Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Konspekt lek. MA-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

2.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Лекція 8. Похідні і диференціали вищих порядків

8.2. Диференціали вищих порядків

Розгляньмо диференційовну функцію f(x). Її диференціал (диферен-

ціал 1-го порядку)

df(x) f (x)dx

залежить від x та dx.

Диференціалом 2-го порядку (другим диференціалом) функції f (x)

називають диференціал від диференціала 1-го порядку і позначають

d2f d(df ).

Означення 8.2 (диференціала n -го порядку). Диференціалом n -

го порядку (n -м диференціалом) функції f (x) називають диференці-

ал від диференціала (n 1)-го порядку і позначають dn f d(dn 1f ),n ,

d0 f f .

Формули обчислення диференціалів вищих порядків

Нехай f (x) є функцією незалежної змінної x, що має диференціали

будь-якого порядку. Тоді

df(x) f (x)dx,

де dx x є сталим. За означенням

d2 f d(df ) d(f (x)dx) d(f (x))dx(f (x)dx)dx f (x)(dx)2.

Отже,

d2f f (x)(dx)2 f (x)dx2.

Так само

d3f d(d2f ) d(f (x)(dx)2 ) d(f (x))(dx)2(f (x)dx)(dx)2 f (x)(dx)3 f (x)dx3.

Методом математичної індукції можна довести, що dn f(x) f (n)(x)dxn,n .

Звідси, зокрема, випливає, що

f (n)(x) dn f . dxn

Виведімо тепер формули для обчислення диференціалів у разі, коли аргумент x є диференційовною функцією x (t) незалежної

62	Розділ 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

змінної t. Для одного й того самого t, але різних t (а, отже, й різних x) прирости x різні, тобто в цьому разі dx x не можна вважати незалежним від x, оскільки диференціал функції

dx d( (t)) (t)dt.

Тому

df ftdt f (t)dt fxdx.

Отже, перший диференціал функції f визначають однією і тією самою формулою незалежно від того, чи є її аргумент незалежною змінною, чи є функцією іншого аргументу.

Цю властивість диференціала називають інваріантністю форми першого диференціала.

Знайдімо диференціал 2-го порядку:

d2f(x) d(f (x)dx) d(f (x))dx f (x)d2x(f (x)dx)dx f (x)d2x f (x)dx2 f (x)d2x.

Отже, диференціали 2-го (і вище) порядку вже не мають властивості інваріантності.

8.2. Похідні вищих порядків від функцій, заданих параметрично

Розгляньмо функцію

Оскільки

то

x x(t), y :

y y(t)

y y(x) задану параметрично рівняннями

x(t),

t T.

y(t),

)

x x

x(t),

y :

...

)

x t

x(t),

(n)

(n 1)

(n)

n 1

Лекція 9. Основні теореми диференціального числення

ЛЕКЦІЯ 9. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ

9.1. Теореми про середнє значення

Означення 9.1 (диференційовності функції в інтервалі). Функ-

цію f називають диференційовною в інтервалі (a;b), якщо вона ди-

ференційовна в кожній точці цього інтервалу.

Множину всіх диференційовних в інтервалі (a;b) функцій позначатимемо як D(a;b).

Диференційовним в інтервалі функціям притаманні спільні властивості — теореми про середнє значення.

Теорема 9.1 (Роля). Якщо функція f :

1)неперервна на відрізку [a;b];

2)диференційовна в інтервалі (a;b);

3)на кінцях відрізку [a;b] набуває рівних зна-

чень f (a) f (b),

то в інтервалі (a;b) існує принаймні одна точка, у якій похідна функції дорівнює нулеві, тобто f ( ) 0, (a;b).

O a		b x
y

O a

b x

Рис. 9.3. Теорема Роля

			(Лаґранжа). Якщо функція f :
		Теорема 9.2			y	C	B
		Теорема 9.2				C	B
	1) неперервна на відрізку [a;b],
	2) диференційовна в інтервалі (a;b),					A
	2) диференційовна в інтервалі (a;b),
	то в інтервалі (a;b) існує принаймні одна точка				O a		b x
		така, що				Рис. 9.4. Теорема
		f(b) f(a) f ( )(b a),a b.				Лаґранжа
						Лаґранжа

		Формулу
				f(b) f (a) f ( )(b a)

ще називають Лаґранжовою формулою.
		Якщо в Лаґранжовій формулі покласти a x0, b x0 x, то во-
на набуде вигляду
		f(x0 x) f(x0 ) f ( ) x, x0; x0 x .

64	Розділ 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Оскільки формула дає точний зв’язок приросту функції і приросту аргументу, її ще називають формулою скінченних приростів (вказати точку часто не можливо).

Теорема 9.3 (Коші). Якщо функції f і g :

1)неперервні на відрізку [a;b],

2)диференційовні в інтервалі (a;b),

3)похідна g (x) 0 в інтервалі (a;b),

то в інтервалі (a;b) існує принаймні одна точка така, що

f(b) f(a)
	f ( )	,	a b.

g(b) g(a)
	g ( )

9.2. Правило Бернуллі — Лопіталя

Теорема 9.4 (про правило Бернуллі — Лопіталя). Якщо:

1)функції f та g означені, непрерервні і диференційовні у проколеному околі точки x0 ;

2)g (x) 0 у всіх точках цього околу;

3) lim f (x)	lim g(x) 0 або	lim f (x)	lim g(x) ;
x x0	x x0	x x0	x x0


4) існує	lim	f (x)			L,
		g (x)
	x x0
то існує	lim		f(x)		L.
			g(x)
	x x0
Правило Бернуллі — Лопіталя використовують, щоб розкривати
невизначенності				0		та	.	Решту невизначеностей зводять до них за

		0

допомогою перетворень.

За правилом Бернуллі — Лопіталя можна довести, що:

lim	xn	0,n .
x ex
lim	ln x		0, 0.

x x

Тобто, степенева функція x , 0, зростає не порівняно швидше логарифмічної і не порівняно повільніше показникової функції.

ln x x ex , x 0.

разів диференційовна в околі

Лекція 10. Тейлорова формула

ЛЕКЦІЯ 10. ТЕЙЛОРОВА ФОРМУЛА

10.1. Многочлен і формула Тейлора

Найпростішими функціями в розумінні обчислень їхніх значень є многочлени. Виникає питання про можливість заміни функції f(x) в околі точки x0 многочленом деякого степеня.

Нехай функція f (x) принаймні n точки x0.

Означення 10.1 (многочлена Тейлора). Многочленом Тейлора n -го

порядку функції f (x) за степенями (x x0 ) називають многочлен

f (x

0 )

f (x0 )

f (n)(x0 )

(x) f(x0 )

(x x0 )

...

(x x

0 )

1 !

2 !

(k)

(x0 )

(x x0 )k, (f (0)

f ).

k 0

k !

Значення похідних функції і її многочлена Тейлора до n -го по-

рядку включно збігаються:

f (x

), f

), ..., f

(n)

)

(n)

) P (x

Означення 10.2 (формули Тейлора).

Формулою Тейлора n -го порядку функції f (x) в околі точки x0 називають формулу

f(x) Pn (x) Rn (x),

	(x) —		многочлен Тейлора,
де Pn
		(x)	— залишковий член
Rn (x) f (x) Pn

Rn(x)

f (x)

Pn(x)

x0 x

Рис. 10.1. Формула Тейлора

формули Тейлора.

Залишковий член формули Тейлора Rn (x) визначає похибку на-

ближення функції f (x) її многочленом Тейлора n

P (x).

Якщо f (x) Pn (x) є многочленом n -го порядку, то Rn(x) 0.

Формулу Тейлора в околі точки x0 0 називають формулою Тей-

лора — Маклорена.

66	Розділ 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

10.2. Різні форми Тейлорової формули

Тейлорова формула в диференціальній формі

Покладаючи x x0

x, x x0 x

у Тейлоровій формулі

(x0 )

f (x0 )

f(x) f(x0 )

(x x0 )

...

1 !

2 !

(n)(x0 )

(x x

R (x),

)

дістаньмо

f (x

x) f(x

)

f (x0 )

x2 ...

f (n)(x0 )

xn R (x).

Оскільки

f(x0 x) f(x0 ) f(x0 ), f (n)(x0 ) xn dn f(x0 ),

то Тейлорову формулу n -го порядку функції f можна записати в ди-

ференціальній формі

f(x0 ) df(x0 ) d2f(x0 ) d3f(x0 ) ... dn f(x0 ) Rn(x). 2! 3! n !

Тейлорова формула із залишковим членом у формі Пеано

Теорема 10.1 (Тейлора). Якщо функція y f (x) означена й n разів диференційовна в околі точки x0, то правдива формула Тейлора

n -го порядку функції f із залишковим членом у формі Пеано:
						n
			f(x) Pn(x) o((x x0 ) )
	f (x	0 )		f (x	0 )	2	f (n)(x0 )	n
f(x0 )			(x x0 )			(x x0 ) ...		(x x0 )
f(x0 )	1 !		(x x0 )	2 !		(x x0 ) ...	n !	(x x0 )
	1 !			2 !			n !

o((x x0 )n ), x x0.

Тейлорова формула із залишковим членом у формі Лаґранжа

Якщо вимагати від функції f (x) (n 1) разів диференційовності в око-

лі точки x0 , то можна записати формулу Тейлора із залишковим чле-

ном у формі Лаґранжа:

Лекція 10. Тейлорова формула

(n 1)( )

n 1

f(x) Pn

(x)

0 )

(n 1)!

0 )

(n)

(x0 )

f (x

f(x0 )

(x x0 ) ...

x0 )

n !

f (n 1)( )(x x0 )n 1, (x0 ;x). (n 1)!

10.3.Розвинення за формулою Тейлора — Маклорена елементарних функцій

1. Розвинення функції f(x) ex .

Функція f(x) ex

нескінченно диференційовна на . Знайдімо послі-

довні похідні від функції f (x) ex :

f(x) e

f(0)

(x) e

(0)

................

(n)

(x) e ,

(0) 1

(n 1)

, (0; x).

(x)

( )

Підставляючи

одержані

значення

f(0), f (0), ..., f (n)(0), f (n 1)( ) у

формулу Тейлора — Маклорена із залишковими членами у формі Пеано і Лаґранжа, дістаємо

ex 1

...

o(xn );

n !

xn 1

ex 1

... xn

e ,

(0;x).

n !

(n 1)!

2. Розвинення f (x) sin x.

k 1

x2k 1

sin x x

... ( 1)

o(x

);

(2k 1)!

k 1

x2k 1

sin x x 3!

5! ... ( 1)

( 1) cos

(2k 1)!

(0;x).

68	Розділ 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

y P1(x) x

y P5(x) x

3 !

5 !

y sin x

y P3(x) x

3 !

Рис. 10.2. Наближення функції f (x) sin x

Тейлоровими многочленами

3. Розвинення функції f (x) cos x.

cosx 1

k x2k

o(x

2k 1

);

... ( 1)

(2k)!

k x2k

k 1

x2k 2

cos x 1 2!

4 ! ...

( 1) (2k)! ( 1)

cos

(2k 2)!,

(0;x).

4. Розвинення функції f (x) ln(1 x).

ln(1 x) x

...

n 1 xn

o(x

);

( 1)

n 1 xn

( 1)n

xn 1

ln(1 x) x

3 ... ( 1)

n (1 )n 1

n 1,

(0;x).

5. Розвинення функції f(x) (1 x) .

1 x

( 1)

...

( 1)...( n 1)

o(x

);

(1 x)

n !

1 x

( 1)

...

( 1)...( n 1)

(1 x)

n !

( 1)...( n)(1 ) n 1xn 1,

(0;x).

(n 1)!

Якщо m , то всі члени формули Тейлора — Маклорена, починаючи з (m 1) -го зникають, і формула Тейлора — Маклорена перетворюється на відому формулу Ньютонового бінома

Лекція 10. Тейлорова формула

m(m 1)

x .

(1 x)

... x

2 !

10.3. Застосування Тейлорової формули

1. Формули Тейлора — Маклорена із залишковим членом у формі Пеано є джерелом асимптотичних формул.

Приміром, для функції f(x) ex маємо:

ex 1 x o(x),
ex 1		x	x2	o(x2 ),
	1!		2 !

ex 1		x	x2		x3	o(x3 ).
	1!		2 !		3 !

Використаємо ці формули до обчислення границі:

lim	ex 1 x		0	lim
lim				lim
x 0	x	2	0	x 0
	x		0

	x2	o(x2 )

lim	2
	2
		x2
x 0		x2

			x	2		2
			x			2
1 x					o(x			1	x
1 x					o(x		)	1	x
			2
			2
					x2
					x2
	1	lim		o(x2 )			1	.
	2	lim			x2		2	.
	2	x 0			x2		2

2.Формулу Тейлора за степенями (x x0 ) із залишковим членом

уформі Лаґранжа застосовують для обчислення наближених значень функції в околі U (x0 ).

Значення f (x) в околі U(x0 ) обчислюють за формулою

	f (x	0 )		f (n)(x0)	n
f (x) f(x0)			(x x0 ) ...		(x x0) ,
	1!			n !

похибка наближення не перевищує

R (x)	f (n 1)( )	(x x	)n 1	,	(x	; x).
	f (n 1)( )

n	(n 1)!	0			0
	(n 1)!

70	Розділ 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

ЛЕКЦІЯ 11. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

11.1. Дослідження функцій за допомогою першої похідної

Монотонність функцій

		Теорема 11.1	(достатні умови строгої монотонності). Якщо фу-
		нкція f диференційовна в			інтервалі (a;b) та f (x) 0	(f (x) 0)
	скрізь, крім, можливо, скінченної кількості точок, у яких f (x) 0 в
		(a;b), то функція f		зростає (спадає) в інтервалі (a;b).
		Якщо функція f		зростає (спадає) в (a;b), то це		y
						y

ще не означає, що f (x) 0 (f (x) 0) в усіх точках
проміжку.							x
проміжку.						O	x
		Приміром, функція y x3			зростає в ( ; ),
однак y (0) 3x2				0.	Рис. 11.1. Зростаюча
					Рис. 11.1. Зростаюча
			x 0		функція
			x 0

Інтервали монотонності функції відокремлюють один від одного або точки, де похідна дорівнює нулеві, або точки, де похідна дорівнює нескінченності чи не існує.

Означення 11.1 (критичної точки 1-го порядку). Нехай функція f означена в околі точки x0. Точку x0 називають критичною точкою 1-го порядку, якщо виконано одну з умов:

1)f (x0 ) 0;

2)f (x0 ) ;

3)f (x0 ).

Геометрично ці умови означа-	y			M	M
ють, що у критичній точці 1-го по-					M
ють, що у критичній точці 1-го по-		m
рядку дотична або паралельна осі		m
Ox (умова 1) (такі точки називають		M
Ox (умова 1) (такі точки називають		M
стаціонарними), або паралельна осі				B
стаціонарними), або паралельна осі
Oy (умова 2) (такі точки називають
Oy (умова 2) (такі точки називають		A			m
точками вертання) або дотичної не			m		C
існує (умова 3) (такі точки назива-			m


ють кутовими).	O				x

Рис. 11.2. Критичні точки 1-го порядку

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.08.201958.88 Кб2kol2 вопросы 1-10.doc
#
29.04.20194.18 Mб16kolomijchuk_shema.doc
#
17.03.20165.82 Mб47KOMPAS_METODA13_2.pdf
#
17.03.201621.24 Mб87KOMPAS_ЗАВДАННЯ2013_8.pdf
#
17.03.20164.55 Mб39konspect_lectsiy-ln_lm.pdf
#
12.05.20152.01 Mб13Konspekt lek. MA-1.pdf
#
17.03.20163.92 Mб445konspekt_lekcii_ek_pp_um_uk_novii_dlya_stud_2.docx
#
17.03.20163.26 Mб39konspekt_lektsy_Ch1.doc
#
19.09.20193.12 Mб59Konspekt_modelirovanie2.doc
#
18.09.2019547.84 Кб1Konspekt_Skor_Fil.doc
#
12.05.201521.5 Кб10Kontrollarbeit # 3.docx