- •Введение в анализ
- •Множества и операции над ними
- •Логическая символика
- •Функция
- •Простейшая классификация функций
- •Композиция функций и обратное отображение
- •Сужение функции
- •Действительные числа
- •Важнейшие подмножества действительных чисел
- •Функции действительной переменной
- •Функция и способы её задания
- •Монотонные функции
- •Свойства числовых множеств
- •Ограниченные числовые множества
- •Неограниченные числовые множества
- •Счетные и несчетные множества
- •Задания для самостоятельной работы
- •Теория пределов
- •Предел последовательности
- •Определение и примеры
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые последовательности
- •Арифметические операции с последовательностями
- •Бесконечно большие последовательности
- •Подпоследовательности и их свойства
- •Критерий Коши
- •Частичные пределы последовательности
- •Верхний и нижний пределы последовательности
- •Задания для самостоятельной работы
- •Предел функции
- •Предельная точка множества
- •Определение предела функции
- •Свойства предела функции
- •Односторонние пределы функции
- •Теорема о пределе монотонной функции
- •Число e
- •Критерий Коши для функции
- •Сравнение функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Определение непрерывной функции
- •Точки разрыва функции, их классификация
- •Локальные свойства непрерывной функции
- •Глобальные свойства непрерывных функций
- •Показательная, логарифмическая и степенная функции
- •Некоторые замечательные пределы
- •Равномерная непрерывность функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Дифференцируемые функции
- •Понятие дифференцируемой в точке функции
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •Производная и дифференциал функции на множестве
- •Основные правила вычисления производной
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Свойства функций, дифференцируемых на промежутках
- •Дифференцирование параметрически заданных функций
- •Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей
- •Формула Тейлора
- •Исследование поведения функции на множестве
- •Экстремум функции
- •Направление выпуклости графика функции
- •Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Построение графика функции.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Неопределенный интеграл
- •Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные методы интегрирования
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки (замены переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Классы интегрируемых элементарных функций
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Задания для самостоятельной работы
Пример 5.27. Вычислить интеграл Z |
|
4√ |
dx |
|
(x > 0). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 + x4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Так как Z |
|
4√ |
|
dx |
|
= Z (1 + x4)−1/4 dx, |
то m = 0, n = 4, |
p = − |
1 |
/ Z. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 + x4 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||
|
m + 1 |
1 |
|
m + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда |
|
|
= |
|
/ Z, |
|
|
|
|
+p = 0 Z. Поэтому применим подстановку |
|||||||||||||||||
n |
4 |
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||
1 + x−4 = t4 |
и получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
и dx = − |
|
|
|
|
t3dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x = |
4√ |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4√ |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
(t |
− 1) |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
− 1 |
|
|
t |
− 1 |
|
|
|
|
Прежде, чем сделать подстановку, преобразуем подынтегральную функцию к виду (1 + x4)−1/4 = x−1(x−4 + 1)−1/4. Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
1 |
|
|
dt |
|
|
||||||
|
I = Z |
x−1(x−4 + 1)−1/4 dx = − Z |
|
|
|
= − |
|
Z |
|
|
|
|
− |
|
Z |
|
|
= |
||||||||||||||||||||
|
|
t4 − 1 |
2 |
t2 − 1 |
2 |
t2 + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||||||||||||
= |
|
1 |
ln |
|
t − 1 |
|
1 |
arctg t+C = |
|
1 |
ln |
1 |
+ x4 |
|
|
1 |
arctg |
|
1 + x4 |
+C. |
||||||||||||||||||
− |
|
t + 1 |
− |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
4 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
4 |
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.5.3Интегрирование тригонометрических функций
Лемма 5.7. Функции вида R(sin x, cos x), где R(u, v) — рациональная функция от u и v, интегрируются в элементарных функциях.
Подстановка tg x2 = t, x (−π, π) рационализирует выражение
R(sin x, cos x) dx,
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tg |
x |
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
1 − tg |
2 x |
|
|
|
1 − t2 |
|
||||||
sin x = |
2 |
|
|
|
= |
|
|
, |
cos x = |
|
|
2 |
|
= |
|
, |
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
1 + tg |
2 |
|
|
1 + t |
|
|
|
|
|
1 + tg |
2 |
|
|
|
1 + t |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x = 2 arctg t, dx = |
|
|
2 |
|
dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 + t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2t |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
Поэтому R(sin x, cos x) dx = |
|
, |
1 − t |
|
|
|
dt = |
R1(t) dt, |
|||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
1 + t |
|
|
1 + t |
|
1 + t |
|
|
|
Z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где R1(t) — рациональная функция от t. Следовательно, рассматриваемая функция интегрируется в элементарных функциях.
Подстановка tg |
x |
|
= t называется универсальной тригонометриче- |
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
ской подстановкой для интегралов вида Z |
R(sin x, cos x) dx. |
|||
Однако универсальная тригонометрическая подстановка приводит |
||||
иной раз к сложным |
выкладкам. Рассмотрим частные случаи, когда |
173
цель может достигаться с помощью более простых подстановок. Напомним следующие простые результаты из курса алгебры. Если рациональная функция R(u, v) является нечетной по переменной u, то есть R(−u, v) = −R(u, v), то она приводится к виду R(u, v) = u R1(u2, v), где R1 — рациональная функция. Аналогичное представление имеет место, если функция R(u, v) является нечетной по переменной v. Если же рациональная функция R(u, v) является четной по совокупности
переменных, |
то есть |
R(−u, −v) = R(u, v) |
, то она приводится к виду |
|
u |
|
|||
R(u, v) = R2( |
|
, v2), где R2 — рациональная функция. |
||
|
||||
|
v |
|
|
Теперь выделим три специальных подстановки.
1. Если R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), то подстановка cos x = t
рационализирует выражение R(sin x, cos x) dx, так как dt = − sin x dx и
Z |
R(sin x, cos x) dx = Z |
sin xR1(sin2 x, cos x) dx = |
||
|
= − Z |
R1(1 − t2, t) dt = Z |
R2(t) dt, |
где R2(t) — рациональная функция от t.
2.Если R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), то аналогичным образом подстановка sin x = t рационализирует выражение R(sin x, cos x) dx.
3.Если R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), то исходное выражение
рационализирует подстановка tg x = t, |
x (−π/2, π/2) , так как тогда |
|||||||||||||||||||||
x = arctg t, |
dx = |
|
dt |
, |
cos2 x = |
1 |
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
. Поэтому |
||||||
2 |
1 + tg |
2 |
x |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
1 + t |
|
|
|
|
1 + t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R(sin x, cos x) dx = R2 |
|
|
sin x |
, cos2 x! dx = |
|||||||||||||||||
|
|
|
cos x |
|||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= R2 |
tg x, |
|
1 |
|
! dx = |
R2 |
t, |
|
1 |
|
|
! |
|
|
dt |
|
= |
R4(t) dt, |
||||
2 |
|
1 + t |
2 |
|
1 + t |
2 |
||||||||||||||||
Z |
|
1 + tg |
x |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
где R4(t) — рациональная функция от t.
Рассмотрим примеры интегрирования в элементарных функциях ра-
циональных функций от sin x и cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 5.28. Вычислить интеграл Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5 |
− |
4 sin x + 3 cos x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Выполним подстановку tg |
|
|
|
= t, x (−π, π) и получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
t2) |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||
Z |
5 4 sin x + 3 cos x = 2 Z |
|
|
|
|
|
|
8t |
|
|
3(1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + t2) 5 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
− |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t |
2 |
1 + t |
|
||||||||||||||||||
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
dt |
= |
|
1 |
+ C = |
|
|
|
|
1 |
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(t 2)2 |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
− |
− |
2 − tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174
Z
Пример 5.29. Вычислить интеграл sin5 x cos4 x dx.
Так как R(− sin x, cos x) = − sin5 x cos4 x = −R(sin x, cos x), то полагая cos x = t, получим
|
|
|
|
|
|
|
Z |
sin5 x cos4 x dx = Z |
sin4 x cos4 x sin x dx = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= − Z 1 − cos2 x 2 cos4 x d(cos x) = − Z (1 − t2)2t4 dt = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= − Z (t4 − 2t6 + t8) dt = − |
|
|
+ |
|
|
t7 − |
|
|
|
|
t9 + C = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
7 |
9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
cos5 x + |
|
|
cos7 x − |
|
|
cos9 x + C. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
9 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 5.30. Вычислить интеграл Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin3 x cos5 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как R(− sin x, − cos x) = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
R(sin x, cos x), то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
− |
sin x)3 |
( |
− |
cos x)5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
положим tg x = t и получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
(tg |
x) |
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
sin3 x cos5 x |
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x · |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos6 x cos2 x |
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + tg2 x)3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
(1 + t2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = Z |
|
+ 3 Z |
|
|
|
|
+ 3 Z |
t dt + Z |
t3 dt = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
t3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t3 |
|
|
t3 |
|
|
t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(1 + t2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= − |
|
|
+ 3 ln |t| + |
|
|
|
t + |
|
|
t + C = |
− |
|
|
|
+ 3 ln | tg x|+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2t2 |
2 |
4 |
2 |
tg2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
3 |
tg2 x + |
|
1 |
tg4 x + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иногда при вычислении интегралов указанного типа бывает полезно прибегать к другим искусственным приемам, используя известные три-
гонометрические формулы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 5.31. Вычислить интеграл Z |
|
dx |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
Z |
sin3 x cos x |
sin3 x dx = |
|||||||||||||||||
sin3 x cos x |
= Z |
|
|
sin3 x cos x |
dx = Z |
sin x cos x + Z |
|||||||||||||
|
|
dx |
|
|
(sin2 x + cos2 x) |
|
|
|
dx |
|
cos x |
|
|||||||
|
|
= Z |
|
tg x |
+ Z |
sin3 x |
= ln | tg x| − 2 sin2 x + C. |
||||||||||||
|
|
|
|
d(tg x) |
|
d(sin x) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
||||||||||
|
При вычислении интегралов вида |
sin αx cos βx dx, используются |
|||||||||||||||||
формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin αx cos βx = 12 sin(α + β)x + sin(α − β)x ,
175