59. Равносильные логические формулы.

60. Понятие предиката. Связь с моделью.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании “7 - простое число”, “7” – субъект, “простое число” – предикат. Это высказывание утверждает, что “7” обладает свойством “быть простым числом”.

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму “х – простое число”. При одних значения х (например, х=13, х=17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х=10, х=18) эта форма дает ложные высказывания.

Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множестве N, и принимающую значения из множества {1;0}. Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

Предикат (лат. praedicatum — заявленное, упомянутое, сказанное) — любое математическое высказывание, в котором есть по меньшей мере одна переменная. Предикат (n-местный, или n-арный) — это функция с множеством значений {0,1} (или «ложь» и «истина»), определённая на множестве . Таким образом, каждый набор элементов множества M он характеризует либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат можно связать с математическим отношением: если n-ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1.

Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.

Предикат называют тождественно-истинным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 1. Предикат называют тождественно-ложным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 0. Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д

61. Квантор общности. Семантика.

Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», ошибочно: «для любого…», «любой…») и квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»). В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или навешиванием квантора. Существует также квантор плюральности (квантор Решера) W (перевёрнутая M). Wx означает «для большинства x».

Квантор всеобщности — это условие, которое верно для всех обозначенных элементов, в отличие от квантора существования, где условие верно только для какихто отдельных из указанных чисел.

В предикатной логике, квантор всеобщности — это попытка формализации обозначения того, что нечто (логическое выражение) истинно для всего, или для любой относящейся к делу сущности.

В символической логике, квантор всеобщности (обычно ) — это символ, обозначающий всеобщность и часто неформально читается как «для любого» или «для всех».

Выражение читается так:

для любого (всякого, каждого) [значения] x из X P(x) [истинно];

всякий (любой, каждый) элемент x множества X (где X — множество значений переменной x) обладает свойством P(x);

каково бы ни было x, P(x) истинно.

СЕМАНТ КА, в широком смысле слова – анализ отношения между языковыми выражениями и миром, реальным или воображаемым, а также само это отношение (ср. выражение типа семантика слова) и совокупность таких отношений (так, можно говорить о семантике некоторого языка). Данное отношение состоит в том, что языковые выражения (слова, словосочетания, предложения, тексты) обозначают то, что есть в мире, – предметы, качества (или свойства), действия, способы совершения действий, отношения, ситуации и их последовательности. Термин «семантика» образован от греческого корня, связанного с идеей «обозначения» (ср. semantikos «обозначающий»). Отношения между выражениями естественного языка и действительным или воображаемым миром исследует лингвистическая семантика, являющаяся разделом лингвистики. Семантикой называется также один из разделов формальной логики, описывающий отношения между выражениями искусственных формальных языков и их интерпретацией в некоторой модели мира.

62. Квантор существования. Семантика.

Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», ошибочно: «для любого…», «любой…») и квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»). В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или навешиванием квантора. Существует также квантор плюральности (квантор Решера) W (перевёрнутая M). Wx означает «для большинства x».

В предикатной логике, квантор существования — это предикат свойства или отношения для, по крайней мере, одного элемента области определения. Он обозначается как символ логического оператора (произносится как «существует» или «для некоторого»). Квантор существования отличается от квантора всеобщности, который утверждает, что свойство или отношение выполняется для всех элементов области.

Выражение читается так:

существует [значение] x из X такое, что P(x) [истинно]

для некоторых [значений] x из X, P(x) [истинно]

существует элемент x множества X, обладающий свойством P(x)

по крайней мере (хотя бы) один элемент x множества X обладает свойством P(x)

некоторые элементы множества X обладает свойством P(x)

найдётся такое x из X, что P(x) истинно