Решение тригономитрических уравнений
.pdf
Л. Карно
cosx + cos3x = 0
2cos2 x sin x
Урок –обобщения знаний
Цель урока:
обобщить и систематизировать материал по темам: «Решение тригонометрических уравнений»
Задачи:
•обобщить и систематизировать теоретический материал;
•рассмотреть методы решения тригонометрических уравнений;
•рассмотреть уравнения, при решении которых возникают дополнительные условия.
Тригонометрические
уравнения
asinx + bcosx =0
Общие |
Частные |
||
|
|
|
|
Уравнение |
Формула корней |
Уравнение |
Формула |
|
|
|
корней |
1. sinx = a, |a|≤1 |
x = (-1)narcsin a + πk, |
1. sinx = 0 |
x = πk, k є Z |
|
k є Z |
|
|
|
|
|
|
2. cosx = a, |a|≤1 |
x = ±arccos a + 2πk, |
2. sinx = 1 |
x =π/2 + 2πk, k є Z |
|
k є Z |
|
|
|
|
|
|
3. tg x = a |
x = arctg a + πk, |
3. sinx = –1 |
x =–π/2+ 2πk, k є Z |
|
k є Z |
|
|
4. ctg x = a |
x = arcctg a + πk, |
4. cosx = 0 |
x =π/2 + πk, k є Z |
|
k є Z |
|
|
|
|
5. cosx = 1 |
x = 2πk, k є Z |
|
|
|
|
|
|
6. cosx = –1 |
x = π + 2πk, k є Z |
|
|
|
|
Какие методы решения тригонометрических уравнений вы
знаете?
введение новой переменной,
разложение на множители,
с помощью формул понижения степени,
однородные тригонометрические уравнения,
введение вспомогательного угла,
использование универсальной подстановки
Предложите метод решения данного тригонометрического уравнения:
1)замена переменной;
2)приведение к однородному;
3)разложение на множители;
4)понижение степени;
5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
Уравнение
3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx
4 соs²x - cosx – 1 = 0
2 sin² x/2 + cosx = 1
cosx + cos3x = 0
2 sinx cos5x – cos5x = 0
Способы решения
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
+
+
+
+
+
Метод замены для тригонометрических уравнений.
«Нельзя изучать
математику, глядя на то, как это делает
сосед»
Как применяется метод замены переменной?
1)Нужно привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.
2)Выразить переменную, через какуюто неизвестную (оценить введѐнную неизвестную).
3)После подстановки , решить алгебраическое уравнение. Произвести отбор корней.
4)Сделать обратную замену.
5)Решить тригонометрическое уравнение.
Пример решения уравнения:
2cos |
2 x |
5sin |
|
x |
5 |
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) 2 1 sin |
2 x |
|
|
5sin |
x |
5 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||
2sin |
2 |
|
|
5sin |
|
|
3 |
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) Пусть sin |
|
x |
|
|
|
t, где | t | 1 |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) 2 t2 |
|
|
5t |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||