861-vinugdennie

Уравнение (1.3) является дифференциальным уравнением вынужденных электрических колебаний в контуре. Данное уравнение является неоднородным. И, как следует из теории дифференциальных уравнений, решение его равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения q1 (т.е. уравнения (1.3) без пра-

Общее решение однородного уравнения известно из теории затухающих колебаний и может быть записано в виде

где 1 02 2 - частота свободных затухающих колебаний.

Частное решение этого уравнения имеет вид

где - частота изменения внешней э.д.с.;

- начальная фаза вынужденного колебания.

Слагаемое (1.8) играет существенную роль в начальной стадии процесса, при установлении колебаний.

Следовательно, вклад (1.8) в установившиеся колебания очень мал, и им можно пренебречь. Поэтому установившиеся вынужден-

5

ных векторов должна совпадать с вектором, изображающим функцию Um cos t .

Такое совпадение возможно, как видно из рис. 1.2, если

6

Продифференцировав выражение (1.17) по t , найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

где Im - амплитудное значение установившегося тока в контуре

В соответствии с (1.19) напряжение на резисторе

Разделив выражение (1.10) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

Сопоставляя выражения (1.21), (1.22), (1.23) видим, напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2, а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током.

Таким образом, изменения I , q , UC , UL , UR - представ-

ляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте внешней э.д.с. Для данной колебательной системы амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей э.д.с. и при определенных значениях ее достигает максималь-

ного значения. Это явление называется резонансом, а соответст-

вующая частота резонансной частотой.

Чтобы определить резонансную частоту РЕЗ любой из выше перечисленных гармонически изменяющихся величин, нужно ис-

7

следовать функцию, определяющую данную величину, на максимум. Так из (1.15) видно, что максимальное значение qm будет при минимальном значении подкоренного значения знаменателя. Продифференцировав подкоренное выражение по и приравняв ну-

лю, получим условие, определяющее РЕЗ :

4( 20 2) 8 2 0

Данное уравнение имеет три решения 0 и 20 2 2 .

Решение 0 соответствует максимальному значению знаменателя, а отрицательное значение не имеет смысла. Т.о. резонансная частота для q и напряжение UC определяются выражением:

ные кривые на графике соответствуют различным значениям коэффициента затухания . Чем меньше , тем выше и правее лежит

максимум кривой. При большом затухании, когда 2 2 02 , резо-

нанс не наблюдается, с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую при4 ). При стремлении к нулю резонансные кривые сходятся в

одной точке с ординатой UCm Um . Величина Um равна напря-

жению, которое возникает на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения Um . При малом затухании

( 2 02 ) резонансную частоту можно брать равной рез 0 .

Резонансные кривые для силы тока приведены на рис. 1.4. Как видно из выражения (1.20), амплитуда тока будет иметь максимальное значение при

При 0 , ток в цепи равен нулю, т.к. при постоянном напряжении ток в цепи с конденсатором протекать не может. При таком соединении элементов как на

фаз 0 , т.е. в цепи как бы нет ни емкости, ни индуктивности.

Иначе говоря, при этой частоте напряжения на емкости и индуктивности полностью компенсируют друг друга, будучи равными по величине и противоположными по фазе. При этом напряжения UL

и UC могут значительно превышать напряжение Em, приложенное к цепи. Поэтому этот резонанс, наблюдаемый в цепи переменного

9

тока, содержащей последовательно включенные L, C, R и ис-

точник э.д.с., называют резонансом напряжений.

При вынужденных колебаниях весь процесс характеризуют несколько параметров: собственная частота 0 , логарифмический

декремент затухания:

равна отношению энергии, запасенной в колебательной системе в данный момент WЗАП к убыли этой энергии за период колебаний

W

Поскольку энергия W пропорциональна квадрату амплиту-

ды колебаний, а амплитуда свободных колебаний изменяется в реальном колебательном контуре по закону

А(t) Ame t , то

Отсюда видно, что чем меньше затухание колебаний, тем больше добротность, а чем больше добротность, тем больше амплитуда резонансного напряжения на конденсаторе UCрез в сравнении с амплитудой внешнего напряжения Em . Убедимся в этом, для

чего найдем отношение амплитуд с учетом (1.23)

Таким образом, добротность контура определяет также остроту резонансных кривых. Чем больше Q , тем уже резонансная кривая.

Если резонансную кривую нормировать относительно максималь-

Соотношение (1.33) есть уравнение резонансной кривой в безразмерной форме.

Преобразуем (1.33), вынося за скобку, стоящую под знаком корня,