Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1227

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

1.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

б) z = tg(v −u3) ,

u =

5. а) x2 y2 − xy3 + xz − yz = 0 ;

z = ex / y ,

∂2z

∂z

−

∂z .

∂x∂y

∂y

∂x

z = y −3x2 .

z = ln(5x2 + 4 y2 ) ,

A(1;1) ,

z =5x2 + 4 y3 ,

A(1;1) .

10.

−

P(5;−4;3) .

11. z = x4 + y4 −2x2 + 4xy −2 y2 .

Варіант 19

v = xy .

б) x3 y −2 y2 −3xy = 0 .

a(2;−1) .

1. z = 3x − 5y .

2. а) z = x5 + xy + y2 ;

3. z =		y	.
3. z =	x3 + y3		.
	x3 + y3
4. а) z =		x		,
4. а) z =		x2 + y2		,
		x2 + y2

б) z = (v + uv)2 ,

5.а) x2 + y2 + z2 = e−(x2 +z2 ) ;

6.z = x2 y − xy3 + 2x ,

7.z = x2+y2 .

8.z = x2 − y2 + xy ,

9.z = x3 − y + yx2 ,

10.z =sin x cos y ,

11.z = x2 −4x −2 y2 + 4 .

б)	z =	1	;	в)	z =	y2	− x	.
		sin(x3 y)				x2	− y

y =sin 3 x ;

u =		x			,		v =	x + y	.
u =	x2 + y2				,		v =		.
	x2 + y2							x + y
б) x2 y − xy5 + 4x + y = 0 .
	∂2z		+	∂2z			= 0 .
−3x			+	∂y			= 0 .
	∂x2			∂y		2

A(2;2) ,				a(−2;1) .
A(2;2) .
P π;	π	;	1	.
4	4		2

1.z = 5 − x2 + y2 .

2.а) z = y − 3 x ;

+3 xy

3.z = arcsin(xy3) .

4.а) z =sin xxy+ y ,

б) z = arcsin(uv) ,

5.а) zy = ln xz ;

6.z = exy ,

7. z = 2 y . x2 −1

8.z = 2xy +3y −7 ,

9.z = xy3 +3xy + 2 ,

10.z = ex cos y ,

11.z =3x +6 y − x2 − xy − y2 .

1.z = 4 − x2 + y2 .

2.а) z = ctg2 xy ;

3.z = y 1 x .

4. а) z = x +3 , x2 + 2 y

б) z = u2 v+5v ,

5.а) x2 y2 −5xyz + 4x3 y = 0 ;

6.z =sin(x + 4 y) ,

7.z = 3y2 −1 .

Варіант 20
б) z = 2x2 −2xy ;	в) z =	y + x	.

		y2 − x2

y =8x3 −5 ;

u = xy1+3 ,

б) x5 y2 + xy2 −

x2 ∂2z − y2 ∂2z = ∂x2 ∂y2

A(1;1) ,

A(1;1) .

P 1;	π;	1 .
		e

v = y +y x .

5x = 0 .

0 .

a(2;−1) .

Варіант 21
б) z = ln	y	;	в) z = arcctg xy .
	x2

x = arccos(1+t) ,					y = arcsin(t2 ) ;
u =	y2	,			v = tg	x	.
	x					y

б) ye2x − x ln y +7 = 0 .
∂2z	−16		∂2z	= 0 .
∂y2			∂x2

8.z = x2 + 2 y − xy +1,

9.z = 2x + y2 − xy + 2 ,

10.x( y + z)(xy − z) +8 = 0 ,

11.z = x3 + xy2 +6xy .

1.z = 1xy .

2.а) z = (sin x) y2 −1;

3.z = (sin x)cos 2 y .

4.а) z = arccos xy ,

б) z = v4 , u2

5.а) x2 y2 −5xyz + 4xy3 =1;

6.z = cos3x −cos3y + 2 ,

7.z = x2 +5y .

8.z =1− xy − x + y2 ,

9.z = 4xy2 +5xy2 ,

10.4x2 +9 y2 +6z2 =36 ,

11.z = x3 y2 (6 − x − y) .

1.	z =	x2 y		.
		2x +
			y

2. а) z = (cos y)2x+4 ;

3. z =5arctg xy .

4. а) z = (x2 + y3)2 ,

б) z =	v3	,
	v −u

A(−2;2) ,

a(3;1) .

A(2;−2) .

P(2;1;3) .

Варіант 22

б) z = tg

;

в)

z = ln

−1

x =5

x ;

u = arctg(xy) , v = arccos

б) x32 y − xln y = 7 .

cos3y

∂2z

+cos3y

∂2z

= 0 .

∂x2

∂y2

A(2;2) ,

a(0;−4) .

A(1;1) .

P 2;1;

Варіант 23

б) z = cos

;

в) z = ln x +

x2 + y2 .

t3 −3t

−5t

;

x =3

y = 4

u =sin

v = cos

5. а) ln			x	−2ln(x − z) + xyz −1 = 0 ;
5. а) ln				−2ln(x − z) + xyz −1 = 0 ;
			y
6.	z = cos( y −3x) ,				∂2z	+	9	∂2z
6.	z = cos( y −3x) ,				∂x2	+	9	∂y	2
					∂x2			∂y	2
7.	z = −x2 +5y .
8.	z = x2 y −2 + x2 + y ,				A(1;0) ,
9.	z = x3 + 2x2 +5xy + y2 ,				A(4;−12) .
10.		z = 2x2 + 4 y2 ,			P(2;1;12) .
11.		z = xy(1− x − y) .

Варіант 24

б) 5 +ln	y	= x2 + y2 .
	x

= 0 .

a(2;−1) .

z =

x −

y + 4

z =

x3 − y2

б) z =32x− y ;

2. а)

;

x3 + y2

z = ectg( x / y) .

4. а) z =

x = (1 −2t)2 ,

x −3

б)

z =sin(uv) ,

u =

5. а)

y cos x + xsin y + z cos x −1 = 0 ;

z = xy + y2 − x ,

∂2z

+ ∂2z

= 2 .

∂x2

∂y2

z = 4 y2 − x .

z = ln(3x2 + y2 ) ,

A(1;1) ,

z = x2 + 2xy + y2 ,

A(1;1) .

10. x3 −4 y3 + 2z3 = 6 ,

P(2;2;3) .

11. z = x3 + y3 −9xy + 27 .

Варіант 25

в) z =sin	x3
		.

	y

y = 45t ;

v = xy .

б) x2 y5 + xy3 + 4xy = 2 .

a(2;−1) .

1. z = 1 − x2 −4 y2 .

2. а) z =sin(5xy

б) z =

2x2

−3

) +

;

в)

z = ctg

3. z = ex2 + yx .

а)

z = x2 y − xy −

x =sin(1−3t) ,

y =3t ;

б)

z =

x =sin(uv) ,

y = cos(u −v) .

y2 −1

а) ln

−3ln( y − z) + xyz =14 ;

б) y2x − y ln x +5 = 0 .

z = x y ,

∂2z

−(1+ln xy)

∂z

= 0 .

∂x

∂x∂y

z =

−1

2x2 + y2

z = x − x2 y + xy ,

A(1;−2) ,

a(2;4) .

z = x + x2 y − xy ,

A(2;−1) .

10. x2 + y2 −17z2 = 0 ,

P(1;2;−1) .

11. z = x4 + y4 + 2x2 + y2 −8x −8y .

Варіант 26

z = 1−

а)

z = (x

−

−3 y

;

б) z = cos

;

в) z = arcsin

x +y2 ) .

z = esin(

x = e1−t ,

а) z = x −

y +cos(xy) ,

y = 2t ;

б)

z = 7x2 −

y ,

y =sin(uv) ,

x = cos(uv) .

а)

x2 y2 − xy3 + xz − yz = 2 ;

б) 3 + xy +ln(xy + x2 y) = 0 .

z =sin2 2(x − y) ,

∂2z =

∂2z .

z = −4xy .

∂x2

∂y2

z = x3 + xy2 + y2 ,

A(2;1) ,

a(2;2) .

z = x2 + xy2 + y3 ,

A(1;1) .

10. (x −5)2 + 2 y2 − z4 =11,

P(3;1;1) .

11. z = 2x2 +6xy +5y2 − x + 4 y −8.

Варіант 27

1. . z = ( 1 ) ln x+y

2. а)	z =(x2 − 4)y2 +3y ;			б) z = ln			y2 − x	;	в) z = arctg	x	.
2. а)	z =(x2 − 4)y2 +3y ;			б) z = ln				;	в) z = arctg		.
							y2 + x			y
		1
3. z	= ctg5	1	.
3. z	= ctg5		.
	xy
4. а)	z =sin(1− xy) ,			y = 4x2 −x ;
б)	z =u3 −cos2 v ,			u =	x	,			v = ln(xy) .
б)	z =u3 −cos2 v ,			u =		,			v = ln(xy) .
					y

5.а) xyz + xy −exyz +3 = 0 ;

6.z = ex / y ,

7.z = x2 −2x + y2 .

8.z = 2x2 y − xy +3y ,

9.z = xy2 − xy +3x ,

10.3x2 −2 y2z4 + 2z ,

11.z = x3 + y2 −3xy .

1. z = ln(x2 +3y) .

б) 1 +ln x2 + y2 = ln xy .

∂z − ∂z + y ∂2z = 0 . ∂x ∂y ∂x∂y

A(1;2) , a(1;0) .

A(2;1) .

P(1;1;2) .

Варіант 28

2.	а)	z = (cos y)3x ;					б) z = arccos	1	;	в) z = esin(x2 +y2 ) .
2.	а)	z = (cos y)3x ;					б) z = arccos	xy	;	в) z = esin(x2 +y2 ) .
								xy
3.				2 − x
3.	z = cos					.
				y
				y
4.	а)	z =	x2 +1		,		x = arcsin t2 ,			y = arccost2 ;
4.	а)	z =			,		x = arcsin t2 ,			y = arccost2 ;
			y2 −2

б) z = sin(uv) ,

u = ex− y ,

5. а) 3sin(x + y + z) = x + y + z ;

6.z = yx + x2 − y ,

7.z =3x2 − y .

8.z = x + 2xy + y ,

9.z = x2 + 2 y ,

∂2z = 2 − ∂2z . ∂y2 ∂x2

A(1;1) ,

A(3;1) .

v = 2x / y .
б) 5 +ln	x	= x2 + y2 .
	y

a(1;2) .

10.	x2 y2 + 2x + z2 = 41, P(2;3;1) .
11.	z = (x −1)2 + 4 y2 .

Варіант 29

1. z = x + y +	1	.

	x


2. а) z = xy2 −		x		+	y	;
2. а) z = xy2 −		y		+	x	;
		y			x
3. z =	y
			.
	x2 + y2		.

4.а) z = (1− xy)2 ,

б) z =u2 − 1v ,

5.а) xe3 y − y ln x + xyz = 0 ;

6.z = ln(x2 + y2 ) ,

7.z = y x+1 .

8.z = x3 − xy − y3 ,

9.z = x3 − xy2 − y3 ,

10.xy = z2 ,

11.z = x2 + 2 y2 −4x +12 y .

z =

x2 −4 y

x −

−3xy

а) z = e y

;

z = arctg

xy .

4. а) z = 6 y −x3 ,

б) z = u

2 −1 +cos u

а)

= ln

;

б) z = 2x2 − 4 y ; x2 + 4 y

y = x +1 2 ;

u = x2 , y3

б) xy2 − x5 y + x + 4 y =

∂2z + ∂2z = 0 . ∂x2 ∂y2

A(2;1) ,

A(1;2) .

P(−2;1;4) .

в) z =5xy−y2 .

v = ln xy1 . 0 .

a(1;−3) .

Варіант 30

б)	z = arcsin			1	;	в)	z = tg	3	x	.
б)	z = arcsin			xy	;	в)	z = tg		y3	.
				xy					y3
y = x3 +5x −1;
u	=	y	,			v = ln(xy) .
u	=	x	,			v = ln(xy) .
		x

б) xy +5xyz + 4xy3 = 0.

6.	z = ln(x2 + y2 + 2x +1) ,		∂2z	+ ∂2z	= 0 .
			∂x2	∂y2
7.	z = x2 + y2 −2 y .
8.	z = ln(x2 + 2 y2 ) ,		A(2;2) ,		a(3;2) .
9.	z = 4x2 +5xy ,		A(2;2) .
10.		xyz = 23 ,	P(3;1;4) .
11.		z = x2 +( y2 −1) .

ТЕОРЕТИЧНІ ЗАПИТАННЯ ДО ТЕМИ «ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ»

1.Що таке функція двох змінних? Що таке функція багатьох змінних?

2.Що таке область визначення функції двох змінних?

3.Що таке лінії рівня? (поверхні рівня?)

4.Що таке границя функції двох змінних?

5.Яка функція двох змінних називається неперервною в точці M0 ?

6.Чому дорівнює частинний приріст функції z = f (x, y) за змінною x ?

Чому дорівнює частинний приріст функції z = f (x, y) за змінною y ?

7.Що таке частинна похідна першого порядку функції двох змінних z = f (x, y) по змінною x ? Що таке частинна похідна першого порядку функ-

ції двох змінних z = f (x, y) по змінною y ?

8.За якою формулою обчислюється повний диференціал функції двох змінних?

9.За якою формулою можна знайти похідну функції однієї змінної, заданої в неявному виді (тобто в виді F (x, y)=0 )?

10. Якщо функція двох змінних задана в неявному виді, тобто

F (x, y, z)=0 , то за якою формулою знаходять частинні похідні dxdz і dydz ?

11.Як знаходити частинні похідні вищих порядків? (Які похідні другого

порядку рівні між собою?)

12.Які точки називають критичними (стаціонарними) точками функції z = f (x, y) ?

13.Сформулюйте теорему (необхідні умови існування екстремуму функ-

ції z = f (x, y) .

14.Сформулюйте теорему (достатні умови існування екстремуму функції z = f (x, y) .

15.Якщо поверхня задана рівнянням F (x, y, z)=0 , то який вид мають рів-

няння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці M0 ?

16.За якою формулою знаходять похідну функції u = f (x, y, z) за напря-

мом вектора l ?

17.За якою формулою знаходять градієнт функції u = f (x, y, z) ?

18.Якою формулою зв’язані похідна за напрямом і градієнт?

19.За яким напрямом похідна функції дорівнює нулю? За яким напрямом функції має максимальне значення?

20.Як знаходять найбільше і найменше значення функції двох змінних z = f (x, y) в області D ?

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

1.Герасимчук, В. С. Вища математика [Текст]: повний курс у прикладах і задачах / В. С. Герасимчук, Г. С. Васильченко, В. І. Кравцов. – К.: Книги України ЛТД, 2009. – 578 с.

2.Запорожец, Г. И. Руководство к решению задач по математическому аналізу [Текст] / Г. И. Запорожец. – М.: Высш. шк., 1966. – 440 с.

3.Овчинников, П. П. Вища математика. Ч. 1 [Текст]: підручник / П. П. Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. – К.: Техніка, 2000. – 500 с.

4.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления т. 1 [Текст]: учеб. пособие для втузов / Н. С. Пискунов. – М.: Наука. 1980. – 560 с.

5.Смирнов, В. М. Курс высшей математики. Т. 1 [Текст] / В. М. Смирнов. – М.: Просвещение, 1974.

6.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 [Текст] / П. Е. Данко, А. Г Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1980.

ЗМІСТ
ВСТУП............................................................................................................................................	3
І. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ. ОЗНАЧЕННЯ.................................................................	3
ІІ. ОБЛАСТЬ ВИЗНАЧЕННЯ.......................................................................................................	3
ІІІ. ГРАНИЦЯ. НЕПЕРЕВНІСТЬ ФУНКЦІЇ...............................................................................	5
IV. ЧАСТИННІ ПОХІДНІ.............................................................................................................	5
V. ПОВНИЙ ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ....................................................................................	8
VІ. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ СКЛАДЕНИХ ФУНКЦІЙ ............................................................	9
VIІ. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ НЕЯВНО ЗАДАНИХ ФУНКЦІЙ.............................................	10
VIIІ. ЧАСТИННІ ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ ..................................................................	11
IХ. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОЛЯ ПОХІДНА ЗА НАПРЯМОМ. ГРАДІЄНТ..........................	13
Х. РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ ПЛОЩИНИ ДО ПОВЕРХНІ. РІВНЯННЯ НОРМАЛІ.............	15
ХІ. ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ ......................................................................	17
ХІІ. НAЙБІЛЬШЕ ТА НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ.................	18
ХІІІ. ІНДИВІДУАЛЬНІ ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ...................................................................	20
ТЕОРЕТИЧНІ ЗАПИТАННЯ ДО ТЕМИ «ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ»...................	38
БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК..................................................................................................	39

Навчальне видання

Є. П. Кришко, Є. А. Макаренков, Н. Г. Наріус, Г. А. Папанов, В. І. Самарський

ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Методичні вказівки і варіанти до виконання модульної роботи

Редактор Т. В. Мацкевич

Комп’ютерна верстка Т. В. Шевченко

Формат 60х84 1/16. Ум. друк. арк. 2,31. Обл.-вид. арк. 2,5. Тираж 100 пр. Зам. № 1935.

Видавництво Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна

Свідоцтво суб’єкта видавничої діяльності ДК № 1315 від 31.03.2003

Адреса видавництва та дільниці оперативної поліграфії: 49010, Дніпропетровськ, вул. Лазаряна, 2; www.diitrvv.dp.ua

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.12.20181.97 Mб311111111111.doc
#
17.03.2016209.92 Кб20111111111111111111111.doc
#
10.07.2019149.57 Кб211559.rtf
#
03.12.2018652.8 Кб8117457.doc
#
07.09.201922.75 Mб312 РСА.doc
#
12.05.20151.79 Mб51227.pdf
#
17.08.201924 Mб12125758.doc
#
09.11.2019550.23 Кб2132436.rtf
#
06.08.20192.84 Mб214..АД.doc
#
17.11.201934.44 Кб214.docx
#
12.05.201517.2 Mб9141658.rtf