DifYr

Уравнение y0+P(x) = 0, полученное из уравнения (1.47)

заменой функции Q(x) нулем, называется линейным однородным уравнением, соответствующим данному неоднородному уравнению.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Будем рассматривать линейное уравнение

y0 + P(x) y = Q(x)

на интервале a < x < b непрерывности функций P(x) и Q(x). Область определения этого уравнения есть

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Покажем, что такое уравнение интегрируется в квадратурах. Возьмем сначала линейное однородное уравнение

соответствующее данному неоднородному.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Очевидно, что y = 0 есть интегральная кривая уравнения (1.49), которая делит область (1.48) определения уравнения (1.49) на две односвязные подобласти:

fa < x < b; y > 0g и fa < x < b; y < 0g.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Соотношения

Z Z

dyy = - P(x) dx + ln C; C > 0; y 6= 0

являются общими интегралами уравнения (1.49) в областях fa < x < b; y > 0g и fa < x < b; y < 0g.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Вычисляем интегралы:

Z

ln jyj = - P(x) dx + ln C; C > 0; y 6= 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Потенцируем:

R

jyj = C e- P(x) dx; C > 0; y 6= 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Избавляемся от модуля:

R

y = C e- P(x) dx; C 6= 0; y 6= 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак: R

y = C e- P(x) dx; C 6= 0; y 6= 0

есть общее решение уравнения (1.49) в областях

fa < x < b; y > 0g и fa < x < b; y < 0g

и ещё решение y = 0.

Решение y = 0 можно включить в общее решение уравнения (1.49), убрав условие C 6= 0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

есть общее решение уравнения (1.49) в полосе f(x; y) 2 R2ja < x < b; y 2 Rg:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit