3289-electrodinam

1.Общие сведения о макроскопической электродинамике

1.1. Векторы электромагнитного поля

1.1.1. Определение электромагнитного поля

Под электромагнитным полем понимается особая форма существования материи, характеризующаяся способностью распростра-

няться в вакууме со скоростью 3 108 м/с и оказывающая силовое воздействие на заряженные частицы.

Определить поле в некоторой области пространства значит указать векторы поля в любой ее точке. Электромагнитное поле предстает как совокупность электрического (векторы E, D ) и маг-

нитного (векторы H , B ) полей, находящихся во взаимной зависимости.

Лишь в некоторых специальных случаях (например, видимый свет) электромагнитное поле непосредственно воздействует на органы чувств человека. Однако, наблюдению доступны многочисленные электромагнитные явления, в основе которых лежат различные превращения энергии поля.

1.1.2. Векторы электрического поля

Напряженность электрического поля E — векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы F , действующей на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда q:

E = Fq .

Под действием электрического поля происходит поляризация вещества — явление, связанное с ограниченным смещением связанных зарядов в веществе или поворотом электрических диполей

11

под воздействием внешнего электрического поля. Если среда состоит из заряженных частиц (диполей), выстраивающихся по направлению приложенного электрического поля, то поляризация называется ориентационной. Если среда состоит из нейтральных (в электрическом отношении) частиц, то происходит электронная поляризация, т.е. вытягивается электронная оболочка атомов.

Поляризацию вещества характеризует вектор электрической поляризации P , определяемый как сумма всех дипольных моментов вещества, находящихся в единице объема:

P = ∑pi ,

i

где pi = qi li — дипольный момент i-го диполя.

Поляризация пропорциональна напряженности электрического поля:

P = ε0χэE,

где ε0 = 361π 10−9 Фм = 8,85 пФм — электрическая постоянная; χэ —

электрическая восприимчивость.

Определим вектор электрического смещения D в вакууме:

D = ε0 E.

Поляризация показывает, насколько вектор электрического смещения в данной среде отличается от вектора электрического смещения в вакууме. Следовательно, в веществе

D = ε0 E + P = ε0 E + ε0 χэE = ε0 (1 + χэ )E,

где 1+ χэ = εr — относительная электрическая проницаемость. Таким образом,

D = ε0εr E = εE,

где произведение ε0εr = ε — абсолютная электрическая проницаемость.

12

1.1.3. Векторы магнитного поля

Рассмотрим вектор магнитной индукции B , так как именно он характеризует силовое воздействие магнитного поля. Этот вектор можно определить исходя из силы Лоренца

FЛ = q V , B ,

где FЛ — сила Лоренца; V — скорость движения заряда q. Если V B, то численно

B = qVF .

Таким образом, магнитная индукция — это сила, действующая на единичный электрический заряд, движущийся с единичной скоростью перпендикулярно силовым линиям магнитного поля.

Рассмотрим вектор H — напряженность магнитного поля. С вектором магнитной индукции напряженность связана соотношением

B = μ0 H + M = μ0 (1 + χм)H ,

где M — намагниченность, равная сумме магнитных моментов атомов в единице объема вещества:

M = ∑μi .

i

Намагниченность пропорциональна напряженности приложенного поля:

M = μ0χмH ,

где χм — магнитная восприимчивость. Следовательно,

B = μ0 (1 + χм)H ,

где μ0 = 4π 10−7 Гнм — магнитная постоянная.

13

Введем обозначение:

μr =1 + χм,

где μr — относительная магнитная проницаемость.

Тогда

B = μ0μr H.

Обозначив μ0μr = μ, где μ — абсолютная магнитная проницаемость, получим уравнение для векторов магнитного поля

B = μH.

Определив векторы поля по его механическим проявлениям, мы теперь можем представить себе следующую идеальную картину. В произвольную точку M (x, y, z) исследуемой области V — «точку наблюдения» — помещается весьма малый «пробный элемент» — точечный заряд или рамка с током, и в нужный момент измеряется действующая на него сила (или соответственно момент силы). Некоторое число таких измерений, произведенных в разных точках в течение необходимого времени, дает представление о поле в области V. В действительности описанный опыт технически осуществим лишь в немногих простейших случаях. Экспериментальное исследование электромагнитного поля требует иных средств, весьма разнообразных в зависимости от конкретных условий. О некоторых из них будем говорить впоследствии.

1.2. Закон Ома в дифференциальной форме. Полный ток

Нам хорошо известен закон Ома для участка цепи:

U = I,

где U — напряжение, приложенное на заданном участке цепи; I — ток на этом участке; — электрическое сопротивление.

14

Однако в электродинамике полезно и порой просто необходимо знать соотношение между напряженностью электрического поля и плотностью тока j в каждой точке пространства.

Плотность тока определяется по формуле

где i0 — орт, показывающий направление движения тока.

Связь между плотностью тока и током устанавливается соотношением

I = ∫ j d s ,

S

где d s = n0ds — векторный дифференциал площади.

Определим связь между напряженностью электрического поля и плотностью тока. Выделим в пространстве цилиндрическую область. Площадь основания цилиндра пусть будет S , а его высота — l . Будем полагать, что объем цилиндра настолько мал, что внутри цилиндра поле однородное и ток течет вдоль его оси. Из закона Ома для участка цепи можем записать:

Коэффициент перед вектором Е не что иное, как проводимость среды σ. В результате получаем закон Ома в дифференциальной форме:

j = σE.

Этот закон описывает ток проводимости. Кроме него, могут существовать токи другой физической природы.

Введем понятие плотности полного тока:

jполн = jпр + jсм + jпер + jст,

15

где jпр, jсм, jпер, jст — соответственно плотности токов проводи-

мости, смещения, переноса и стороннего.

Ток проводимости обусловлен направленным упорядоченным движением свободных электрических зарядов в веществе или вакууме под действием электрического поля. О плотности тока проводимости мы уже говорили:

jпр = σE.

Ток смещения — величина, пропорциональная скорости изменения переменного электрического поля в диэлектрике или вакууме. Название «ток» связано с тем, что ток смещения порождает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости. Плотность тока смещения определяется формулой

jсм = ∂∂Dt .

Понятие о токе смещения впервые было введено Максвеллом. Это, например, переменный ток в конденсаторе, заполненном идеальным диэлектриком. Ток смещения существует и в проводниках, по которым течет переменный ток проводимости, однако в данном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Немного позже мы более подробно обсудим этот вопрос.

Ток переноса — это электрический ток, осуществляемый переносом электрических зарядов в свободном пространстве заряженными частицами или телами под действием электрического поля. Плотность тока переноса дается соотношением

jпер = ρV ,

где ρ — объемная плотность заряда; V — скорость движения частиц.

Сторонний ток имеет неэлектрическое происхождение и является первичным источником поля, например механическим (генератор), тепловым (термопара), химическим (батарея).

16

1.3. Классификация сред, материальные уравнения

Выпишем уравнения, связывающие векторы поля:

D = εE

B = μH . j = σE

Эти уравнения называют материальными, так как входящие в них величины ε, μ, σ, именуемые макроскопическими параметрами, являются характеристиками среды (материала), в которой распространяются электромагнитные волны. Данные величины для каждого материала могут быть определены только экспериментальным путем. И, что очень важно, нет в природе двух сред, у которых хотя бы один из макроскопических параметров совпал.

Классификация сред проводится в зависимости от поведения макроскопических параметров.

По зависимости ε, μ, σ от координаты среды делятся на однородные и неоднородные. Если макроскопические параметры среды не зависят от координаты, то среда однородная.

Макроскопические параметры ε, μ, σ в большинстве случаев можно считать не зависящими от величины векторов электромагнитного поля. Материальные уравнения оказываются при этом линейными. Соответственно употребляется выражение «линейные среды». Однако существуют и имеют важное техническое значение среды, отличающиеся заметной зависимостью макроскопических параметров от векторов поля. Их называют нелинейными. В электротехнике, как известно, распространены ферромагнетики — вещества, магнитная проницаемость которых значительно и сложным образом зависит от магнитного поля. Им аналогичны сегнетоэлектрики, обладающие сходной зависимостью диэлектрической проницаемости от электрического поля. Нелинейность ряда сред проявляется в сильных полях.

До сих пор говорилось лишь о так называемых изотропных средах, свойства которых одинаковы для полей любых направлений.

17

Однако существуют среды, проявляющие разные свойства в зависимости от направления поля, они называются анизотропными. Если, например, анизотропия проявляется в магнитном поле (анизотропный магнетик), то вместо B = μH будем иметь:

в результате чего форма уравнения B = μH сохраняется, но вместо скалярной величины μ используется тензор μ: B = μ H .

Оператор μ называется тензором магнитной проницаемости,

а коэффициенты при проекциях H — его компонентами. Совершенно аналогично описывается анизотропия диэлектри-

ческих свойств и проводимости.

Некоторые анизотропные среды нашли в последние годы важное применение в радиотехнике сверхвысоких частот.

Часто имеет место наведенная анизотропия, например в случае приложения к ферриту магнитного поля.

Убедиться в наличии или отсутствии анизотропии можно, проводя простой опыт. Из исследуемого материала изготовим куб (рис. 1.1). На две противоположные грани нанесем электроды. Например, напылим слой металла. Измерим емкость образовавшегося

18

19

в которых зависимость всех величин от времени дается множителем e+ jωt . Для таких полей связь между D и E приобретает вид

D = ε(ω)E,

где функция ε(ω) определяется как

∞

ε(ω) = ε0 + ∫ f (t′) e+ jωt dt′.

0

Таким образом, для периодических полей может быть введено понятие о диэлектрической проницаемости как о коэффициенте пропорциональности между D и E . Причем этот коэффициент зависит не только от свойств среды, но и от частоты колебаний поля. Среды, в которых такая зависимость проявляется, называются дисперсионными.

Кроме вакуума, с ростом частоты временную дисперсию в той или иной степени проявляют все среды.

Разделим также среды на проводники и диэлектрики. Для такого разделения сред необходимо ввести определенный критерий.

Идеальным проводником назовем среду, в которой существует только ток проводимости, а идеальным диэлектриком — среду, в которой существует только ток смещения.

Пусть в среде действует переменное поле

E = E0 cos ωt,

тогда плотность тока проводимости

jпр = σE0 cos ωt ;

плотность тока смещения

jсм = −ωεE0 sin ωt.

Отношение максимальных значений плотностей токов проводимости и смещения

ωεσ = tg

называется тангенсом угла диэлектрических потерь.

20