11 Погрешности измерений

iZ TABLICY 3.1 WIDNO, ^TO TOLXKO PRI n = 60 POLU^IM DOWERITELXNU@ WEROQTNOSTX ® = 0;7. |TO | NEWYSOKAQ NADEVNOSTX IZMERENIJ. uWELI^ITX NADEVNOSTX IZMERENIJ PRO]E UWELI^ENIEM DOWERITELXNOGO INTERWALA. oBY^NO PRINIMA@T ¾(x) = 2¾ (hxi) ILI DAVE ¾(x) = 3¾ (hxi). mETODOM PROPORCIONALXNOGO S^ETA (SM. TABL. 3.1) MOVNO POLU^ITX, ^TO PRI n = 5 | 7 : ESLI ¾(x) = ¾ (hxi), TO ® = 0;62,

ESLI ¾(x) = 2¾ (hxi) TO ® = 0;9, ESLI ¾(x) = 3¾ (hxi) TO ® = 0;96. oBY^NO IZMERENIQ, NE TREBU@]IE BOLX[OJ TO^NOSTI, PROWODQT S NADEVNOSTX@ (DOWERITELXNOJ WEROQTNOSTX@) ® = 0;9.

tABLICA 3.1 { kO\FFICIENTY sTX@DENTA, t.

3.3 oCENKA SUMMARNOJ POGRE[NOSTI PRQMYH IZMERENIJ

eSLI ODNA IZ POGRE[NOSTEJ (SISTEMATI^ESKAQ ILI SLU^AJNAQ) MENX[E DRUGOJ W TRI I BOLEE RAZ, TO EE MOVNO NE U^ITYWATX. o[IBKA W OCENKE SUMMARNOJ POGRE[NOSTI NE PREWYSIT PRI \TOM 10%. eSLI VE SISTEMATI^ESKAQ POGRE[NOSTX I SLU^AJNAQ BLIZKI DRUG K DRUGU, TO ONI W ODINAKOWOJ STEPENI OPREDELQ@T TO^NOSTX REZULXTATA I NUVNO U^ITYWATX OBE POGRE[NOSTI. k SOVALENI@, DOSTATO^NO STROGOGO PRAWILA OPREDELENIQ SUMMARNOJ POGRE[NOSTI NET.

tIPI^NYJ METOD OPREDELENIQ SUMMARNOJ POGRE[NOSTI SOSTOIT W SLEDU@]EM. sISTEMATI^ESKAQ POGRE[NOSTX S^ITAETSQ TOVE SLU^AJNOJ WELI^INOJ I, TAK KAK ONA ESTX MAKSIMALXNAQ POGRE[NOSTX DANNOGO PRIBORA, EJ PRIPISYWAETSQ DOWERITELXNAQ WEROQTNOSTX ® = 0;997

(IMENNO TAKOE ZNA^ENIE ® PODTWERVDENO MNOGO^ISLENNYMI \KSPERIMENTAMI). tOGDA, IZ TEORII WEROQTNOSTEJ SLEDUET, ^TO SUMMARNAQ ABSOL@TNAQ POGRE[NOSTX IZMERENIJ

q

¾(x)§ = ¾2(x)SIST. + [3¾ (hxi)]2; (3.7)

S DOWERITELXNOJ WEROQTNOSTX@ ® = 0;96 (PRI n = 5 | 7 IZMERENIQH). w LABORATORNOM PRAKTIKUME MOVNO POLXZOWATXSQ I UPRO]ENNOJ

FORMULOJ :

dOWERITELXNAQ WEROQTNOSTX W \TOM SLU^AE PRI n = 5 | 7 RAWNA

® = 0;95.

iTAK, ESLI W REZULXTATE MNOGOKRATNYH IZMERENIJ KAKOJ-LIBO WELI^INY POLU^EN RQD SOWER[ENNO ODINAKOWYH ZNA^ENIJ, TO W \TOM SLU^AE SLU^AJNAQ POGRE[NOSTX SU]ESTWENNO MENX[E (ONA ESTX !) SISTEMATI^ESKOJ I EE NEWOZMOVNO U^ESTX. eSLI REZULXTATY IZMERENIJ OTLI^A@TSQ ODIN OT DRUGOGO, TO W \TOM SLU^AE NEOBHODIMO OCENITX KAK SISTEMATI^ESKU@, TAK I SLU^AJNU@ POGRE[NOSTI I NAJTI IH SUMMU.

fORMULY (3.7) I (3.8) MOVNO ISPOLXZOWATX I DLQ NAHOVDENIQ SUMMARNYH OTNOSITELXNYH POGRE[NOSTEJ :

4 oCENKA POGRE[NOSTI KOSWENNYH IZMERENIJ

pUSTX ISKOMAQ WELI^INA QWLQETSQ FUNKCIEJ NESKOLXKIH ARGUMENTOW, KOTORYE NAHODQTSQ W REZULXTATE PRQMYH IZMERENIJ :

y = f(x1; x2; : : : ; xi; : : : ; xk);

GDE k | ^ISLO ARGUMENTOW, QWLQ@]IHSQ REZULXTATOM PRQMYH IZMERENIJ.

GDE ¾(xi)§ | ABSOL@TNAQ SUMMARNAQ POGRE[NOSTX xi-GO ARGUMENTA.

dOWERITELXNAQ WEROQTNOSTX NAJDENNYH ZNA^ENIJ ¾(y) I "(y) RAWNA DOWERITELXNOJ WEROQTNOSTI ¾(x)§, PO\TOMU NEOBHODIMO, ^TOBY DOWERITELXNYE WEROQTNOSTI ARGUMENTOW BYLI RAWNY DRUG DRUGU. pRIMER POLXZOWANIQ FORMULAMI (4.1) I (4.2) NAHODITSQ W RAZDELE 6. tEM, KTO NE ZNAKOM S DIFFERENCIALXNYM IS^ISLENIEM I S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI, MOVNO NA PERWYH PORAH POLXZOWATXSQ PROSTYMI PRAWILAMI, WYTEKA@]IMI IZ FORMUL (4.1) I (4.2), SM. TABLICU 4.1.

sLEDUET UKAZATX, ^TO SLU^AJNU@ POGRE[NOSTX KOSWENNOGO IZMERENIQ MOVNO NAJTI KAK SREDNEKWADRATI^NU@ POGRE[NOSTX SREDNEGO ARIFMETI^ESKOGO IZ NESKOLXKIH REZULXTATOW KOSWENNYH IZMERENIJ WELI^INY y. w SOOTWETSTWII S FORMULOJ (3.5) :

tABLICA 4.1 { pROSTEJ[IE FORMULY DLQ NAHOVDENIQ POGRE[NOSTI KOSWENNOGO IZMERENIQ.

5 tO^NOSTX WY^ISLENIJ I ZAPISX REZULXTATA IZMERENIJ

tO^NOSTX OBRABOTKI ^ISLOWOGO MATERIALA DOLVNA BYTX SOGLASOWANA S TO^NOSTX@ SAMIH IZMERENIJ. wY^ISLENIQ, PROIZWEDENNYE c BOLX[IM ^ISLOM DESQTI^NYH ZNAKOW, ^EM \TO NEOBHODIMO, SOZDA@T LOVNOE WPE^ATLENIE O BOLX[OJ TO^NOSTI IZMERENIJ. w TO VE WREMQ, RAZUMEETSQ, NE SLEDUET UHUD[ATX REZULXTATY IZMERENIJ, POLXZUQSX IZLI[NE GRUBYMI METODAMI WY^ISLENIQ.

|KSPERIMENTATORY PRIDERVIWA@TSQ PROSTOGO PRAWILA : POGRE[- NOSTX, POLU^A@]AQSQ W REZULXTATE WY^ISLENIJ, DOLVNA BYTX PRIMERNO NA PORQDOK, T.E. W DESQTX RAZ, MENX[E SUMMARNOJ POGRE[NOSTI IZMERENIJ. pRI \TOM MOVNO BYTX UWERENNYM, ^TO W PROCESSE ARIFMETI^ESKIH WY^ISLENIJ O]UTIMYM OBRAZOM NE ISKAZQTSQ REZULXTATY IZMERENIJ.

pRI DESQTI I MENX[EM ^ISLE IZMERENIJ PRIDERVIWA@TSQ SLEDU- @]EGO PRAWILA. pRI ZAPISI SUMMARNOJ WELI^INY POGRE[NOSTI PRIWODQT ODNU ZNA^A]U@ CIFRU, ESLI ONA BOLX[E TREH, I DWE ZNA^A- ]IE CIFRY, ESLI PERWAQ IZ NIH MENX[E ^ETYREH. nAPRIMER, ESLI

¾(x) = 0;423, TO ZAPISYWA@T ¾(x) = 0;4 ; ESLI ¾(x) = 0;324, TO SLEDU-

ET PISATX DWE ZNA^A]IE CIFRY ¾(x) = 0;32. pOSKOLXKU POGRE[NOSTX ZAPISYWA@T, ISPOLXZUQ MAKSIMUM DWE CIFRY, TO ARIFMETI^ESKIE WY- ^ISLENIQ SLEDUET PROWODITX, ISPOLXZUQ MAKSIMUM TRI ZNA^A]IE CIFRY.

pRI ZAPISI REZULXTATA IZMERENIJ, T.E. WELI^INY hxi, POSLEDNEJ ZNA^A]EJ CIFROJ SLEDUET UKAZYWATX TU, RAZRQD KOTOROJ SOOTWETSTWUET MLAD[EMU RAZRQDU POGRE[NOSTI IZMERENIJ. nAPRIMER, NA- [LI, ^TO SOPROTIWLENIE PROWODNIKA hRi = 28;735 oM, POGRE[NOSTX IZMERENIQ PRI \TOM ¾(R) = 0;247 oM. oTWET SLEDUET ZAPISATX TAK :

R = (28;73 § 0;25) oM:

eSLI BY POGRE[NOSTX IZMERENIQ OKAZALASX DRUGOJ, NAPRIMER,

¾(R) = 0;438 oM, TO

R = (28;7 § 0;4) oM:

6 pRIMER OCENKI POGRE[NOSTI KOSWENNOGO IZMERENIQ

pUSTX PRI IZMERENII SOPROTIWLENIQ NEKOEGO REZISTORA ISPOLXZU- @TSQ SLEDU@]IE PRIBORY : WOLXTMETR KLASSA TO^NOSTI 1;0 S MAKSI-

MALXNYM ZNA^ENIEM [KALY 50 w I AMPERMETR KLASSA TO^NOSTI

co [KALOJ 75 Ma. dLQ OPREDELENIQ R MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ ZAKONOM

oMA :

R = U=I:

rEZULXTATY PQTI IZMERENIJ NAPRQVENIQ U I TOKA I PRIWEDENY W TABLICE 6.1.

tABLICA 6.1

oCENIM POGRE[NOSTX NAJDENNOJ WELI^INY hRi. w DANNOM SLU^AE PRO]E NAJTI OTNOSITELXNU@ POGRE[NOSTX. iZ TABLICY 4.1 SLEDUET,

^TO

p

iTAK, NUVNO NAJTI SUMMARNYE OTNOSITELXNYE POGRE[NOSTI IZMERENIJ "(U)§ I "(I)§. tAK KAK KLASS TO^NOSTI WOLXTMETRA 1;0 , TO EGO ABSOL@TNAQ SISTEMATI^ESKAQ POGRE[NOSTX, W SOOTWETSTWII S FORMU-

LOJ (3.2) :

kLASS TO^NOSTI AMPERMETRA | \TO ZNA^IT, ^TO OTNOSITELX-

NAQ POGRE[NOSTX "(I)SIST. = 0;015.

sREDNQQ KWADRATI^NAQ POGRE[NOSTX hUi (SLU^AJNAQ), W SOOTWETSTWII S FORMULOJ (3.5), RAWNA :

oTNOSITELXNAQ SLU^AJNAQ POGRE[NOSTX IZMERENIQ hUi

"(hUi) = 0;184 = 0;74 ¢ 10¡2: 25;0

sUMMARNAQ POGRE[NOSTX hUi S DOWERITELXNOJ WEROQTNOSTX@ ® = 0;96 BUDET RAWNA W SOOTWETSTWII S FORMULOJ (3.9) :

q

"(hUi)§ = (2 ¢ 10¡2)2 + (3 ¢ 0;74 ¢ 10¡2)2 = 3 ¢ 10¡2 = 3%:

sREDNQQ KWADRATI^NAQ ABSOL@TNAQ POGRE[NOSTX WELI^INY hIi RAW-

NA :

r

3 ¢ "(hIi) = 3 ¢ 0;004 = 0;012 | SLU^AJNAQ I SISTEMATI^ESKAQ POGRE[- NOSTI PRI IZMERENII I PRIMERNO RAWNY, PO\TOMU IH NUVNO SKLADY-

WATX :

q

"(hIi)§ = (1;5 ¢ 10¡2)2 + (3 ¢ 1;2 ¢ 10¡2)2 = 1;9 ¢ 10¡2:

sUMMARNAQ OTNOSITELXNAQ POGRE[NOSTX IZMERENIQ WELI^INY hRi : q

"(hRi)§ = (3 ¢ 10¡2)2 + (1;9 ¢ 10¡2)2 = 3;56 ¢ 10¡2: aBSOL@TNAQ SUMMARNAQ POGRE[NOSTX hRi :

¾(hRi)§ = hRi ¢ "(hRi)§ = 497 ¢ 3;56 ¢ 10¡2 = 17;7 oM:

oKON^ATELXNO, S DOWERITELXNOJ WEROQTNOSTX@ ® = 0;96 MOVNO UTWERVDATX, ^TO ISKOMAQ WELI^INA

R = hRi § ¾(hRi)§ = 497 § 18 oM:

w RASSMATRIWAEMOM PRIMERE MOVNO BYLO POSTUPITX I PO DRUGOMU : SRAZU NAJTI SUMMARNU@ SLU^AJNU@ POGRE[NOSTX hRi. dLQ \TOGO NADO BYLO PQTX RAZ WY^ISLITX R PO DANNYM TABLICE 6.1 I NAJTI SREDNEKWADRATI^NU@ ABSOL@TNU@ POGRE[NOSTX ¾(hRi), ZATEM, NAJDQ ¾(R)SIST., SLOVITX ¾(R)SIST., I 3¾(hRi) PO FORMULE (3.7).

7 pOSTROENIE GRAFIKOW I OCENKA GRAFI^ESKIH POGRE[NOSTEJ

7.1 pOSTROENIE GRAFIKOW S ISPOLXZOWANIEM DOWERITELXNYH INTERWALOW

w PRAKTIKE NAU^NYH ISSLEDOWANIJ O^ENX ^ASTO PRIHODITSQ STROITX GRAFI^ESKIE ZAWISIMOSTI ODNOJ IZ IZMERQEMYH WELI^IN OT DRUGOJ. nALI^IE POGRE[NOSTEJ IZMERENIJ OBUSLOWLIWAET TOT FAKT, ^TO \KSPERIMENTALXNYE TO^KI NE TO^NO LOVATSQ NA PRQMU@ ILI KRIWU@, WYRAVA@]U@ TEORETI^ESKU@ ZAWISIMOSTX MEVDU \TIMI WELI^INAMI.

nAPRIMER, NA RISUNKE 7.1 POKAZANA \KSPERIMENTALXNAQ ZAWISIMOSTX NAPRQVENIQ NA NEIZWESTNOM SOPROTIWLENIE R OT WELI^INY PROTEKA@]EGO ^EREZ NEGO TOKA. |KSPERIMENTALXNYE TO^KI RASPOLOVILISX TAK, ^TO ODNOZNA^NO PROWESTI PRQMU@, WYRAVA@]U@ \TU ZAWISIMOSTX, ZATRUDNITELXNO : NA RISUNKE 7.1 POKAZANY TRI WOZMOVNYH WARIANTA ZAWISIMOSTI. kAKOJ IZ NIH WEREN ?

rISUNOK 7.1 { zAWISIMOSTX NAPRQVENIQ U NA SOPROTIWLENII OT TOKA I.

oDIN IZ [IROKO RASPROSTRANENNYH PRIBLIVENNYH METODOW PROWEDENIQ \KSPERIMENTALXNOJ ZAWISIMOSTI ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO NA GRAFIKE UKAZYWAETSQ DOWERITELXNYE INTERWALY ZNA^ENIJ IZMERENNYH WELI^IN. pRI POSTROENII DOWERITELXNOGO INTERWALA SLEDUET IMETX W WIDU DWE SITUACII :

1)KAVDAQ \KSPERIMENTALXNAQ TO^KA | REZULXTAT MNOGOKRATNOGO IZMERENIQ. w \TOM SLU^AE SLEDUET NAJTI SUMMARNYE ABSOL@TNYE POGRE[NOSTI KAVDOJ IZ IZMERENNYH WELI^IN (SM. PODRAZDELY 3.1 | 3.3) : ONI OTKLADYWA@TSQ PO OBE STORONY OT TO^KI NA GRAFIKE WDOLX SOOTWETSTWU@]IH KOORDINATNYH OSEJ. pRI \TOM MOVNO TO^NO UKAZATX DOWERITELXNU@ WEROQTNOSTX PROWEDENNYH IZMERENIJ ;

2)GORAZDO ^A]E WSTRE^A@]IJSQ SLU^AJ : KAVDAQ \KSPERIMENTALXNAQ TO^KA | REZULXTAT ODNOKRATNOGO IZMERENIQ. w \TOM SLU^AE MOVNO NAJTI TOLXKO ABSOL@TNYE SISTEMATI^ESKIE POGRE[NOSTI REZULXTATOW IZMERENIJ I TAKVE OTLOVITX PO OBE STORONY OT SOOTWETSTWU@- ]EJ \KSPERIMENTALXNOJ TO^KI. sLEDUET ZAMETITX, ^TO DLQ PRIBOROW,

INTERWALY BUDUT PREDSTAWLQTX SOBOJ ABSOL@TNYE POGRE[NOSTI PRIBOROW, S POMO]X@ KOTORYH PROWODILISX IZMERENIQ TOKA I NAPRQVENIQ. pRI KLASSE TO^NOSTI WOLXTMETRA 1;0 I MAKSIMALXNOM ZNA^ENII [KALY PRIBORA 50 w ABSOL@TNAQ POGRE[NOSTX RAWNA 0;5 w. pARALLELXNO OSI NAPRQVENIQ WWERH I WNIZ OT KAVDOJ \KSPERIMENTALXNOJ TO^KI NADO OTLOVITX 0;5 w W MAS[TABE GRAFIKA (RISUNOK 7.2).

u MILLIAMPERMETRA (KLASS TO^NOSTI ) ABSOL@TNAQ POGRE[- NOSTX IZMENQETSQ, ^EM BOLX[E WELI^INA TOKA, TEM BOLX[E POGRE[- NOSTX. mAKSIMALXNAQ WELI^INA ABSOL@TNOJ POGRE[NOSTI IZMERENIQ TOKA BUDET RAWNA : ¾(I) = 37;5 ¢ 0;015 = 0;56 Ma. w MAS[TABE RISUNKA 7.2 \TO SOOTWETSTWUET PRIMERNO 1;1 MM. dLQ DRUGIH \KSPERIMENTALXNYH TO^EK \RAZMER" DOWERITELXNOGO INTERWALA NA GRAFIKE BUDET E]E MENX[E. tAKIE MALYE INTERWALY NA GRAFIKAH OBY^NO NE OTKLADYWA@TSQ.

pRQMU@ SLEDUET PROWESTI TAK, ^TOBY ONA PRO[LA WNUTRI WSEH DOWERITELXNYH INTERWALOW. wO MNOGIH SLU^AQH OKAZYWAETSQ, ^TO PROWESTI PRQMU@ S SOBL@DENIEM \TOGO USLOWIQ WOZMOVNO EDINSTWENNYM OBRAZOM. pRI NAHOVDENII KAKOJ-LIBO WELI^INY x IZ GRAFIKA ABSO- L@TNAQ POGRE[NOSTX \TOJ WELI^INY ¾(x) OPREDELQETSQ TAK VE, KAK POGRE[NOSTX PRIBORA, NE IME@]EGO KLASSA TO^NOSTI : ¾(x) RAWNA POLOWINE CENY DELENIQ SOOTWETSTWU@]EJ [KALY GRAFIKA.

7.2 lINEARIZACIQ FUNKCIJ

w FIZI^ESKIH ISSLEDOWANIQH O^ENX ^ASTO DLQ SRAWNENIQ \KSPERIMENTA S TEORIEJ POLXZU@TSQ METODOM LINEARIZACII TEORETI^ESKOJ ZAWISIMOSTI. nAPRIMER, ISSLEDUETSQ ZAWISIMOSTX TOKA WAKUUMNOGO DIODA I OT WELI^INY ZADERVIWA@]EGO NAPRQVENIQ U MEVDU KATODOM I ANODOM. tEORETI^ESKAQ ZAWISIMOSTX IMEET SLEDU@]IJ WID :

GDE I0 | TOK PRI U = 0 ; k | POSTOQNNAQ bOLXCMANA ; T | ABSOL@T- NAQ TEMPERATURA ; e | ZARQD \LEKTRONA.

pOSTROENNAQ PO \KSPERIMENTALXNYM DANNYM ZAWISIMOSTX I = f(U) MOVET S RAWNYM USPEHOM ILL@STRIROWATX I KWADRATI^NU@, I KUBI^ESKU@, I \KSPONENCIALXNU@ ZAWISIMOSTI. ~TOBY WYQSNITX, PODTWERVDA@T LI \KSPERIMENTALXNYE DANNYE TEORI@, TEORETI^ESKU@ ZAWISIMOSTX PREOBRAZU@T TAK, ^TOBY MEVDU FUNKCIEJ I I ARGUMENTOM U BYLA LINEJNAQ ZAWISIMOSTX.

pROLOGARIFMIROWAW WYRAVENIE (7.1), POLU^IM :

|TO URAWNENIE PRQMOJ WIDA :

wO MNOGIH SLU^AQH ZNANIE UGLOWOGO KO\FFICIENTA a I WELI^I- NY b POZWOLQET OPREDELITX I DRUGIE PARAMETRY IZU^AEMOGO QWLENIQ. w DANNOM PRIMERE, ZNAQ a, MOVNO OPREDELITX TEMPERATURU KATODA. w PRIBLIV<NNYH WY^ISLENIQH UGLOWOJ KO\FFICIENT NAHODITSQ OBY^NO IZ GRAFIKA (RISUNOK 7.3) : TO^NO NA PRQMOJ WYBIRA@TSQ DWE TO^KI (1 I 2) I a OPREDELQETSQ KAK TANGENS UGLA NAKLONA PRQMOJ :

a = ln I2 ¡ ln I1 = ¢ ln I : ¢U