3. Линейные операторы в гильбертовом пространстве

Наиболее полно теория операторов разработана для случая линейных операторов в гильбертовом пространстве. В частности, теория линейных функционалов.

Определение 2.8. Линейным функционалом в гильбертовом пространстве H называется линейный оператор, отображающий H во множество чисел (вещественных или комплексных).

Построение наиболее важного примера линейного функционала: если x0 – фиксированный вектор гильбертова пространства H, то формула f(x) (x, x0) задает линейный функционал на H .

Иными словами, это линейное отображение из некоторого пространства функций во множество чисел действительных или комплексных.

Раздел 3. Специальные функции и их приложения

§3.1. Определенные интегралы, зависящие от параметра, и их свойства

Пусть функция f (x, y) определена в прямоугольнике

P (x, y) | a x b, c y d .

Предположим, что при каждом фиксированном y из [c, d] существует

b

f (x, y)dx.

a

Ясно, что каждому значению y из [c, d] будет отвечать свое, вполне оп-

b

ределенное значение этого интеграла. Следовательно, f (x, y) dx представляет

a

собой функцию переменной (параметра) y,определенную в промежутке [c, d]. Введем обозначение

a

Наша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции f (x, y), получить информацию о свойствах функции I (y). Эти свойства, как будет показано ниже, имеют широкое применение, в особенности при вычислении интегралов.

Допустим также, что при каждом фиксированном x из промежутка [a, b]

d

существует f (x, y) dy. Тогда этот интеграл будет представлять собой функ-

c

цию переменной (параметра) x, определенную в промежутке [a, b]. Обозначим

29

ее через I (x) так, чтобы

c

Таким образом, интегралы (3.1) и (3.2) являются интегралами по параметру.

Свойства интегралов по параметру Теорема 3.1 (о допустимости предельного перехода по параметру под

знаком интеграла).

Пусть функция f (x, y) непрерывна в прямоугольникеP(т. е. принадле-

жит пространству C(P)) и пусть y0 – любое из [c, d]. Тогда

3) I (y) C([c, d]), где C([c, d]) – пространство непрерывных на [c, d].

Теорема 3.4 (об интегрировании по параметру под знаком интеграла).

Пусть функция f (x, y) C(P). Тогда

Случаи зависимости пределов интегрирования от параметра Теорема 3.5 (о непрерывности интеграла как функции параметра).

30

Теорема 3.6 (о дифференцировании по параметру). Предположим, что функция f (x, y)непрерывна в P и имеет там непрерывную частную производ-

§3.2. Эйлеровы функции (x) и B(x,y)

Выделяют особый класс функций, представленных в виде собственного либо несобственного интеграла, который зависит не только от формальной переменной, но и от параметра. К их числу относятся гамма- и бета-функции Эйлера.

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например цилиндрических, гипергеометрических и др.

Благодаря ее введению значительно расширяются возможности при вычислении интегралов.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решенной, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

1. Гамма-функция Эйлера Г(x). Интегральное представление гаммафункции (x) определяется равенством

дует, что интеграл существует при x 1 1, т. е. при x 0. Производная функции (x) имеет вид

'(x) tx 1e t lntdt, x 0.

0

31

Свойства и основные соотношения Г-функции

Заменив x на x 1 в формуле (3.7), получим

32