными случаями стандартного интеграла при(расходящегося) и(сходящегося).

3. Задачи для самостоятельного решения

В задачах 11.3.1-11.3.8 вычислить несобственные интегралы (или доказать их расходимость) а) по определению, б) по формуле Ньютона-Лейбница .

В задачах 11.3.7-11.3.12 исследовать сходимость несобственных интегралов.

. Указание. при.	. Указание. .
.	.
.	.