Матрицы
.doc? Что означает .
Пример .
Теорема 3: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций.
Доказательство: Пусть . Покажем, что нижняя строка может быть получена из строки за конечное число шагов, каждый из которых состоит в том, что два числа меняются местами:
Пример:
т.е. .
Аналогично в общем случае.
Пусть на втором шаге поменяются местами . Тогда ввиду замечания .
Упражнение: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций вида .
.
Теорема 4: При всех разложениях перестановки в произведения транспозиций, четность числа транспозиций одна и та же; она совпадает с четностью перестановки.
Доказательство: Пусть , где – транспозиция. Тогда знак равен знаку произведения транспозиций – четно, если – четно.