№9

9 билет 1 вопрос Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения 1-го порядка, интегрируемые в квадратурах (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, бернули ,в полных дифференциалах , не разрешимые относительно производной )

Теорема Коши. Пусть в некоторой области  плоскости  функция  непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной . И пусть  – произвольная точка внутри . Тогда существует такой интервал , в котором уравнение

(3.1)

С начальным условием

(3.2)

Имеет решение и это решение единственно.

Задача решения уравнения (3.1) с начальным условием (3.2) называется Задачей Коши. При выполнении условий теоремы Коши через точку  проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (3.1).

Пример 3.1. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (2.6)

.

Для него

,

А значит

.

Если  и  – непрерывные функции, то условия теоремы Коши выполняются, поэтому при любом начальном условии линейное уравнение имеет решение и притом единственное.

Пример 3.2. Возьмем уравнение

.

Для него

.

Если , то функция  терпит разрыв, а значит, точка с абсциссой  не принадлежит области . Именно этим и объясняется то, что начальное условие

Оказывается недопустимым.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши, которое может существовать и без выполнения условий теоремы.

Пример 3.4. Для уравнения

Имеем

.

В точках оси  функции  и

Разрывные, причем последняя функция при  неограниченна. Но через каждую точку  оси проходит единственная интегральная кривая

.

Требование выполнения условия Липшица в теореме Коши является существенным для упрощения доказательства единственности решения. Если это требование не учитывается, то справедлива следующая теорема.

Теорема о существовании решения. Если функция  непрерывна в окрестности точки , то задача Коши имеет, по крайней мере, одно решение.

Предположим теперь, что в уравнении (3.1) будет

.

Тогда

.

Поэтому можно положить

.

Рассмотрим вместо уравнения (3.1) уравнение

С начальным условием

.

Предположим, что для этого уравнения в точке  условия теоремы Коши выполнены. Тогда через эту точку проходит единственная кривая  и при этом . Но тогда для соответствующего решения  исходного уравнения будет .

Итак, в этом случае через точку  проходит единственная интегральная кривая уравнения (3.1), но она имеет в этой точке вертикальную касательную.

Интегрируемые типы уравнений первого порядка

I. Уравнения в полных дифференциалах Рассмотрим уравнение вида (1.11) правая часть которого представлена в виде отношения двух функций g(t,x) и h(t,x). Предполагается, что функции g(t,x) и h(t,x) определены и непрерывны на некотором открытом множестве D плоскости переменных (t,x) и знаменатель h(t,x) не обращается в нуль ни в одной точке этого множества. Уравнение (1.11) часто символически записывают в виде (1.12) Уравнение (1.11) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть равенства (1.12) представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(t,x) на всем множестве D, т.е. (1.13) Таким образом, (1.14) II. Линейные уравнения Линейным уравнением первого порядка называют уравнения (1.20) где a(t), b(t) - заданные функции переменной t. Предположим, что функции a(t) и b(t) определены и непрерывны на некотором интервале r1 < t < r2 (возможно, что r1 = , r2 = + одновременно или выполнено одно из этих соотношений). Таким образом, открытое множество D, на котором задана правая часть уравнения (1.20) представляет собой полосу r1 < t < r2 на плоскости (t,x), еслиr1 и r2 конечны; полуплоскость, если конечна только одна из величин r1, r2 и плоскость, если бесконечны обе величины r1, r2. Правая часть уравнения (1.20) непрерывна вместе со своей частной производной по x на всем множестве D и поэтому удовлетворяет (по x) условию Липшица. Итак, для уравнения (1.20) условия теоремы  выполнены. Пусть t0 - некоторая точка интервала (r1,r2). Положим (1.21) Функция A(t), очевидно, определена на интервале r1 < t < r2. Докажем, что совокупность всех решений уравнения (1.20) задается формулой (1.22) где x0 - произвольная константа. Для вывода формулы (1.22) рассмотрим сначала однородное уравнение, соответствующее (1.20), т.е. уравнение (1.23) Это уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, символически его можно записать в виде Соответствующая функция F(t,x) легко вычисляется: где A(t) определена по формуле (1.21). В таком случае, согласно вышесказанному, решения уравнения (1.23) определяются как неявные функции из соотношения Отсюда находим  или (1.24) где C может принимать любые действительные значения. Для получения с помощью формулы (1.24) решения неоднородного уравнения (1.20) применяется так называемый метод вариации постоянной.То есть решение уравнения (1.20) ищется в виде (1.24), но C уже не константа, а некоторая неизвестная функция переменного t. Подставляя выражение (1.25) в уравнение (1.20), получим: или, что то же Отсюда находим (1.26) где x0 - константа интегрирования. На основании (1.25), (1.26) получаем формулу (1.22). Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. К таким уравнениям относится так называемое уравнение Бернулли, имеющее вид Это уравнение заменой переменной  сводится к линейному. Действительно, так как то произведя подстановку, получим линейное уравнение IV. Однородные уравнения Уравнение первого порядка называется однородным, если f(t,x) есть однородная функция своих аргументов нулевой степени однородности, т.е. имеет место тождество (1.28)

Билет №9 вопрос 2 Формальная арифметика Система аксиом. Важнейшие арифметические функции и предикаты

Язык формальной арифметики. содержит константу 0, числовые переменные, символ равенства, функциональные символы +, •, ' (прибавление 1) и логические связки 

Система аксиом

Аксиома первая.

Существуют различающиеся полярности А, В, С, … М.

Комментарий.

В линейном уме это правило как аксиому не выдвигают, а относят к само собой разумеющемуся. Например, «добро», «успех», «здоровье», «любовь», «друзья» и т. п. относятся к полярности «положительного»; «зло», «неудача», «болезнь», «ненависть», «враги» и т. п. относятся к полярности «отрицательного».

Аксиома вторая.

Полярности А, В, С,….М могут взаимодействовать между собой.

Комментарий.

Эта аксиома в линейном уме также не оговаривается как аксиома, а берётся как само собой разумеющееся. Например, «друзья моих врагов — мои враги».

Аксиома третья.

Одной или нескольким взаимодействующим полярностям можно поставить в соответствие одну или несколько взаимодействующих полярностей.

Аксиома четвёртая.

Полярности можно группировать.

Аксиома пятая.

Соответствие не нарушится, если один и тот же поляризованный объект войдёт во взаимодействие с исходным и поставленным ему в соответствие комплексом полярностей.

Комментарий.

Это правило широко распространено в современных исчислениях, логиках и высказываниях. Например, каждый из математики знает правило: «если к левой и правой частям равенства „прибавить“ или „отнять“, одно и то же число, то равенство от этого не нарушится». Или, к примеру, высказывание «друзья моих врагов — мои враги» не нарушится в полярном смысле, если добавить «успехи друзей моих врагов мне не в радость».

Аксиома шестая.

Объектами взаимоотношений могут быть локи.

Комментарий.

На первый взгляд нужды в этой аксиоме нет, так как она дублирует аксиому 1. Однако опыт показал, что нужна осторожность в обобщениях.

Действительно, если брать такие объекты, когда объект лишен права взаимодействовать сам с собой (Х)*(Х), то систему отношений могут составить изоморфные системы или объекты. Правило «сопоставления» на тождественность, при этом, теряет силу. Например, из (А)*(В) = 0 и (А)*(С) = 0 не следует, что В? С. Это часто встречается в суперпозиционных и комплексных пространствах.