que1sem_kpi
.doc
Питання до іспиту з математичного аналізу (1 семестр 2011/2012 н.р.)
-
Поняття відображення множин (функції). Повні образи та прообрази. Класифікація відображень. Обернене відображення. Композиція відображень, її властивості.
-
Мінімальний та максимальний елементи множини. Точна нижня і точна верхня межі множини. Теорема про існування точних меж у обмежених множин.
-
Критерій існування точних меж непорожньої множини мовою нерівностей.
-
Принцип Архімеда та його наслідки.
-
Теорема про вкладені відрізки (принцип Коші – Кантора).
-
Теорема про скінченне підпокриття (лема Гейне – Бореля).
-
Теорема про граничну точку (принцип Больцано – Вейєрштрасса).
-
Означення числової послідовності. Збіжні та розбіжні послідовності. Обмежені послідовності. Приклади.
-
Границя збіжної числової послідовності: означення, геометричний зміст.
-
Нескінченно великі та нескінченно малі послідовності. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.
-
Нескінченно великі послідовності: означення, зв'язок із нескінченно малими.
-
Загальні властивості границі послідовності: єдність границі та обмеженість збіжної послідовності.
-
Арифметичні властивості границі послідовності.
-
Граничний перехід у нерівності та у подвійній нерівності для послідовностей.
-
Монотонні послідовності. Теорема про границю монотонної послідовності. Число е.
-
Поняття підпослідовності та часткової границі заданої послідовності. Теорема Больцано-Вайєрштрасса та її розширення. Критерій існування границі послідовності в термінах часткових границь.
-
Фундаментальні послідовності. Критерій Коші збіжності послідовності.
-
Границя функції в точці: означення мовою послідовностей (за Гейне) та мовою нерівностей (за Коші). Теорема про еквівалентність цих означень.
-
Основні властивості границі функцій.
-
Односторонні границі. Критерій існування границі функції в точці мовою односторонніх границь. Границя на нескінченності.
-
Нескінченно великі та нескінченно малі функції. Основні властивості нескінченно малих функцій.
-
Порівняння функцій в околі точки. Основні властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
-
Перша визначна границя.
-
Друга визначна границя.
-
Таблиця основних границь та таблиця еквівалентних при функцій.
-
Означення неперервності функції в точці та на проміжку. Локальні властивості неперервних функцій.
-
Розриви неперервності функцій. Класифікація точок розриву.
-
Перша теорема Вайєрштрасса (про обмеженість функції, неперервної на відрізку).
-
Друга теорема Вайєрштрасса (про точні межі функції, неперервної на відрізку).
-
Теорема Больцано – Коші про нуль неперервної на відрізку функції.
-
Теорема про проміжні значення неперервної на відрізку функції.
-
Теорема Шаудера про нерухому точку.
-
Односторонні границі монотонних функцій. Теорема про можливий тип розривів монотонної функції.
-
Критерій неперервності монотонної функції.
-
Теорема про монотонність функції, оберненої до строго монотонної.
-
Теорема про неперервність функції, оберненої до неперервної та строго монотонної функції.
-
Рівномірна неперервність функції на проміжку. Теорема Кантора про рівномірну неперервність.
-
Означення диференційовності функції в точці, похідної та диференціалу. Зв'язок цих понять. Геометричний зміст похідної та диференціалу.
-
Односторонні похідні. Зв'язок неперервності та диференційовності.
-
Основні правила диференціювання.
-
Теорема про диференціювання складеної функції. Диференціювання оберненої функції.
-
Диференціювання функції, заданої параметрично або неявно.
-
Логарифмічне диференціювання. Похідна показниково-степеневої функції.
-
Таблиця похідних.
-
Диференціал функції: властивості, інваріантність форми, застосування до наближених обчислень.
-
Похідні вищих порядків. Формули для похідних n-го порядку деяких елементарних функцій. Формула Лейбніца для похідної n-го порядку від добутку двох функцій.
-
Похідні вищих порядків для функцій, заданих параметрично або неявно.
-
Диференціали вищих порядків.
-
Теорема Ферма.
-
Теорема Ролля.
-
Теорема Лагранжа про скінченні прирости.
-
Теорема Коші про дві диференційовні функції.
-
Правила Лопіталя розкриття невизначеностей.
-
Формули Тейлора та Маклорена із залишковим членом у формі Лагранжа.
-
Локальна формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано. Формула Тейлора для многочлена.
-
Локальні формули Маклорена для найважливіших елементарних функцій.