ГЛАВА 7. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим задачу построения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым условиям. Такие задачи называются краевыми задачами, в отличие от ранее изученных задач Коши. Для упрощения, ограничимся исследованием задачи для уравнения второго порядка.

§1. Линейное уравнение второго порядка

Рассмотрим уравнение следующего вида:

некоторая положительная постоянная. Уравнение (1.2) обладает рядом интересных свойств. Отметим некоторые из них.

Пусть y(x) и z(x) – решения следующих уравнений:

L[y] f (x), L[z] g(x).

Умножая первое из них на z(x), а второе – на y(x) и вычитая почленно полученные результаты, будем иметь

95

Это соотношение называется тождеством Лагранжа. Его часто переписывают в операторной форме

Интегрируя тождество (1.4), получаем формулу Грина:

Из (1.4) следует, что если y(x) и z(x) – решения однородного уравнения

Замечание. Из соотношения (1.6) следует, что если известно одно решение

от произвольной постоянной с. Его общее решение можно получить методом вариации произвольной постоянной. В итоге общее решение уравнения (1.5)

где a0,a1, 0, 1 – заданные постоянные, такие, что a02 a12 0 и 02 12 0.

96

Поставленная задача называется краевой задачей.

Если краевые условия неоднородны, т.е. имеют вид

0 y(l) 1 y (l) 2,

где 1 и 2 – некоторые постоянные, то задачу можно свести к такой же задаче, но с однородными условиями (2.1) следующим образом. Сначала находим функцию u(x) такую, чтобы она удовлетворяла условиям (2.2). Обычно ее можно построить в виде полинома u(x) ax b. Затем в уравнении (1.2) делаем

с однородными граничными условиями (2.1). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только задачу (1.2), (2.1). Эта задача решается с помощью функции Грина, которая определяется следующим образом.

Определение. Функцией Грина будем называть функцию G(x,s), 0 x, s l , удовлетворяющую следующим условиям:

1.G(x,s) непрерывна на x и s при 0 x, s l .

2.G(x,s) как функция переменной x удовлетворяет однородному уравнению

Из определения функции Грина еще не следует ее существование для каждой краевой задачи (2.1), (2.4). Докажем, что краевая задача (2.1), (2.4) имеет функцию Грина, если эта задача имеет только тривиальное решение в классе дважды дифференцируемых функций.

2.1. Краевая задача для неоднородного уравнения. Перейдем к решению краевой задачи (1.2), (2.1). Напомним об основных предположениях, при которых рассматривается эта задача. Они состоят в следующем.

3. Однородная краевая задача (2.1), (2.4) имеет только тривиальное решение в классе дважды дифференцируемых функций.

97

При выполнении этих условий задача (2.1), (2.4) однозначно разрешима. Если же эти условия не выполняются, то, как показано ниже, подобное утверждение относительно краевой задачи (2.1), (2.4) не всегда верно.

Теорема 1. При выполнении указанных выше предположений 1–3 функция

l

LG(x,s) f (s)ds f (x),

0

что и требовалось доказать.

Рассмотрим вопрос о единственности решения краевой задачи (1.2), (2.1).

дифференцируемых функций, то задача (1.2), (2.1) имеет единственное решение.

Доказательство получается методом от противного. Если предположить,

98

Приведенный ниже пример показывает, что условие теоремы является существенным. Можно указать случаи, когда оно не выполняется, и тогда неоднородная краевая задача имеет одно-, а возможно, и двухпараметрическое семейство решений. Может оказаться, что задача вообще не имеет решения.

Теорема 3. Необходимым условием разрешимости краевой задачи (1.2), (2.1) является условие

где (x) – произвольное решение соответствующей однородной задачи (1.5), (2.1).

Доказательство. Пусть y(x) – решение неоднородной краевой задачи (1.2), (2.1), а (x) – решение однородной задачи (1.5), (2.1). Применим формулу Грина к этим функциям:

Докажем, что выражение, стоящее в середине цепочки равенств, равно нулю. В самом деле, из того, что (x) и y(x) удовлетворяют первому

граничному условию из (2.1), имеем равенства

a0 (0) a1 (0) 0; a0 y(0) a1y (0) 0,

в которых a0 и a1 не могут быть одновременно равны нулю (см. (2.1)). Для определенности предположим, что a1 0. Тогда

99