44

ными) колебаниями. Рассмотрим, как происходят такие колебания на примере математического маятника. Математическим маятником называется идеа-

лизированная система, состоящая из материальной точки с массой m, подве- шенной на невесомой нерастяжимой нити, которая совершает колебания под действием силы тяжести.

Отклоним груз массой m, подвешенный на нить длиной L, от положения равновесия на угол α и отпустим его (рис. 1). Для упрощения задачи предполо- жим, что силы трения малы и ими можно пренебречь. Груз будет двигаться к положению равновесия с ускорением, которое возникло под действием суммы сил: силы тяжести mg , направленной отвесно вниз и силы натяжения нити FН , направленной вдоль нити к точке подвеса.

Возвращающая сила F равна векторной сумме сил mg и FН , и направ-

лена по касательной в каждой точке траектории движения груза. Ее величина

равна

F = mg sinα

Если угол отклонения α мал, то sinα ≈ α, а F ≈ mgα .

Отклонение груза от положения равновесия обозначим через x. При ма- лых α дугу траектории груза можно считать приближенно прямой. Запишем уравнение движения груза. Согласно второму закону Ньютона тело массой m

3

Обозначим gL = ω02, тогда уравнение примет вид:

Решение этого дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами таково:

уравнение.

Уравнение (3) аналогично (1). Таким образом мы доказали, что если пре- небречь силой трения, при малых отклонениях маятник совершает гармониче- ские колебания с циклической частотой ω0. Частота и период, связанные с ω0, находятся из следующих соотношений:

Как видим, период и частота таких колебаний математического маятниказави-

сят только от длины нити и ускорения свободного падения и не зависят от

массы груза и от амплитуды колебания (если углы отклонения не превышают

100)

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим два одинаковых математических маятника, связанных легкой пружинкой, которые способны совершать колебания только в вертикальной плоскости (плоскости листа), проходящей через точки подвеса (рис.2). Колеба- ния одного маятника закономерно связаны с колебаниями другого. Вид этих колебаний зависит от того, как мы приводим систему в движение. СредиНаб- людая колебания за некоторое сравнительно небольшое время, когда еще не

4

сказалось действие сил трения, мы увидим, что колебания каждого из маятни-

ков негармоничные.

второй маятник, и он постепенно начнет раскачиваться. Так как энергия, сообщенная первому маятнику, будет tпереда- ваться отчастивторому, то амплитуда колебаний первого маятника будет по-

Тб Рис.3

степенно убывать, в то время как амплитуда второго маятника — нарастать. Все это будет продолжаться какое-то время Tб/2, до тех пор, пока первый маятник не остановится, а второй (если потери на трение малы) не будет качаться почти

5

с такой же амплитудой, как и первый в самом начале. Затем маятники меняются ролями: второй раскачивает первый. Процесс полностью повторяется. Маятни- ки будут совершать то нарастающие, то убывающие колебания и через время Tб будут обмениваться энергией. Такие колебания называются биениями, а время Tб — периодом биений. Как бы мы ни выводили маятники из положения равно- весия, период биений всегда будет одним и тем же. Колебания каждого из ма- ятников во всех случаях являются негармоническими. Каждый маятник совер- шает как бы гармоническое колебание, но амплитуда его периодически изменя- ется с одним и тем же периодом биений Tб.

Из соображений, основанных на симметрии маятников, можно указать два способа возбуждения колебаний, при которых колебания маятников будут

чисто гармоническими:

Первый способ: оба маятника отклонить одинаково в одну сторону и от- пустить. Оба маятника будут совершать колебания так, как если бы пружинки не было, она не изменяет своей длины во время колебаний. Если пружинка имеет ничтожный вес, то маятники колеблются с такой же частотой ν, с кото- рой совершал бы свободные колебания один маятник:

где g — ускорение свободного падения, а L — длина маятника. Такое колебание

системы связанных маятников называется синфазным .

Второй способ: оба маятника отклонить одинаково в разные стороны и отпустить. Маятники будут совершать колебания в противофазе, пружинка бу- дет сжиматься и разжиматься, но середина ее останется в покое, и эту точку можно считать закрепленной. Оба маятника находятся в одинаковых условиях и совершают гармонические колебания с периодом Танти . Период антифазных ко- лебаний Танти будет меньше периода синфазных колебаний Тсин, так как во вто- ром случае к возвращающей силе маятника присоединяется еще и возвращаю- щая сила пружинки. Так как движения маятников абсолютно симметричны, со- ставим уравнение движения для одного из связанных маятников (рис.4).

На маятник, кроме возвращающей силы F , действует еще и сила упруго- сти растянутой пружины F упр = − ka, где k — жесткость пружины, а a — удли- нение пружины. Силы F и F упр имеют разные точки приложения, поэтому со- ставим уравнение движения для моментов этих сил, т.е.

Mупр = Fупрd = – kad и M = – FL= – mgα L

где d — расстояние от точки подвеса маятника до точки крепления упругой свя- зи к стержню маятника, m — масса груза, а L — длина маятника. В соответст- вии с уравнением динамики вращательного движения равнодействующий мо- мент сил, приводящий в движение маятник, можно записать так:

6

ческая частота антифазных гармонических колебаний маятников, связанных легкой пружинкой. Итак

Если система двух маятников совершает колебания с νанти или νсин , ко-

лебания будут гармоническими, во всех других случаях в системе возникнут биения с частотой

Причем эта частота не зависит от способа возбуждения колебаний и от началь- ных отклонений маятников.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БИЕНИЙ

Чтобы получить математическое объяснение биений мы должны сложить два гармонических колебания близкой частоты. Сложим два гармонических ко-

7

лебания различной частоты (для двух одинаковых маятников эти частоты равны nанти и nсин ). Предположим, что амплитуды этих колебаний равны, а начальные фазы равны нулю.

x1 = A cos (2pn1t) x2 = A cos (2pn2t).

Суммарное колебание рассчитывается так

x= x1 + x2 = A[cos(2pn1t) + cos (2pn2t)] =

2A cos p(n2 – n1) t × cos 2p ν1 + ν2 t 2

Если частоты близки, то можно считать, что ν1 + ν2 » n , а n2 – n1 = nб По- 2

лучаем, что

x = (2A cos pnб t) cos 2pnt.

Можно считать результирующее колебание гармоническим колебанием с

частотой n = ν1 + ν2 , амплитуда которого периодически изменяется со време- 2

нем с частотой nб = n2 – n1, или, как говорят, пульсирует.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ

В отличие от свободных, вынужденные колебания происходят под дей-

ствием внешней периодической силы. Вынужденные колебания происходят всегда с той же частотой, с которой изменяется внешняя сила. Амплитуда вы- нужденных колебаний зависит не только от величины действующей силы, но и от ее частоты. Амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, если час- тота силы близка к частоте собственных колебаний системы.

8

Явление резкого возрастания амплитуды колебаний , когда частота внешней силы приближается к собственной частоте системы, называется ре-

резонансных пика вблизи собственных частот маятников ω1 и ω2 .В случае раз- ной длины маятников резонанс колебаний будет наблюдаться, когда ω1 и ω2 — собственные частоты колебаний первого и второго маятников. При первом ре- зонансе будут наблюдаться синфазные колебания маятников, но угол отклоне- ния длинного маятника будет больше, так как частота ω1 близка к собственной частоте длинного маятника. При втором резонансе колебания маятников будут антифазными с частотой ω2 , близкой к собственной частоте короткого маятни- ка.

9