Задачи на экз. по геом. (13-14)

2. При каких условиях для ненулевых векторов

a è b возможно равенство |a − b| = |a| + |b|

3.Доказать, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника.

7.Доказать, что сумма квадратов длин медиан треугольника равна 3

4 суммы квадратов

длин его сторон.

9.Дан прямоугольник ABCD. Доказать, что для любой точки М пространства выполня-

ются равенства: 1) MA2 + MC2 = MB2 +

−−→ −−→ −−→ −−→

MD2; 2) MA · MC = MB · MD.

10.Величины плоских углов трехгранного угла равны 45◦, 45◦, 60◦. Найти величины дву-

гранных углов.

11.Даны три взаимно перпендикулярных луча OA, ОB, ОС с общим началом. Найти угол между биссектрисами углов АОВ и ВОС.

12.В кубе найти величину угла: 1) между его диагональю и скрещивающейся с ней диагональю грани; 2) между скрещивающимися диагоналями двух соседних граней;

13.Найти величину угла ВАС равнобедренного треугольника ABC, зная, что медианы BB0 è CC0, проведенные из вершин основания, перпендикулярны.

14. Пусть BB0 высота треугольника AВС.

−−→

Разложить вектор BB0 по векторам базиса

−→ −−→

AC, AB.

15.На гипотенузе AВ прямоугольного треугольника ABC построен квадрат, центр M0 которого лежит по разные стороны с вершиной С от прямой AB. Найти |M0C|, çíàÿ, ÷òî AC = b, BC = a.

16.Вычислить координаты центра M окружности, описанной около треугольника ABC, если известны координаты его вершин: А(2, 1), Â(-1, 4), Ñ(3, -1).

17.Зная уравнения прямых, содержащих стороны треугольника ABC, вычислить координаты центра М вписанной в него окружности: x + 2y = 0, 2x − y + 1 = 0, 2x + y −2 = 0.

18.Какое множество точек задает неравенство: x2 + y2 < −4x + 6y?

19.Найти условие, при котором прямая y = kx + b касается окружности x2 + y2 = R2.

20.Найти множество точек плоскости, сумма квадратов расстояний от каждой из ко-

торых до вершин данного квадрата со стороной 2a постоянна и равна b2.

21.В окружность вписан правильный треугольник ABC, точка М принадлежит меньшей дуге АВ этой окружности. Доказать, что |MC| = |MA| + |MB|.

22.Точки Р(1, 1), Q(-1, 2), С(2, -1) три вершины равнобочной трапеции. Вычислить координаты четвертой ее вершины.

23.Составить уравнение множества центров тяжести треугольников, имеющих две вершины A(x1, y1), B(x2, y2), если третья их вершина лежит на окружности радиуса a, центр которой - начало координат.

24.На прямой 2x − y − 10 = 0 найти точ-

ку, сумма расстояний от которой до точек P (−5, 0) è Q(−3, 4) была бы наименьшей.

25.Даны две точки A(1, 2, 3), B(7, 2, 5). Íà ïðÿ-

мой АВ найти такую точку М, чтобы точ- ки В и М были расположены по разные стороны от точки А и чтобы отрезок AM был вдвое длиннее отрезка АВ. Система координат аффинная.

26.Дана окружность с центром в точке (6,

7)и радиусом 5. Из точки (7, 14) к этой окружности проведены касательные. Найти их длины.

27.Дана окружность радиуса 10 с центром (−4, −6). Найти точки ее пересечения с биссектрисами координатных углов.

28.Найти центр М и радиус r окружности,

описанной около треугольника с вершинами

(−2, −2), (2, 6), (5, −3).

29.Даны точки А (5, 2) è Â (2, 1). На прямой x + y − 5 = 0 найти точку М, такую, чтобы

̸ AMB = 900.

30. Две параллельные прямые x + y − 2 = 0, x + y + 3 = 0 повернуты вокруг начала коор- динат на 900. Найти координаты точек пе-

ресечения данных прямых и их образов при повороте. Доказать, что полученные точки являются вершинами квадрата.

31.Две параллельные прямые x − y + 1 = 0, x−y+2 = 0 повернуты вокруг начала коорди- íàò íà óãîë 300. Найти координаты точек

пересечения данных и повернутых прямых и доказать, что эти точки являются вершинами ромба.

32.Отрезок постоянной длины движется так,

что один его конец скользит по окружно- ñòè x2 + y2 = r2, а другой по оси Ох

(шатунно-кривошипный механизм). Составить уравнение кривой, которую описывает точка отрезка, разделяющая его на части a è b.

33.Даны две точки А и В. Найти множество точек С, для которых ABC - равносторонний треугольник если А(2, 3, −1), Â(−1, 0, 1).

34.На прямой АВ найти точку, ближайшую к оси Ох если А(1, 2, −1), Â(3, −1, 1).

35.Вершины треугольника находятся в точ- ках A(1, 2, −4), B(4, 0, −10), C(−2, 6, 8). Найти внутренние углы этого треугольника.

36. Дан ортонормированный базис R =

(O, i, j, k). Написать формулы перехода от базиса R к базису R′ = (O, e1, e2, e3), åñëè |e1| = |e2| = |e3| = 1, e1, e2 - направля-

ющие векторы биссектрис углов xOz, yOz, e3 параллелен Oz и базисы R, R′ одинаково

ориентированы.

37.Найти расстояние между прямой l1, содер- жащей диагональ куба, и прямой l2, содер- жащей ребро куба, скрещивающейся с этой диагональю. Длина ребра куба равна a.

40.Дан тетраэдр A1A2A3A4. Обозначим через AiBi его высоты, Si - площадь грани, про-

41.Измерения прямоугольного параллелепипеда Ф равны a, b, c. Плоскость П проходит через

середины трех ребер, имеющих общую∩ вершину. Найти площадь сечения .

42.В ПДСК даны вершины А(2, -1, 3), В(1, 1, 5) квадрата ABCD и точка М(5/2, -3, 0), принадлежащая полуплоскости [(АВ), С). Найти координаты вершин С и D.

43.Доказать, что если векторы [a, b], [b, c], [c, a] компланарны, то они коллинеарны.

44. Даны некомпланарные векторы a, b, c и числа α, β, γ. Найти вектор x, удовлетворя-

ющий равенствам: (a, x) = α, (b, x) = β,

(c, x) = γ.

51.Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках A(3, 4, -1), В(2, 0, 3), С(- 3, 5, 4). Система координат прямоугольная декартова.

52. В ПДСК даны векторы a(3, 0, −1), b(2, 4, 3),

c(−1, 3, 2). Найти [[a, b], c].

53. Из одной точки отложены некомпланарные векторы a, b, c. Доказать, что плос-

кость, проходящая через концы этих отрез-

ков, перпендикулярна вектору [a, b] + [b, c] +

[c, a].

54. Вычислить объем пирамиды ОАВС, если

OA = a, OB = b, OC = c, ̸ AOB = α,

̸ BOC = β, ̸ AOC = γ.

55.На сфере единичного радиуса дан треугольник ABC, длины сторон которого равны α, β, γ и величина внутреннего угла при вершине В равна ϑ. Доказать равенство: sin α sin γ cos ϑ = cos β − cos γ cos α.

56.Объем правильной треугольной пирамиды с длиной ребра a равен 16 a3. Найти величину плоского угла при вершине пирамиды.

57.Точки А', В', С' делят ребра SA, SB, SC тетраэдра SABC в отношениях: λ1, λ2, λ3.

Найти отношение объемов V', V тетраэдров SA'В'С' и SABC.

58. Точки A′ A′ A′ A′

1, 2, 3, 4 являются центрами тяжести граней тетраэдра A1A2A3A4.

Найти отношение объемов V, V' тетраэд- ðîâ A1A2A3A4 è A′1A′2A′3A′4. Доказать, что

плоскости соответствующих граней параллельны.

59.Найти отношение объема параллелепипеда

êобъему тетраэдра, вершинами которого являются вершина параллелепипеда и центры не проходящих через нее граней.

60.Найти отношение объема параллелепипеда

êобъему тетраэдра, ребрами которого служат диагонали трех граней параллелепипеда, выходящие из одной его вершины.

61.Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми l1, l2, åñëè â ÏÄÑÊ äàíû точки

M1(x1, y1, z1) l1, M2(x2, y2, z2) и направля-

ющие векторы a(a1, a2, a3); b(b1, b2, b3) этих прямых.

62.Длина диагонали куба равна a. Вычислить

расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба.

63.Через каждое ребро правильного тетраэдра проведена плоскость, параллельная противоположному ребру. Найти отношение объема полученного параллелепипеда к объему тетраэдра.

64.Вычислить объем тетраэдра, если противоположные ребра его имеют длины, равные попарно a, b, c.

65.Доказать, что объемы двух тетраэдров или параллелепипедов с равными трехгранными углами при одной веришине относятся как произведения длин их ребер, сходящихся в вершинах этих углов.

66.Написать уравнения прямой, содержащей высоту AH треугольника ABC, если A(−1, 1, 2), B(1, 1, 0), C(2, 6, −2). Система координат прямоугольная.

67.Доказать, что прямые l1, l2, данные в ПДСК уравнениями

пересекаются, и написать уравнение прямой, содержащей биссектрисы острых углов, образуемых прямыми l1, l2.

68.Найти уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых l1 è l2 заданных уравнениями:

Система координат прямоугольная.

69.Прямые l1, l2, содержащие непересекающие-

ся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда, образуют

с плоскостью основания углы, величины которых α è β. Найти косинус угла между

прямыми l1 è l2.

70.Написать уравнения прямой, содержащей биссектрису AD внутреннего угла треугольника ABC, если даны вершины А(4, 1, −2), Â(2, 0, 0), Ñ(−2, 3, −5). Система координат прямоугольная.

71.В аффинной системе координат даны уравнения прямой l: x = 2 − t, y = 3 + 2t, z = −3t и плоскости α: 2x+ 2y −z −5 = 0. Написать уравнения прямой l′, проходящей через точ-

êó N(5, 1, −2), параллельной плоскости П и пересекающей прямую l.

72.Написать уравнения ортогональной проекции прямой l, данной уравнениями: x = 1 −

2t, y = 3 + t, z = 3t, на плоскость П: x − y − z − 5 = 0. Система координат прямоугольная.

73.Даны уравнения прямой l: х = 2t, у = 1 - t, z = 3 + t и плоскости П: x+y +z −10 = 0. Написать уравнения прямой l′ , перпенди-

кулярной прямой l и проходящей через точ-

∩

êó M = l. Система координат прямоугольная.

74.Даны уравнения прямых l1: x = 2 + 4t, y =

−1 + t, z = 1 − t, l2: x = −4 + 2t, y = 2 − 2t, z = −2 − 3t. Доказать, что прямые l1, l2 скрещивающиеся. Найти уравнение плоскости, параллельной прямым l1, l2 и одинаково удаленной от них.

75.Доказать, что прямые l1, l2, данные урав- нениями l1: x − y − 3z = 0, õ - 2ó + z = Î, l2: õ = 1 + 4t. y = −2 + 7t, z = 1 − t,

пересекаются, точка М(2, - 1, 1) является внутренней точкой одного из углов, образуемых прямыми l1, l2, написать уравне-

ния прямой, содержащей биссектрису этого угла. Система координат прямоугольная.

76.Измерения прямоугольного параллелепипеда равны a, b, c (ребро длины c - высота парал-

лелепипеда). Найти расстояние между диагональю параллелепипеда и не пересекающей ее диагональю основания.

77.Даны точки: А(5, −3, 2), Â(2, −1, 0), Ñ(−1, 2, −2), D(2, 4, −5). Написать уравне-

ния общего перпендикуляра прямых АВ и CD. Система координат прямоугольная.

78.Дано уравнение плоскости П: x − y − z − 6 = 0 и координаты точек M(1, −1, −1), N(−1, 2, 0). Луч света проходит через точку

М и, отразившись от плоскости П, проходит через точку N. Найти уравнения пря- ìûõ l1 è l2, содержащих соответственно

лучи падающий и отраженный. Система координат прямоугольная.

79.Доказать, что плоскости, данные уравнениями: 2 x−2 y+32 z−11 = 0, 5x+6y+2z−11 = 0, 6x + 5y − 2z − 11 = 0, пересекаются в точ-

ке; найти уравнение плоскости П, проходящей через эту точку и образующей равные углы с прямыми, по которым пересекаются каждые две из данных плоскостей. Система координат прямоугольная.

80. Даны вершины А(3, 4, 0), Â(0, −4, −3), Ñ(0, 4, −3) треугольника. Написать уравнения касательной l к окружности, описанной

около треугольника ABC в точке С. Система координат прямоугольная.

81.Даны уравнения плоскостей: 1: x−2y−3z+ 5 = 0, 2: 2x − y − 3z + 5 = 0. Написать

уравнение плоскости П при условии, что плоскость П является биссекторной плоскостью двух двугранных углов, образуемых плоскостями 1, 2.

82.Найти координаты точки D параллелограмма ABCD, если: A(0, 1), Â(−1, 2), Ñ(1, 3).

83.По уравнениям прямых, содержащих стороны ВС, CA и АВ треугольника ABC, составить уравнения прямых, содержащих высоты этого треугольника, если ВС: x+y−1 = 0, ÑÀ: 2x − y = 0, ÀÂ: x − 2y − 2 = 0.

84.Написать уравнение серединного перпендикуляра отрезка АВ: А(2, 1), В (−1, 3).

85.Доказать, что треугольник ABC - равнобедренный, и составить уравнение его оси симметрии: А(2, 1), В(4, 3), С(2, 3).

86.Через точку Р провести прямую, равноудаленную от точек А и В: Р(1, 1), А(3, −1), Â(−2, 1).

87.Íà ëó÷å x = 2 + 3t, y = 1 − 2t, t < 0 найти

точку В, расстояние от которой до начала луча равно 3.

88.Дана прямая l и точка А. Вычислить ко-

ординаты основания перпендикуляра, проведенного из точки А на прямую l: 3x+4y−1 = 0, A(2, −1).

89.Найти координаты точки M2, симметрич- ной точке M1(x1, y1) относительно прямой

Ax + By + C = 0.

90.Даны уравнения прямых, содержащих высоты треугольника, и координаты одной из вершин треугольника. Вычислить координаты двух других вершин этого треугольника: 3x+ 4y −7 = 0, 2x−y −1 = 0, A(5, −3).

91.Высоты треугольника AВС пересекаются в точке H. Известны уравнения прямых AВ:

4x + y − 12 = 0, AH: 2x + 2y − 9 = 0, ÂH:

5x − 4y − 15 = 0. Написать уравнения прямых ВС, AС.

92.Дана вершина A(2, −5) квадрата ABCD и уравнение прямой BD: 3x − y + 6 = 0. Íàé-

ти уравнения прямых, содержащих стороны квадрата.

93.В равнобедренном треугольнике AВС (ВA

= ВС) даны координаты вершин A(4, 3), В(−1, 2) и уравнение прямой BD: 3x−2y+7 =

0, перпендикулярной AС. Написать уравнения прямых AВ и ВС.

94.Треугольник AВС - равнобедренный (ВA = ВС). Прямая l: x − y + 1 = 0 содержит

биссектрису внутреннего угла AВС, точки

A0(1, −1) BC, B0(0, 3) AB, C0(3, 2)

AC. Найти уравнения прямых ВС, AС, AВ.

95.Луч света проходит через точку M(1, 1) и, отразившись последовательно от прямых l1: x − y − 2 = 0, l2: 2x + y − 1 = 0, проходит

через точку N(2, 2). Найти уравнения прямых, содержащих лучи, падающие на пря- ìûå l1, l2 и отраженные от них.

96.Через точку пересечения медиан треугольника проведена прямая d. Найти соотношение между расстояниями вершин треугольника от этой прямой.

97.Написать уравнения прямых, симметрия относительно которых переводит прямую x + y + 1 = 0 в прямую 2x − y = 0.

98.На оси Ох найти точку, равноудаленную от прямых x + 3y + 2 = 0, 3x − y + 1 = 0.

99.Составить уравнение множества точек, равноудаленных от двух параллельных прямых x + y + 3 = 0, 2x + 2y − 1 = 0.

100.Через точки M(1, 2) è N(3, −1) провести

параллельные прямые, расстояние между которыми равно 3.

101.Установить, как расположены прямые: скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, проходящей через них; если прямые пересекаются, то написать уравнение содержащей

их плоскости и найти их общую точку.

102.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (−3, 1, 0) и через прямую x + 2y − z − 4 = 0, 3x − y + 2z − 1 = 0.

103.Через линию пересечения плоскостей 6xy + z = 0, 5x + 3z − 10 = 0 провести плоскость, параллельную оси Ох,

104.Даны уравнения граней тетраэдра x + 2y −

3z − 6 = 0, 2y + 5z − 4 = 0, 3x + z + 1 = 0, x + 2y = 0. Написать уравнение плоскости,

проходящей через линию пересечения первых двух его граней и параллельную линии пересечения третьей и четвертой грани.

105.Составить уравнения прямой, проходящей

через точку (2, 3, 1) и пересекающей прямые

106.Написать уравнение плоскости, зная, что точка (2, 6, −4) служит основанием перпен-

дикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

107.Даны две точки: A(3, −2, 1), B(6, 0, 5). Ñî-

ставить уравнение плоскости, проходящей через точку В и перпендикулярной к прямой АВ.

108.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (1, 2, 3) и (4, 5, 7) и перпендикулярной к плоскости x − y + 2z − 4 = 0.

109.Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости x + 3y + 5z − 10 = 0 è

проходящей через линию пересечения данной плоскости с плоскостью Оху.

110.Написать уравнения и найти длину d перпендикуляра, опущенного из точки (-3, 13, 7) на прямую

(1, 2, −3) на плоскость 6x − y + 3z − 41 = 0.

112.Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки (9, 6, 4) на прямую

113.Найти точку, симметричную точке (1, 2,

3)относительно плоскости 2x − 3y + 5z −

68 = 0.

114.Найти точку, симметричную точке (1, 2, 3) относительно прямой

115.Составить уравнения проекции прямой x = 3 + 5t, y = −1 + t, z = 4 + t на плоскость

2x − 2y + 3z − 5 = 0.

116.Провести через точку пересечения плоскости x+y +z −1 = 0 с прямой y = 1, z +1 = 0

прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой.

117.Даны три плоскости: 2x + 3y − 4z + 5 = 0, 2x − z + 3 = 0, x + y − z = 0. Через линию пе-

ресечения двух первых плоскостей провести плоскость так, чтобы линия ее пересече- ния с третьей плоскостью была перпендикулярна к линии пересечения первой и второй плоскостей.

118.Через точку (1, 2, 3) провести плоскость, перпендикулярную к плоскости 5x − 2y +

5z − 10 = 0 и образующую с плоскостью x − 4y − 8z + 12 = 0 óãîë π/4.

119.Через линию пересечения плоскостей x + 5y + z = 0 è x − z + 4 = 0 провести плоскость, образующую угол π/4 с плоскостью x − 4y − 8z + 12 = 0.

120.Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

x + 7 = y − 6 = z −2 3 1

и образующей угол π/3 с прямой x−y+z = 0, x − y + 2z = 0.

121.Найти тот угол между плоскостями 8x + 4y + z + 1 = 0, 2x − 2y + z + 1 = 0, в котором лежит точка (1, 1,1).

кую плоскость, чтобы острый угол между ее линиями пересечения с плоскостями Oxz

и Оуz был равен π/3.

124.Найти угол между прямой x + y − 2 = 0,

2x−3y+z = 0 и плоскостью 3x+5y−4z+2 = 0.

125.Найти центр окружности, проходящей че- рез точку (−4, 2) и касающейся оси Ох в точке (2, 0).

126.Найти центр и радиус окружности, проходящей через точку (2, −1) и касающейся обеих осей координат.

127.Найти центр и радиус окружности, проходящей через точки (6, 0) и (24, 0) и касающейся оси Оу.

128.Дан прямоугольный треугольник АОВ: О(0, 0), А(4, 0), B(0, 3). Найти центр М и радиус r окружности, касающейся оси Ох, проходящей через точку В и имеющей центр на прямой АВ.

129.Луч образует с осями Ох и Оу углы, соответственно равные π/4 è π/3, а с осью Oz тупой угол. Найти этот угол.

ный вектор, который, будучи отложен от

той же точки, делит пополам угол между векторами a è b.

131.Даны две точки А(9, −1) и B(2, 6). В каком

отношении делит отрезок АВ точка С пересечения прямой АВ с биссектрисой второго и четвертого координатных углов? Система координат прямоугольная.

132.Дан треугольник с вершинами А(4, 1), В(7, 5), С(−4, 7). Вычислить длину биссектрисы

AD угла ВАС. Система координат прямоугольная.

133.Найти центр М и радиус r круга, вписанного в треугольник с вершинами (9, 2), (0, 20), (−15, −10). Система координат прямоугольная.