minimum
.docМинимум задач по курсу высшей математики.
Линейная алгебра
1. Даны матрицы , . Найдите матрицы и , .
2. Найдите , если а) , б) .
3. Решите матричные уравненияи .
4. Найдите ранг матрицы .
5. Найдите общее решение системы
6. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений
7. Найдите те значения параметра при которых система
имеет нетривиальные решения и найдите одно из них.
8. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы , если , .
9. Приведите квадратичную форму к главным осям и найдите соответствующее преобразование координат.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1. Докажите, что векторы и можно принять в качестве векторов базиса на плоскости. Найдите координаты вектора относительно этого базиса. Запишите соответствующее преобразование координат.
2. Докажите, что векторы , , можно принять в качестве векторов базиса в пространстве. Найдите координаты вектора относительно этого базиса. Запишите соответствующее преобразование координат.
3. Даны три точки , , . Найдите длину проведённой из вершины высоты треугольника .
4. Найдите проекцию вектора на ось, определяемую вектором .
5. Пусть , . Найдите и , если , и угол между векторами и равен .
6. Докажите, что векторы , , компланарны (лежат в одной плоскости).
7.Найдите косинус угла между векторами , .
8. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
9. Запишите уравнение прямой а) проходящей через точку перпендикулярно вектору , б) проходящей через точку параллельно вектору , в) проходящей через точки .
10. Запишите уравнение прямой проходящей через точку а) перпендикулярно прямой , б) параллельно прямой .
11. Запишите уравнение плоскости а) проходящей через точку перпендикулярно вектору , б) проходящей через точку параллельно векторам , , в) проходящей через точки .
12. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .
13. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору .
14. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
15. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .
16. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
17. Постройте кривую в исходной системе координат, приведя предварительно её уравнение к главным осям.
Дифференциальное исчисление
1. Найдите следующие пределы а) ,
б) , в) , г) ,
д) , е) .
2. Найдите порядок малости относительно бесконечно малых
а) , б) , в) , г) ,
д) , е) , ж) , з) .
3. Покажите, что данные функции являются бесконечно малыми в точке : а)
б) в)
г)
Найдите их порядки малости относительно бесконечно малой .
4. Найдите порядок роста относительно бесконечно больших в точке
а) б)
в) г)
5. Найдите порядок роста относительно бесконечно больших а) , б) .
6. Найти все точки разрыва функции и указать их характер
; ; ;
7. Найдите , если а) , б) , в) , г) , д) задана неявно уравнением , е) задана параметрически .
8. Найдите , , , , , , если .
9. Дана вектор - функция одной переменной . Найти и . Вычислить и .
10. Дана функция . Найти: а) , вычислить ; б) и , если - независимые переменные; в) и , если .
11. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой
а) в точке ; б) при ;
в) в точке .
12. Составьте уравнения нормальной плоскости и касательной к кривой заданной параметрически (векторно ) при .
13. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности а) в точке ; б) в точке ; в) заданной параметрически (векторно ) при
.
14. Найдите участки монотонности, экстремумы и точки перегиба функции .
15. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
а) на отрезке ;
б) на замкнутом множестве, заданном неравенствами 1) , ,; 2) , ,; 3) .
16. Проведите полное исследование и постройте график функции а) ; б) ; в) ; г).
Неопределённый интеграл
Найдите 1), 2) , 3), 4), 5), 6), 7) , 8) ,
9) , 10) ,
11) , 12),
13) , 14) ,
15) , 16) , 17) .
Определённый интеграл
1. Найдите а) , б), в),
г) , д) е) .
.
2. Вычислите интегралы или установите их расходимость
а) , б) , в) , г) , д) , е), ж) , з) , и) ,
к) , л) , м) ,
н) .
3. Найдите длину кривой а)
б) , в) , г), д)
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
а) , , б) ,
в) , г)
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
1. Вычислите , .
2. Вычислить , если - внутренность треугольника с вершинами в точках а) ,
б) .
3. Изменить порядок интегрирования
а) ,
б).
4. Найдите , .
5. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
6. Перейдите к полярной системе координат в интеграле , где
а) ,
б) ,
в) .
7. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферических координатах) , где - область, заданная неравенствами
8. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферических координатах) , где - область, заданная неравенствами
9. В интеграле , где , перейдите к цилиндрической системе координат.
10. Вычислите , где - арка циклоиды .
12. Найдите работу силы по перемещению материальной точки вдоль пути а), б) ; в) вдоль отрезка прямой, соединяющего точки и .
13. Для векторного поля
найдите в точке . Будет ли поле в этой точке потенциальным? Соленоидальным? Безвихревым?
14. Выясните, являются ли поля и потенциальными во всей области задания и, если да, то восстановите их потенциал.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Найдите общее решение уравнений
а) , б) , в) , г) ,
д) ,
е) , ж) ,
з) , и) ,
к) .
2. Найдите решение задачи Коши а) , , б) , .
в)
3. Найдите общее решение уравнений а) ,