lab_1-43
.pdfЛабораторная работа 1.43 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА
А.М. Бишаев, М.В. Козинцева
Цель работы: определение момента инерции маховика по периоду его совместных колебаний с телом, момент инерции которого известен.
Задание: по периоду малых колебаний маховика с небольшим магнитом вокруг неподвижной оси найти момент инерции маховика и убедиться в том, что значения моментов инерции, полученные в опытах с разными магнитами, в пределах ошибок измерений совпадают друг с другом.
Подготовка к выполнению лабораторной работы: изучить понятия момента инерции точки, тела, момента силы, уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальное уравнение гармонических колебаний, изучить описание установки и вывод расчетной формулы для определения момента инерции маховика.
Библиографический список
1.Савельев И.В. Курс общей физики. –М.: Наука, 1987.-Т. I,
гл.V, §§ 38, 39; гл. VII, §§ 53, 54.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение момента инерции материальной точки и твердого тела относительно некоторой оси.
2.Выведите уравнение колебаний, которому подчиняется система тел 1 и 2, используемых в лабораторной работе.
3.Получите выражение для частоты колебаний маховика с магнитом, рассматривая систему этих тел как физический маятник.
4.При каком условии маховик с магнитом совершают гармонические колебания?
5.Выведите расчетную формулу для определения момента инерции I1 маховика.
6.Оцените погрешность приближения материальной точки для магнита.
2
Описание аппаратуры и метода измерений
Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси OO′(рис. 1). Разобьем его на элементарные массы mк(масса тела m = ∑ mк ), которые можно считать ма-
к
териальными точками. Расстояние каждой из них от оси вращения обозначим буквой Rк. Моментом инерции Iк материальной точки mкотносительно данной оси называется произведение ее
массы на квадрат расстояния от оси вращения:
I |
к |
= |
m R2. |
(1) |
|
|
к к |
|
Рис. 1
Величина I, равная сумме Iк произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно данной оси:
I = ∑Iк = ∑ mкRк2. |
(2) |
к к |
|
Суммирование производится по всем элементарным массам mк, на которые можно разбить тело. Из определения I видно,
что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.
Элементарная масса mк равна произведению плотности тела
ρк в данной точке на соответствующий элементарный объем Vк:
mк = ρк Vк.
Следовательно, момент инерции можно представить в виде:
3
I = ∑ρкRк2 Vк. |
(3) |
к |
|
Если плотность тела постоянна, ее можно вынести за знак суммы:
|
I = ρ∑Rк2 |
Vк. |
(4) |
|
к |
|
|
Соотношения (2), (3), (4) являются приближенными, причем, |
|||
тем более точными, чем меньше элементарные объемы |
Vк и соот- |
||
ветствующие им элементарные массы |
mк . Следовательно, задача |
||
нахождения моментов инерции сводится к интегрированию: |
|||
I = ∫R2dm = ∫ρR2dV. |
(5) |
||
V |
V |
|
|
Интегралы в (5) берутся по всему объему тела. Величины ρ и R в этих интегралах являются функциями точки, т.е., например, в декартовых координат x, y и z.
Таким образом, нахождение моментов инерции тел сложной формы по формулам (5) является непростой задачей. В таких случаях большую роль приобретают экспериментальные методы определения этой величины.
Схема установки, используемой в настоящей работе для определения момента инерции I1 маховика 1, показана на рис. 2. Тело 1 массы М может вращаться вокруг неподвижной оси O, проходящей через его центр масс.
Рис.2
4
r Действующие на тело 1 сила тяжести Mg и сила реакции оси
N вращательного момента относительно оси O не создают, и тело находится в состоянии безразличного равновесия. Закрепим на расстоянии R от оси вращения небольшое тело 2 массы m. Тогда у системы тел 1 и 2 появится устойчивое положение равновесия (ϕ = 0, см. рис. 1), при выходе из которого система будет совершать колебания под действием момента силы тяжести mg . Найдем частоту
этих колебаний.
Пусть система отклонилась на небольшой угол ϕ от положения равновесия. Уравнение движения системы тел 1 и 2 относительно оси O в этом случае запишется в виде:
−mgR sinϕ = (I1 |
+ I2 )ϕ, |
(6) |
|
&& |
|
где I1 и I2 - моменты инерции, соответственно, тел 1 и 2 относительно оси O. Размеры тела 2 на порядок меньше расстояния R, поэтому его можно считать материальной точкой и вычислять его момент инерции I2 по формуле (1):
I2 = mR2.
Знак (-) в уравнении (6) перед вращательным моментом появился потому, что вектор момента направлен противоположно
вектору ϕr 1. Если угол ϕ достаточно мал, то справедливо приближенное равенство
sinϕ ≈ ϕ.
Тогда уравнение (6) перепишется в виде:
&& |
mgR |
ϕ = 0 |
|
||
I |
+ I |
|
|
||
ϕ + |
2 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
&& |
|
2 |
|
|
(7) |
ϕ +ω ϕ = 0, |
где введено обозначение
1 При малых углах отклонения можно рассматривать ϕ как вектор, связанный с направлением поворота правилом «правого винта».
5
ω2 = |
|
mgR |
. |
(8) |
||
I |
|
|||||
|
|
+ I |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Мы получили уравнение гармонических колебаний (7), решением которого будет функция:
ϕ = Acos(ω t +α),
где А – амплитуда колебаний (зависит от начальных условий), ω - частота колебаний, α – начальная фаза колебаний.
Итак, при малых колебаниях угловое отклонение системы тел 1 и 2 изменяется со временем по гармоническому закону. Измерив на опыте период колебаний T (T = 2πω) системы тел 1 и 2
и зная константы m, g, R, можно найти неизвестный момент инерции I1. Действительно, из формулы (8) получаем
I = |
mgRT 2 |
−mR2. |
(9) |
|
|||
1 |
4π2 |
|
|
|
|
|
Можно убедиться в том, что, рассматривая систему тел 1 и 2 как физический маятник, подвешенный на расстоянии OO1 = (mmR+ M ) от
его центрамасс O1 (см. рис. 2), мыполучим формулу(8) длячастоты колебаний и, соответственно, формулу (9) для вычисления момента инерцииI1 тела1.
Порядок выполнения работы
1.Укрепить небольшой магнит на ободе маховика и измерить расстояние от центра масс маховика до центра масс магнита.
2.Измерить не менее пяти раз время t 3÷5 полных колебаний маховика с магнитом. Результаты измерений занести в таблицу.
3.Повторить измерения п.п. 1, 2, изменив условия эксперимента (например, закрепив тот же магнит на другом расстоянии от оси, либо использовав магнит другой массы).
6
Таблица 1
Масса |
|
|
t, c |
|
|
tср, с |
Тср, с |
Icp, |
2 |
|
|
|
|
|
кг м |
||||||
магнита, г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m1= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обработка результатов измерений
1.Найти средний период колебаний маховика с магнитом по формуле
Tср. = tсрn. ,
где n – число колебаний.
2.Вычислить среднее значение момента инерции I1ср. маховика по формуле (9). При расчетах ускорение свободного падения g
принять равным g=(9,81±0,05)м/c2.
3.Рассчитать относительную погрешность E измерения момента инерции по формуле:
|
I |
|
m |
|
g |
|
π |
|
2 T |
|
|
mR2 |
|
R |
|
||
E = |
1 |
= |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ 1 |
− |
|
|
|
|
. |
|
m |
g |
π |
T |
I |
R |
||||||||||||
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Учитывая, что mR2I1 <<1, можно воспользоваться приближенной формулой:
E = mm + gg + ππ + 2 T T + RR . 4. Найти абсолютную погрешность измерения
|
I1 = I1 E |
|
и записать числовой результат в виде: |
||
I = (I |
± I )кг м2 . |
|
1 |
1ср. |
1 |
5.Сравнить значения моментов инерции маховика, полученные в опытах с магнитами разных масс (либо с магнитами, закрепленными на разных расстояниях от оси), и убедиться в том, что в пределах ошибок измерений они совпадают друг с другом.