- •Е.П. Попов
- •Глава 1. Основные характеристики звеньев автоматических систем
- •§ 1.1. Уравнения звеньев и виды основных характеристик
- •§ 1.2. Типы позиционных звеньев и их характеристики
- •§ 1.3. Типы интегрирующих и дифференцирующих звеньев и их характеристики
- •§ 1.4. Другие типы звеньев
- •Глава 2. Основные характеристики систем автоматического управления
- •§ 2.1. Передаточные функции и характеристики разомкнутой цепи звеньев
- •§ 2.2. Структурные преобразования
- •§ 2.3. Передаточные функции и уравнения замкнутой системы
- •§ 2.4. Частотные характеристики замкнутой системы
- •Глава 3. Точность и чувствительность систем автоматического управления
- •§ 3.1. Процесс управления и требования к нему
- •§ 3.2. Постоянные ошибки. Астатические системы
- •§ 3.3. Точность при гармоническом воздействии
- •§ 3.4. Установившаяся ошибка при произвольном воздействии (коэффициенты ошибок)
- •§ 3.5. Чувствительность автоматических систем
- •Глава 4. Устойчивость систем автоматического управления
- •§ 4.1. Понятие устойчивости линеаризованных систем
- •§ 4.2. Алгебраические критерии устойчивости
- •§ 4.3. Критерий устойчивости Михайлова. Построение областей устойчивости
- •§ 4.4. Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •Глава 5. Оценки качества переходного процесса
- •§ 5.1. Требования качества и связь с частотными характеристиками
- •§ 5.2. Частотные оценки качества
- •§ 5.3. Корневые оценки качества
- •§ 5.4. Интегральные оценки качества
- •Глава 6. Корректирующие устройства и методы их синтеза
- •§ 6.1. Последовательные корректирующие устройства
- •§ 6.2. Параллельные корректирующие устройства
- •§ 6.3. Корректирующие устройства по внешнему воздействию. Инвариантность
- •§ 6.4. Частотный метод синтеза корректирующих устройств
- •§ 6.5. Метод корневого годографа
- •Список литературы
§ 3.2. Постоянные ошибки. Астатические системы
Среди типовых режимов работы системы автоматического управления, определяющих точность этой системы, простейшими являются режимы работы при постоянной величине внешнего воздействия и при изменении внешнего воздействия с постоянной скоростью.
Найдем значение установившейся ошибки в замкнутой системе автоматического управления при постоянной величине внешнего задающего воздействия
Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи
где N(s) и L(s) не содержит множителя s (свободные члены их равны единице).
Тогда передаточная функция замкнутой системы для ошибки будет равна
Согласно теореме о конечном значении, выражение установившейся ошибки принимает вид
По этой формуле с учетом (3.11) получаем
так как свободные члены многочленов N(s) и L(s) равны единице.
Это значение ошибки называется статической ошибкой:
Ее можно столь же просто получить из дифференциального уравнения (3.12) как частное решение при .
Если же подавать на вход системы задающее воздействие, изменяющееся с постоянной скоростью,
то и установившаяся ошибка ε как частное решение уравнения (3.12) тоже будет изменяться с постоянной скоростью. При достаточно длительном воздействии такое нарастание ошибки недопустимо.
Для ликвидации этого явления нужно изменить структуру системы так, чтобы многочлен L(s) не имел свободного члена, т. е. чтобы
другими словами, передаточная функция разомкнутой цепи этой системы W(s) должна иметь нулевой полюс. В самом деле, при воздействии g(t)=g0 + g1t изображение которого
по формуле (3.13) с учетом (3.11) и (3.16) получим
Следовательно, в такой системе при задающем воздействии с постоянной скоростью не будет нарастающей ошибки. Это постоянное значение ошибки называется скоростной ошибкой
То же самое легко можно получить из дифференциального уравнения системы (3.12) при условии L(p)=pL1(p), как частное решение, учитывая, что при воздействии (3.15) имеем
При постоянном же задающем воздействии g(t) = const = g0 в такой системе установившаяся ошибка будет равна нулю (εст=0).
Итак, система, обладающая свойством (3.16), т. е. нулевым полюсом в передаточной функции разомкнутой цепи W(s), не будет иметь статической ошибки и даст постоянное значение скоростной ошибки.
Такая система, отличающаяся отсутствием статической ошибки, называется астатической системой в отличие от системы, не имеющей нулевого полюса в разомкнутом состоянии и обладающей вследствие этого статической ошибкой.
Относительно технических средств, с помощью которых достигается астатизм системы, речь будет ниже в главе 6. Здесь можно только, вспоминая передаточные функции типовых звеньев (глава 1), сказать, что для этого необходимо присутствие интегрирующего звена.
Очевидно, что все следящие системы и системы программного управления, имеющие дело с переменным задающим воздействием, долиты проектироваться как астатические. В системах же автоматического регулирования, настраиваемых на поддержание постоянного значения регулируемой величины, допустимо иметь и статические ошибки (астатизма не требуется).
В следящей системе (рис. 3.2) интегрирующим звеном, создающим астатизм, является сам исполнительный
электродвигатель. В самом деле, угловая скорость вала двигателя в установившемся режиме пропорциональна величине управляющего напряжения на входе. Поэтому угол поворота вала (выходная величина системы) будет пропорционален интегралу от входного управляющего напряжения.
Как видно из формул ошибок (3.14) и (3.17), для уменьшения величины ошибки нужно добиваться достаточно большого значения общего коэффициента усиления К разомкнутой цепи проектируемой системы. Поэтому величина К именуется добротностью системы.
Можно строить системы автоматического управления также с астатизмом второго и более высокого v-го порядка, когда многочлен L(s) имеет вид соответственно
т. е. с двойным пулевым полюсом или пулевым полюсом ν-го порядка в передаточной функции W(s) разомкнутой цепи.
Тогда, если мы возьмем задающее воздействие в виде
то по формуле (3.13) с учетом (3.11) и (3.18) в системе с астатизмом ν-го порядка получим постоянную ошибку
а все первые ν членов задающего воздействия (3.19) будут иметь нулевую установившуюся ошибку.
Здесь рассматривалось свойство астатизма системы автоматического управления но отношению к задающему воздействию. Может идти речь и об астатизме системы но отношению к возмущающему воздействию. Если возмущающее воздействие f(t) приложено в отличном от задающего g(t) месте, то условие астатизма при этом будет другим.
Поскольку в этом случае отклонение регулируемой величины х обусловлено возмущающим воздействием, то надо будет пользоваться передаточной функцией замкнутой системы но возмущению
причем согласно (2.20) при g(t)=0 получаем
или же дифференциальным уравнением
Как видно, для астатизма системы по отношению к возмущающему воздействию потребуется наличие нулевых корней в многочлене R(s).