Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

томский университет систем управления и радиоэлектроники

Высшая математика

(список вопросов для подготовки к экзаменам)

Прокопьевск - Томск, 2005 г.

Составитель: кандидат физико-математических наук,

профессор Магазинников Л.И.

Содержание

I семестр 3

II семестр 15

III семестр 20

IV семестр 27

I семестр

Глава I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Дать определение матрицы размера m×n.
Привести примеры информации, которую удобно записывать в матричном виде.
Дайте определения ступенчатой, квадратной, треугольной, диагональной и единичной матриц.
Какие матрицы называются равными?
Опишите операцию умножения матрицы на число.
Опишите операцию сложения матриц.
Опишите операцию умножения матриц.
Опишите операцию транспонирования матрицы.
Дайте определение перестановки и инверсии в ней. Как подсчитать число инверсий в перестановке (α_1, α_2, … α_n).
Для каких матриц определено понятие определителя.
Опишите, как составляются слагаемые, входящие в определитель n-того порядка.
Дайте определение определителя n-того порядка.
Опишите правило вычисления определителя порядка 2.
Опишите правило вычисления определителя порядка 3.
Как изменится определитель при транспонировании матрицы?
Чему равен определитель, имеющий стоку или столбец целиком состоящий из нулей?
Как измениться определитель, если его строку или столбец умножить на число α?
Как измениться определитель, если в нем переставить две строки или два столбца?
Опишите, в чем заключается линейное свойство определителя?
Как измениться определитель, если к какой-либо его строке прибавить другую, умноженную на некоторое число?
Как измениться определитель, если к какой-либо строке, умноженной на число α добавить другую строку, умноженную на число β?
Чему равен определитель имеющий две пропорциональные строки?
Как связаны между собой определители матриц А и λА.
Чему равен определитель произведения матриц А и В.
Дайте определение алгебраического дополнения элемента.
Сформулируйте и докажите две теоремы об алгебраических дополнениях.
Дайте определение минора .
Сформулируйте и докажите теорему о связи минора и алгебраического дополнения.
Опишите, как свести, вычисление определителя порядка n к вычислению определителя порядка n-1.
Дать определение обратной матрицы.
Какие матрицы имеют обратную?
Как найти элемент обратной матрицы?
Как найти матрицу Х из уравнения А·Х=В, если detА≠0.
Как найти матрицу Х из уравнения Х·А=В, если detА≠0.
Объясните, как понимаете слова: «Определена внутренняя операция над элементами множества А».
Объясните, как понимаете слова: «Определена внешняя операция над элементами множества А».
Сформулируйте аксиомы, характеризующие внутреннюю операцию в определении линейного пространства.
Сформулируйте аксиомы, характеризующие внешнюю операцию в определении линейного пространства.
Сформулируйте аксиомы, связывающие внешнюю и внутреннюю операции в определении линейного пространства.
Дайте определение понятий линейной комбинации, линейно зависимой и линейно независимой систем векторов.
Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии линейной зависимости системы векторов.
Приведите примеры линейных пространств.
Какое линейное пространство называется n-мерным?
Дайте определение базиса n-мерного линейного пространства.
Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по базису в n-мерном линейном пространстве.
Дать определение координат вектора в линейном пространстве.
Сформулируйте и докажите теорему о сведении внутренней и внешней операций над векторами к операциям над их координатами.
Дайте определение минора порядка m матрицы А.
Дайте определение ранга матрицы.
Дайте определение базисного минора, базисных строк и столбцов матрицы.
Сформулируйте и докажите теорему и базисном миноре.
Сформулируйте правило, позволяющее определить линейно зависимы строки (столбцы) матрицы или нет.
Сформулируйте правило, позволяющее определить, является ли данная строка матрицы линейной комбинацией других строк или нет.
Сформулируйте и докажите теорему о необходимых и достаточных условиях равенства нулю определителя.
Определите преобразования матрицы, называемые элементарными.
Опишите практический способ отыскания ранга матрицы.
Какие два линейных пространства называются изоморфными.
Дайте определение подпространства. Понятия линейной оболочки.
Сформулируйте теорему о размерности линейной оболочки Z [].
Какое линейное пространство называется евклидовым.
Запишите неравенство Коши - Буняковского.
Какие два вектора из Еn называются ортогональными.
Дайте определение ортогональной системы векторов в Еn. Сформулируйте и докажите теорему линейной независимости ортогональной системы.
Опишите процесс ортогонализации системы векторов из Еn.
Как строится матрица перехода от одного базиса к другому.
Запишите формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в двух базисах (в матричной форме).
Укажите свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Запишите формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в двух ортонормированных базисах.
Какие формы записи систем линейных уравнений знаете? Запишите систему, используя правило Эйнштейна, а также в матричной форме.
Дайте определение решения системы.
Дайте определения совместных, несовместных, определенных и неопределенных систем.
Сформулируйте и докажите теорему о совместности произвольной системы линейных уравнений.
Какие две системы называются эквивалентными.
Для каких систем линейных уравнений применимо правило Крамера. Запишите формулы Крамера и получите их.
Как узнать, какие из уравнений можно удалить из системы, не нарушая ее эквивалентности.
Какие неизвестные системы называют свободными, а какие – зависимыми.
Дайте определение общего и частного решения системы.
Сформулируйте и докажите две теоремы о существовании нетривиальных решений однородной системы.
Свойства решений системы линейных однородных уравнений.
Из каких свойств решений линейной однородной системы следует, что множество всех решений таких систем образует линейное пространство. Какова его размерность.
Дайте определение фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений. Сколько решений содержит Ф.С.Р.
Дайте определение геометрического вектора , его модуля || и нулевого вектора. Какие два вектора называются коллинеарными.
Какие два вектора иназываются равными?
Как отложить вектор от точки А?
Как определяется операция сложения векторов ?
Как определяется операция умножения вектора на число?
Дать определение понятий: «Линейная комбинация геометрических векторов», «Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов».
Понятие аффинного и декартова базиса во множестве геометрических векторов. Понятие координат вектора. Как устроен базис на прямой, плоскости и в пространстве.
Что означает геометрически линейная зависимость системы двух векторов.
Какая система векторов называется компланарной. Что означает геометрически линейная зависимость системы из трех и более векторов.
Понятие аффинной и декартовой систем координат. Как называют оси в декартовой системе координат.
Понятие радиуса-вектора точки и координат точки. Как найти координаты вектора, зная координаты его конца и начала.
Как понимаете утверждение: «Точка М делит отрезок АВ в отношении λ.
Запишите координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ, если А(х₁,у₁), В(х₂,у₂).
Понятие проекции точки на ось и проекции вектора на ось. Чему равна проекция вектора на ось, если (^)=φ.
Дайте определение скалярного произведения геометрических векторов. Его свойства.
Как узнать, используя скалярное произведение, какой угол (прямой, тупой или острый) образуют векторы и.
Запишите формулы вычисления скалярного произведения (,), если известны декартовы координаты векторови.
Как, используя понятие скалярного произведения, найти длину вектора и расстояние между двумя точками.
Как найти , cos (^)?
Дайте определение направляющих косинусов вектора, как их найти?
Понятие орта вектора. Как найти координаты орта вектора.
Понятие правой и левой связки двух векторов. Понятие левой и правой тройки векторов.
Дать определение векторного произведения геометрических векторов и.
Свойства векторного произведения.
Геометрический смысл |[,]|.
Формула вычисления векторного произведения, если известны декартовы координаты векторов.
Дать определения смешанного произведения трех векторов.
Геометрический смысл |[,,]| и знака (,,).
Как узнать компланарна тройка векторов ,,или нет, используя понятие смешанного произведения.
Формула вычисления смешанного произведения векторов по их известным декартовым координатам.
Понятие функции f:хRn→yRm.
Определение линейного оператора А:Rn→Rm.
Как строится матрица линейного оператора А:Rn→Rm.
Как найти координаты вектора А, зная матрицу оператора А:Rn→Rm.
Запишите матрицу линейного оператора А:R₁→R₁.
Запишите матрицу линейного оператора А:Rn→R₁.
Запишите матрицу линейного оператора А:R₁→Rn.
Определите операцию сложения двух линейных операторов. Как найти матрицу суммы двух операторов.
Определите операцию умножения оператора на число.
Определите композицию двух линейных операторов. Как найти матрицу композиции линейных операторов А и В.
Понятие обратного линейного оператора.
Запишите закон изменения матрицы линейного оператора А:Rⁿ→ Rⁿ при переходе к новому базису.
Дать определение собственных чисел и собственного вектора линейного оператора А:Rn→Rn.
Запишите характеристическое уравнение матрицы А.
Опишите процесс отыскания собственных векторов матрицы А.
Сформулируйте и докажите теорему о линейной комбинации собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному числу.
Сформулируйте теорему о системе собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным числам.
Дайте определение симметрического линейного оператора Q:En→En.
Охарактеризуйте свойства симметрического линейного оператора.
Дать определение линейной формы L[y].
Запишите общий вид линейной формы. Как вычисляются коэффициенты линейной формы.
Как изменяются коэффициенты линейной формы при изменении базиса.
Дать определение билинейной формы В(,).
Запишите общий вид билинейной формы. Как определяются элементы матрицы билинейной формы в заданном базисе.
Какая билинейная форма называется симметричной.
Как изменяется матрица билинейной формы при изменении базиса?
Дать определение квадратичной формы. Запишите общий вид квадратичной формы при n=3.
Понятие канонического вида и главных осей квадратичной формы.
Опишите процесс приведения квадратичной формы к главным осям.
Дайте определение уравнения плоской кривой z относительно декартовой системы координат.
Записать уравнение окружности с центром в точке (х₀,у₀) радиуса R.
Дайте определение уравнения поверхности S относительно декартовой системы координат.
Дайте определение сферы. Запишите уравнение сферы с центром в точке, М₀(х₀,у₀,z₀) радиуса R.
Укажите способы задания кривой в пространстве.
Охарактеризуйте поверхности, задаваемые уравнениями F(x,y)=0, F(x,z)=0, F(y,z)=0.
Охарактеризуйте поверхность, задаваемую однородным уравнением F(x,y,z)=0. Объясните, какое уравнение называется однородным.
Охарактеризуйте поверхности задаваемые уравнениями типа F(x,)=0, F(y,)=0, F(z,)=0.
Опишите полярную систему координат. Запишите формулы, связывающие декартовы и полярные координаты точки.
Запишите в векторной и координатной форме уравнения прямой проходящей через точку М₀(х₀,у₀) перпендикулярно вектору =(А,В).
Запишите общее уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат. Охарактеризуйте его коэффициенты.
Охарактеризуйте прямые на плоскости, задаваемые неполными уравнениями Вх+D=0, Ау+D=0, Ах+Ву=0, х=0, у=0.
Запишите параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости.
Запишите и докажите формулу вычисления расстояния от точки М₀(х₀,у₀) до прямой Ах+Ву+С=0 на плоскости.
Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, охарактеризуйте его коэффициенты.
Запишите формулы для вычисления угла между прямыми.
Охарактеризуйте взаимное расположение двух прямых А₁х+В₁у+С₁=0, А₂х+В₂у+С₂=0.
Запишите в векторной и координатной форме уравнения плоскости, проходящей через точку М₀(х₀,у₀,z₀) перпендикулярно вектору ={А,В,С}.
Запишите общее уравнение плоскости. Охарактеризуйте его коэффициенты.
Запишите в векторной и координатной форме уравнения плоскости, проходящей через точку М₀(х₀,у₀,z₀) с радиусом вектором параллельно векторам={m₁,n₁,p₁} и ={m₂,n₂,p₂}.
Запишите формулу вычисления расстояния от точки М₀(х₀,у₀,z₀) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0.
Как найти угол между двумя плоскостями А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0
Охарактеризуйте расположение трех плоскостей по заданным их общим уравнениям.
Запишите параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве.
Запишите общее уравнение прямой в пространстве.
Опишите процесс перехода от общих уравнений прямых в пространстве к каноническим и параметрическим.
Запишите в векторной форме формулу вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве.
Запишите в векторной форме формулу для вычисления расстояния между двумя прямыми в пространстве.
Охарактеризуйте взаимное расположение двух прямых в пространстве по заданным их уравнениям в векторной форме.
Дайте определение эллипса.
Запишите каноническое уравнение эллипса. Объясните выбор декартовой системы координат. Изобразите эллипс на рисунке.
Дайте определение эксцентриситета эллипса и его директрис.
Дайте определение гиперболы.
Запишите каноническое уравнение гиперболы. Изобразите гиперболу на рисунке.
Дайте определение эксцентриситета гиперболы и его директрис.
Дайте определение параболы.
Запишите каноническое уравнение параболы. Изобразите параболу на рисунке.
Опишите процесс приведения к каноническому виду общего уравнения а₁₁х²+2а₁₂ху+а₂₂у²+а₁х+а₂у+b=0 кривой второго порядка.