- •Кафедра высшей математики
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Однородные уравнения
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод неопределенных коэффициентов
- •Сведения из теории
- •И соответствующие им частные решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •5.3.9. А); б).
- •Вариант 1
- •150023, Ярославль, Московский пр., 88
Задачи для самостоятельного решения
Убедиться, что заданное семейство функций является общим решением дифференциального уравнения. Сделать рисунок интегральных кривых. Выделить интегральную кривую, проходящую через точку (1;1).
а) ;
б) .
Проверить, что уравнение имеет два решенияи, удовлетворяющих начальному условию. Как это согласуется с теоремой существования и единственности?
Проверить, что уравнение имеет два решенияи, удовлетворяющих начальному условию. Как это согласуется с теоремой существования и единственности?
Уравнения с разделяющимися переменными
Сведения из теории
уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка, имеющее в нормальной форме вид
,
то есть уравнение, разрешенное относительно производной, правая часть которого – произведение функции от на функцию от.
Метод нахождения общего решения следующий: 1) представляем производную в виде отношения дифференциалов ; 2) делим обе части уравнения наи умножаем на; 3) интегрируем обе части полученного равенства
В итоге получим общий интеграл уравнения .
Для нахождения решения , удовлетворяющему начальному условию, начиная с пункта 3) интегралы пишем определенные
.
В результате получаем уравнение , задающее искомое решение в неявном виде. Если, то очевиднорешение уравнения , удовлетворяющее начальному условию.
Примеры решения задач
Найти общее решение уравнения .
◄ Перепишем уравнение в виде . Уравнение разрешено относительно производной, его правая часть – произведение функции отна функцию отy, следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем в виде, умножаем обе части уравнения на, делим на:. Интегрируем это равенство– общий интеграл. Разрешая его относительно, получаем общее решение
или .
Так как 2С также произвольная постоянная, то в окончательном ответе мы ее снова обозначили буквой С.►
Найти общее решение уравнения и решение, удовлетворяющее начальному условию.
◄ Приведем уравнение к нормальной форме: .
Это уравнение с разделяющимися переменными.
.
Функция принимает все действительные значения, поэтому постоянную интегрирования можно представить в виде
Мы предполагали, что , но функциядает решение и прии при, в чем легко убедиться, подставляя ее в уравнение. Таким образом,– общее решение уравнения. Подставляя в него начальные значения, получаем. Поэтому– решение, удовлетворяющее начальному условию.►
Найти решение задачи Коши ,.
◄ Разделяем переменные: ,. Призадача Коши равносильна уравнению. Интегрируя, получаем
,
,
–искомое решение.
При решением задачи Коши является функция.►
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить задачи.
Тело охладилось за 20 минут от 100°C до 60°C в комнате, где температура 20°C. Найти закон охлаждения тела. Через сколько минут оно остынет до 30°C?
В сосуд, содержащий 10 л воды, непрерывно поступает раствор со скоростью 2л/мин, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут?
Цилиндрический резервуар высотой 6 м и диаметром основания 4 м поставлен вертикально и наполнен водой. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через отверстие радиуса 1/12 м, сделанного в дне резервуара?