ТФКП, типовой расчет, IV сем.2013
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
IV СЕМЕСТР
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ÄЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА КИБЕРНЕТИКИ
МОСКВА 2011
Составители: Н.В.Белецкая, И.П.Драгилева, С.В.Костин, О.В.Мукина, А.Л.Шелепин
Редактор Ю.И.Худак
Контрольные задания являются типовым расчетом по теории функций комплексного переменного (математический анализ, IV семестр), входящей в программу дневного отделения факультетов Кибернетики и Информационных технологий. Типовой расчет выполняется студентами в письменном виде и сдается преподавателю до начала зачетной сессии. Приведенные в работе вопросы к заче- там и экзаменам могут быть уточнены и дополнены лектором. При составлении контрольных заданий за основу были взяты типовые расчеты, разработанные коллективом кафедры высшей математики.
Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.
Рецензенты: Т.П.Краснослободцева С.Ф.Свистова
°c МИРЭА, 2011
Контрольные задания напечатаны в авторской редакции
Подписано в печать .01.2011. Формат 60£84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,40. Усл.кр.-отт. 5,58. Уч.-изд.л. 1,5. Тираж 200 экз. C
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образованияМосковский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) 119454, Москва, просп. Вернадского, 78
3
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО) IV семестр
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Каков геометрический смысл тождества
jz1 + z2j2 + jz1 ¡ z2j2 = 2(jz1j2 + jz2j2)?
2. Найти область, заданную неравенствами
® < arg(z ¡ z0) < ¯ (¡¼ < ® < ¯ 6 ¼).
3. Найти область, заданную неравенством jzj < arg z, åñëè 0 6
6arg z < 2¼.
4.Найти ошибку в рассуждении, приводящем к парадоксу Бернулли: (¡z)2 = z2, поэтому 2 Ln(¡z) = 2 Ln z, и следовательно,
Ln(¡z) = Ln z.
5.Совпадают ли множества значений a2®, (a®)2, (a2)®? Рассмот- ðåòü äëÿ a = ® = i.
6.Для отображения w = z2 найти образы линий y = c è jzj = R.
Какие из них преобразуются взаимно-однозначно?
7. Для отображения w = ez найти образ линии x = y и прообраз линии ½ = µ, 0 6 µ < 1 (½, µ полярные координаты).
8. Доказать, что функция f(z) = z¹ нигде не дифференцируема.
9. Доказать, что функция f(z) = z Re z дифференцируема только в точке z = 0, найти f0(0).
10. Доказать, что для функции f(z) = jxyj в точке z = 0 выполняются условия Коши-Римана, но производная не существует.
11.Будут ли гармоническими функции jf(z)j, arg f(z), åñëè f(z)
регулярная функция?
12.Доказать, что производные (любого порядка) гармонической функции также являются функциями гармоническими.
13.Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается,
4
если отображение осуществляется функцией w = z2, w = 1=z, w =
=ez?
14.Пусть функция g(z) регулярна в точке z = a, причем g(a) = b и функция f(w) имеет в точке w = b полюс порядка m. Доказать, что функция F (z) = f(g(z)) имеет в точке z = a полюс порядка mn, ãäå n порядок нуля функции g(z) ¡ b в точке z = a.
15.Пусть функция g(z) регулярна в точке z = a è g(a) = b, а функция f(w) имеет в точке w = b существенно особую точку. Доказать, что точка z = a существенно особая точка функции
F (z) = f(g(z)).
16. Для каких рациональных функций
f(z) = A(z)
B(z)
точка 1 является устранимой особой точкой? Неустранимой особой точкой? Каков тип этой особой точки?
17.Построить пример функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенности: полюс второго порядка в точ- ке z = 0 и простой полюс на бесконечности.
18.Построить пример функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенности: 3 полюса первого порядка.
19.Найти общий вид функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенности: полюс порядка 2 в точке z = 0
èполюс порядка 2 на бесконечности.
20.Найти общий вид функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенности: полюс порядка 2 на бесконечности.
21.Доказать, что если f(z) непрерывна в окрестности точки z =
= a, òî
lim |
Z |
f(z)dz |
¼if(a): |
||
|
|
||||
z ¡ a = 2 |
|||||
r!0 |
|
jz¡aj=r
В чем отличие этого утверждения от интегральной формулы Коши?
5
22. Доказать, что для функции f(z) имеет место равенство
res f(z) = |
res f(z); |
z=a |
¡ z=¡a |
åñëè f(z) четная, и равенство |
|
res f(z) = res f(z); |
|
z=a |
z=¡a |
åñëè f(z) нечетная. Предполагается, что написанные вычеты имеют смысл.
23. Пусть f(z) = g(az), ãäå
res |
f(z) = |
1 |
res g(z): |
|
|||
z=az0 |
|
a z=z0 |
24. Найти res f('(z)), если функция '(z) регулярна в точке a è '0(z) 6´0, à f(z) имеет в точке '(a) полюс первого порядка с выче- том, равным A.
25.Доказать, что к интегралу ¡R e¡z2dz, взятому по границе ¡ полуплоскости Im z > 0, теорема о вычетах неприменима.
26.Сколько корней уравнения z4 ¡ 5z + 1 = 0 находится в круге
jzj < 1?
27. Сколько корней уравнения z4 ¡5z +1 = 0 находится в кольце
1 < jzj < 3?
6
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Записать комплексное число z в алгебраической, показательной и тригонометрической формах.
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
2 + cos ³ |
3 + i ln 2´ |
|
2 |
|
|
|
6 + sin ³ |
6 + i ln 3´ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
¡ |
7 |
|
|
|
¡ tg ³ |
3 |
|
|
¡ i 2 |
|
´ |
4 |
¡ 13 |
|
¡ ctg ³ |
|
3 |
¡ i 2 |
|
|
´ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5p |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
5p |
3 |
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
ln 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
2p3 ¡ ch ³ln 3 + i 6 |
|
´ |
6 |
4p3 ¡ sh ³ln 2 + i 6 |
|
´ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7 |
|
|
1 ¡ th ³ |
4 |
|
|
|
|
|
+ i 12 |
´ |
|
8 |
7 |
|
¡ cth ³ |
|
4 |
|
|
|
|
|
+ i 12 |
|
´ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
|
5¼ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
5¼ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9 |
¡4p2 + cos ³ |
4 |
+ i ln 4´ |
10 |
¡p2 + sin |
³ |
|
4 |
|
|
+ i ln 2´ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11 |
|
|
|
1 ¡ tg ³ 38 |
|
+ i 4 |
´ |
|
12 |
5 |
|
¡ ctg ³ |
|
8 |
|
|
|
+ i 4 |
|
´ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
13 |
5p2 + ch |
|
³ln 5 ¡ i 4 |
|
´ |
14 |
p2 + sh ³ln 3 ¡ i 4 |
|
´ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3¼ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3¼ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
15 |
|
¡7 + th |
|
³ln 2 ¡ i 6 |
|
´ |
|
16 |
¡13 + cth |
³ln 2 ¡ i 6 |
|
´ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
17 |
|
1 + cos ³ 23 |
|
|
|
¡ i ln 2´ |
|
18 |
|
|
4 + sin ³ |
|
56 |
|
|
|
|
¡ i ln 4´ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
19 |
7p3 ¡ tg |
³ |
12 |
|
+ i 4 |
|
|
|
´ |
20 |
p3 ¡ ctg ³ |
12 + i 4 |
|
|
´ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
21 |
¡12 ¡ ch |
|
³ln 6 + i 3 |
|
´ |
22 |
|
¡1 ¡ sh ³ln 2 + i 3 ´ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2¼ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
¡ th ³ |
ln 8 |
|
|
¼ |
|
|
´ |
|
|
3 |
|
¡ cth ³ |
ln 8 |
¼ |
|
´ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
13 |
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
7p2 ¡ ch ³ln 7 + i 4 |
|
´ |
26 |
p2 ¡ sin ³ |
4 |
|
|
|
|
+ i ln 9´ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
3¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
¡ tg ³ |
|
|
|
|
|
+ i ln 2´ |
|
|
|
p |
|
¡ ctg ³ |
|
|
|
+ i ln 2´ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
3 |
|
¼ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 |
¡ |
7p |
|
|
|
|
|
|
|
28 |
¡ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
13 |
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
7
N |
|
|
|
|
z |
|
|
|
N |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
7 |
¡ th |
³ |
|
4 |
¡ i 12 ´ |
30 |
4 ¡ sh ³ |
2 |
|
¡ i 6 |
´ |
|||||
|
9 |
|
|
ln 12 |
5¼ |
|
|
1 |
|
|
ln 12 |
|
5¼ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
31 |
|
6 ¡ ch ³ |
2 |
+ i 6 ´ |
32 |
5 |
|
¡ tg ³ 8 |
+ i |
4 |
´ |
||||||
|
|
5 |
|
|
ln 3 |
¼ |
|
|
|
11 |
|
3¼ |
|
|
ln 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение варианта 31. Пусть z |
|
= |
|
|
|
ln 3 |
+ i |
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 . Имеем: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch z = |
ez1 + e¡z1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Находим числа ez1 è e¡z1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ez1 |
= e 2 |
+ i |
6 = e |
2 |
|
|
³cos |
|
|
|
|
|
|
+ i sin |
|
|
|
|
´ = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= p3 ³ |
|
|
|
´ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
||||||||||||
e¡z1 = e¡ 2 |
|
¡ i |
6 |
|
|
= e¡ |
2 |
|
|
hcos ³¡ |
|
|
|
´ + i sin ³¡ |
|
´i = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
2p |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ch z1 = |
³ |
|
+ i |
|
´ |
+ ³ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
2p |
|
|
|
´ |
= |
|
2 + p |
|
|
= 1 + |
i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z = |
6 ¡ ch z1 |
= ¡ |
6 |
¡ |
|
2p3 |
= |
|
|
6 |
(¡1 ¡ i 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Мы записали число z в алгебраической форме. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Находим модуль и главное значение аргумента числа z: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
jzj = |
|
j¡1 ¡ i 3 j = |
|
¢ 2 = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
arg z = arg (¡1 ¡ i |
|
3 ) = ¡ |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
Записываем число z в показательной и тригонометрической фор- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ìàõ: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2¼ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
z = |
|
|
|
ei¡¡ 3 |
¢ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
hcos ³¡ |
|
|
|
|
|
´ + i sin |
³¡ |
|
|
|
|
|
|
|
´i: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
´i. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: z = ¡6 ¡2p3 = 3 ei¡¡ 3 |
¢ |
|
= 3 hcos ³¡ 3 |
|
|
|
|
´+i sin ³¡ 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2¼ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2¼ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
Решение варианта 32. Пусть z |
1 |
|
= |
3¼ |
+ i |
ln 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
. Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
tg z |
|
= |
sin z1 |
= |
eiz1 ¡ e¡iz1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
i |
|
|
eiz1 ¡ e¡iz1 |
= i |
|
|
e2iz1 ¡ 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ eiz1 + e¡iz1 |
|
|
|
|
¢ eiz1 + e¡iz1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
cos z1 |
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¡ ¢ e2iz1 + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(мы умножили числитель и знаменатель на eiz1 |
è ó÷ëè, ÷òî |
1 |
= ¡i). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Находим число e2iz1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e¡ 2 |
³cos |
|
|
34 + i sin |
34 |
|
´ = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e2iz1 |
= e¡ 2 + i 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 8 |
|
|
|
|
|
3¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2p2 |
³¡p2 |
+ p2 |
|
´ = ¡4 + |
|
|
4: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
³¡ |
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
´ ¡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 + 5i |
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tg z1 = |
|
|
|
i |
¢ |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
i |
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
³¡ |
|
|
´ + 1 |
|
|
|
|
¡ |
|
¢ 3 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Умножим числитель и знаменатель на число, комплексно сопря- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
женное к знаменателю, то есть на 3 ¡ i: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tg z1 |
|
= |
(1 + 5i)(3 ¡ i) |
= |
3 + 15i ¡ i + 5 |
|
|
= |
4 |
|
+ |
7 |
i: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(3 + i)(3 ¡ i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Поэтому z = |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
(1 ¡ i). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
¡ tg z1 = |
|
¡ |
|
i = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
5 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Мы записали число z в алгебраической форме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Находим модуль и главное значение аргумента числа z: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jzj = |
|
j1 ¡ ij = |
|
|
¢ 2 = |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg z = arg (1 ¡ i) = ¡¼4 :
9
Записываем число z в показательной и тригонометрической фор-
ìàõ: |
|
p |
|
|
ei¡¡ |
|
¢ = |
|
|
p |
|
hcos |
³¡ |
|
´ |
+ i sin ³¡ |
|
´i: |
|
|
|
|||||||||||||
7 |
2 |
¼ |
7 |
2 |
¼ |
¼ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z = |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
4 |
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7p |
|
|
ei¡¡ |
|
¢ = |
7p |
|
|
hcos ³¡ |
|
´+i sin |
³¡ |
|
´i. |
||||||||||||
Ответ: z = |
7 |
|
|
|
7 |
|
2 |
|
¼ |
2 |
¼ |
¼ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
¡ |
|
|
i = |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5 |
|
5 |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
4 |
Задача 2. В нечетных вариантах записать в алгебраической форме все элементы множества E. В четных вариантах решить
уравнение и записать в алгебраической форме все его решения.
N |
Множество E |
|
|
|
N |
|
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Arth ³ |
11 + 2ip |
|
|
|
|
|
´ |
|
(1 ¡ 4ip |
|
|
|
) cth z = 3 + 2ip |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
Arsh ³ 12¡p2 |
´ |
|
|
|
4 |
7 ch z + 9 sh z = 1 ¡ 3ip3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Arcctg ³ |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
¡ |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
(4 ¡ 7i) tg z = ¡3 ¡ 16i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
Arcsin ³ |
3 |
|
i ´ |
|
|
|
|
8 |
3 cos z + i sin z = 3 ¡ i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Arcth ³ |
|
|
|
|
|
|
2ip |
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 ¡ 8ip3 ) th z = 2 ¡ 13ip3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
Arch ³ 3 |
4 |
p2 |
|
|
|
|
|
´ |
12 |
11 ch z ¡ 5 sh z = ¡9 + ip3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
3 + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Arctg ³ |
|
|
|
+ 5ip |
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
(8 + 11ip3 ) ctg z = 7p3 ¡ 28i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
7p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
³ ¡2p2 |
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
¡ |
2i sin z = 3p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 ¡ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
Arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
6 cos z |
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||
|
³ |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
17 |
Arth |
7 ¡ 6i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
(1 + 30i) cth z = 11 |
|
|
|
10i |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Arsh ³ |
1 ¡ ip |
|
´ |
|
3 ch z ¡ 5 sh z = ¡2 ¡ 2ip |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19 |
20 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Arcctg ³ |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 + 16ip3 ) tg z = 12p3 ¡ 7i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
2 |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
10
|
N |
Множество E |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3p |
|
|
|
|
|
¡ i |
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos z + 10i sin z = p |
|
|
+ 9i |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
23 |
Arcsin |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
³ |
|
|
4p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Arctg ³ |
3p |
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 + 25ip |
|
|
) th z = 24 ¡ 5ip |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 ¡ 8i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
25 |
|
26 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
27 |
Arch ³ |
|
5 |
|
|
i |
´ |
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
9 ch z ¡ 7 sh z = ¡6 ¡ 2i |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Arccos ³ |
|
p |
|
+ i |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
29 |
¡ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
(3 + 11i) ctg z = 19 + 9i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Arcth ³ |
2 ¡ ip |
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z + 7i sin z = 2p |
|
¡ 6i |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
31 |
|
32 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
|
ip |
|
|
´ ñî- |
||||
|
Решение варианта 31. Множество E = Arcth |
2 |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¡7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стоит из всех комплексных чисел z таких, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ¡ ip |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cth z = |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¤ |
||
Поэтому задача сводится к решению уравнения (¤). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
cth z = |
ch z |
= |
|
ez |
+ e¡z |
¢ |
|
2 |
|
|
|
= |
ez + e¡z |
= |
e2z + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sh z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ez ¡ e¡z |
ez ¡ e¡z |
e2z ¡ 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(мы умножили числитель и знаменатель на ez). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обозначим число e2z |
|
|
буквой t. Мы приходим к уравнению |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ¡ ip |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + 1 |
= |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ¡ 1 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решаем это уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7(t + 1) = (2 ¡ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 )(t ¡ 1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
7t + 7 = (2 ¡ i 3 )t ¡ 2 + i 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pp
(5 + i 3 )t = ¡9 + i 3; |
|||||
|
|
9 ¡ ip |
|
|
|
t = |
|
3 |
: |
||
|
|
||||
|
|
|
|||
¡ |
5 + ip3 |
||||
|
|