eltsov-prakt

Федеральное агентство по образованию

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

А.А. Ельцов, Т.А. Ельцова

ПРАКТИКУМ

ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром высшего профессионального образования для межвузовского использования в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 520000 «Гуманитарные и социально-экономические науки»,

060000 «Специальности экономики и управления»

Томск 2005

УДК517(07) ББК 22.1я73 Е56

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, проф. Е.Т. Ивлев; кафедра общей математики Томского государственного университета,

зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, профессор С.В. Панько

Ельцов А.А., Ельцова Т.А.

Е56 Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. — Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2005. — 204 с.

ISBN 5-86889-232-1

Рассмотрены примеры решения задач по неопределенному и определенному, кратным, поверхностным и криволинейным интегралам, элементам теории поля и дифференциальным уравнениям. Приведены задачи для самостоятельного решения. Отличительной особенностью является использование матричного и векторного аппарата.

Предназначается для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 520000 «Гуманитарные и социально-экономические науки», 060000 «Специальности экономики и управления».

УДК 517(07) ББК 22.1я73

© Ельцов А.А., Ельцова Т.А., 2005 ISBN 5-86889-232-1 © Томск. гос. ун-т систем управления

и радиоэлектроники, 2005

4

4.КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 4.1. Кривые на плоскости и в пространстве. Поверхности

5

Предисловие

Суха теория, мой друг,…

Гёте. Фауст

Данное пособие является частью блока учебных пособий [1 6] по курсу высшей математики, подготовленных в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники. Все эти пособия объединены общей идеей изложения курса математики на базе линейной алгебры и разбиты на части: линейная алгебра и дифференциальное исчисление [1 4], интегральное исчисление и дифференциальные уравнения [5], функции комплексного переменного, ряды, интегральные преобразования [6]. Являясь частью вышеуказанного блока, пособие имеет

исамостоятельный интерес по следующим ниже причинам. При изучении курса математики большое значение имеет приобретение навыков и умений в решении задач по изучаемому разделу. Книги [7, 8], с помощью которых это умение можно приобрести, издавались давно и студенту, чаще всего, недоступны. Поэтому представляют достаточно большой интерес учебные пособия, позволяющие самостоятельно или с минимальной помощью преподавателя научиться решать задачи по тому или иному разделу математики. Они должны содержать большое количество решенных задач с подробными объяснениями и некоторое количество задач для самостоятельной работы. Данное пособиеявляется попыткой написания такого труда

ипредставляет собой практикум по интегральному исчислению и методам решения дифференциальных уравнений.

Цель практикума — помочь студенту в приобретении навыков вычисления неопределенных, определенных, двойных, тройных, криволинейных, поверхностных интегралов и нахождения решений дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений различных типов. Он может быть использован студентами различных форм обучения для самостоятельной работы и преподавателями для проведения практических занятий по указанным выше темам. Служит дополнением к учебному пособию [5]. Нумерация задач — по разделам: номер состоит из номера раздела и порядкового номера задачи. Ответы приведены в конце книги. Наиболееважные, с точки зрения авторов, формулы и определения заключены в рамку. При подготовке пособия использовались задачники [7 13].

Авторы

6

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1.Определение, свойства, таблицы интегралов и дифференциалов

Рекомендуется предварительно прочитать подразд. 1.1 из [5]. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) (диффе-

ренциала f x dx) на отрезке a, b , если F x дифференцируема на a, b

и F x f x для всех x [a,b] dF(x) f(x) dx .

Множество всех первообразных функции f x (дифференциала f x dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается

f(x)dx .

Свойства неопределенного интеграла:

1) d f(x)dx f(x)dx ; 2) dF(x) F(x) C ;

3)f(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx ;

4)f(x)dx f x(t) x (t)dt.

Заметим, что свойство 4 лежит в основе важнейшего метода нахождения интеграла с помощью замены переменной, рассматриваемого ниже.

Таблица интегралов

1.0dx C .

2.1dx x C .

7а. exdx ex C .

8.cos xdx sin x C .

9.sin xdx cos x C .

12.sh xdx ch x C .

13.ch xdx sh x C .

Таблица основных дифференциалов

1. dx 1 d(ax) 1 d(ax b) , где a и b — некоторые числа.

aa

Вчастности, dx 1 d(2x) 1 d(2x b) 1 d(3x) 1 d(3x b) и так далее.

2 2 3 3

sin xdx 1 d(cos x) 1 d cos x b .

Нам также понадобится свойство дифференциала

df(x) 1a d af(x) 1a d af(x) b .

Неопределенные интегралы находят путем сведения исходных интегралов к табличным с помощью эквивалентныхпреобразований с использованием свойств неопределенных интегралов.

1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла

1.2.1. Подведение под знак дифференциала

Для овладения этим приемом рекомендуется изучить подразд. 1.2.1 учебного пособия [5], выучить таблицы интегралов и дифференциалов, приведенные выше и в подразд. 1.1 и 1.2. пособия [5], довести до автоматизма знание таблиц производных и дифференциалов и умение ими пользоваться в обе стороны, то есть не только уметь вычислять по исходной функции производную и дифференциал, но и по дифференциалу увидеть исходную функцию.

Иногда удается представить подынтегральное выражение в виде f(x)dx u(x) du(x) , где u — некоторая функция от x, и при этом интег-

рал (u) du является табличным. Этот прием называется подведением

под знак дифференциала и представляет собой простейший вариант замены переменной, выраженной свойством 4. Рассмотрим этот прием для некоторых интегралов, приведенных в таблице.

141 3 7x2 15d 7x2 3 141 3 7x2 65: 65 C 845 3 7x2 65 C .

1.3.sin x cos x dx sin x d sin x 2 (sin x)32 C .