киб_3_семестр_матан_лекции
.pdfГлава 1. Числовые ряды.
Лекция 1 Числовые ряды, понятие сходимости,
Необходимый признак сходимости.
Рассмотрим бесконечную числовую последовательность(действительных или комплексных чисел).
, |
|
, … … |
|
, где |
|
|
||
Обозначение: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ } , = 1,2 … |
|
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Или |
|
|
|
+ − |
в случае комплексных чисел, |
|
||
= |
|
|||||||
= |
- в случае действительных чисел. |
|
Определение 1(бесконечного числового ряда)
Бесконечным действительным(комплексным) числовым рядом называется
выражение вида: |
& |
|
(2) |
|
|
+ + + + = % |
|||
& |
|
' |
|
|
Для действительных чисел: |
|
(2*) |
||
% |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
un в (2) или an в (2’)– общий член ряда. Задав общий член ряда, мы можем записать бесконечный числовой ряд в виде либо (2) , либо (2’).
Пример 1) ∑'& |
, - |
− геометрическая прогрессия |
Примеры рядов: |
|
Где q – знаменатель прогрессии; a-const. = , - − общий член ряда
При a=1: |
|
|
& |
= 1 + , + , + + , - + |
|
% , - |
||
' |
|
|
Пример 2) ∑'& |
678 = 1 + + 9 + + 678 + , = 678 |
Пример 3) ∑'& |
= 1 + |
+ : + + + − гармонический ряд, = |
|
||
Пример 4) |
& |
|
1 |
|
|
'% |
( + 1)( + 2) |
|
|||
Пример 5) |
& |
1 1 |
1 1 |
|
|
'% |
2 + 3 |
− комплексный числовой ряд, = 2 + 3 |
Вопрос 1
Можно ли утверждать, что бесконечная сумма бесконечно малых величин есть всегда величина бесконечно малая?
Ответ
∑ = 1 + + + + + при → ∞
Не всегда. Чуть позднее покажем, что сумма гармонического ряда
?' : , общий член которого
бесконечно малая величина, является бесконечно большой величиной(см. Теорему 1).
Замечание 1
Первый и третий ряды являются эталонными рядами, с ними будем сравнивать другие числовые ряды.
Определение 2(частичной суммы ряда)
Частичной суммой ряда Sn называется сумма первых n-членов этого
числового ряда. |
|
|
B = + |
+ + = ?'% ? |
(3) |
Определение 3 (Сходимости числового ряда, суммы ряда, расходимости)
Ряд (2)( или→(2’))∞ сходится, если существует конечный предел его частичных сумм при n . Этот предел и называется суммой бесконечного числового
ряда. |
|
|
(4) |
B = F→&lim SF |
|||
lim |
F→& |
S |
F равен бесконечности или не существует, то ряд |
Если |
|
(2)(соответственно (2’)) расходится.
Замечание 2
Поскольку n-натуральный ряд чисел, то под верхним пределом суммы |
|
∑'& |
мы понимаем + . |
Проиллюстрируем определения 2,3 на примерах: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд H) % , - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = + , + + , - = -J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1 − , ) |
|
|
I(-J6) (известно из школьного курса) |
|
|
|
||||||||||||
lim B |
= lim |
= lim |
|
− lim |
, |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
→& |
|
|
|
→& |
1 − , |
|
|
→& 1 − , |
→& 1 − , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, при |,| < 1 => ряд сходится |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
B = K |
∞, при |,| > 1 => ряд расходится |
|
|
|
||||||||||||||
Рассмотрим случай, когда |,| = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1) q=1. Получаем ряд S |
|
=a+a+…+a… =na. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim B |
= lim = ∞ |
n |
=> ряд 1) расходится |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
→& |
|
|
|
→& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) q=-1. Получаем ряд S =a-a+a-…+a(-1)n-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim B = O0, |
|
= 2Qn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
→& |
|
|
|
, |
|
= 2Q + 1 |
|
|
|
|
? |
|
?R |
|
одной и той же |
|
|
||||||||
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
результате две подпоследовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Вывод |
|
{B } |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
последовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|
пределам. А это означает, что |
|
|
||||||||||||||
предел |
|
|
|
|
B сходятся к разным{B |
}, |
{B |
} |
|
|,| ≥ 1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|,| |
< 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
для ряда 1: этот ряд сходится при |
|
|
|
и расходится при |
|
. |
|
||||||||||||||
При |,| < 1 |
|
B = |
1 − , |
|
(Запомнить!) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||||
При = 1 |
B = -J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||
Ряд 2) |
|
, = |
< 1 => ряд 2) сходится как геометрическая прогрессия при |
|
|||||||||||||||||||||
S = |
|
1 1 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|q|<1 и а=1; Сумма этого ряда имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1исследования− |
ряда 3) докажем следующую теорему. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Для |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1(О гармоническом ряде) Гармонический ряд расходится.
Доказательство
Идея: составляем частичные суммы ряда и их оцениваем. Покажем, что
B = 1 + + + → +∞ при → +∞
частичная сумма :
Воспользуемся приведенной ниже оценкой. Число e является пределом |
||||||
последовательности (1 + ) , → ∞ , при этом |
|
|||||
e > (1 + ) |
| прологарифмируем это неравенство при основании е>1. |
|||||
1 > ln R = (ln( + 1) − ln ) |
=> > ln( + 1) − ln ; Рассмотрим n |
|||||
неравенств; |
сложив их, получим оценку частичной |
суммы Sn: |
||||
|
[ |
1 > \ 2 − \ 1 |
|
|
|
|
|
1 > \ 3 − \ 2 |
|
|
|
||
+ |
|
2 |
|
|
||
Z1 |
… … … … … … … |
B > ln( + 1) ^___` +∞, следовательно B → +∞ |
||||
|
|
→R& |
|
|||
|
X |
> ln( + 1) − ln( ) |
|
|
|
А это означает, что гармонический ряд 3) расходится.
Замечание 3
Именно гармонический ряд показывает, что бесконечный ряд бесконечно
|
|
|
1 |
|
|
|
d |
|
|
e |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
малых величин может быть величиной бесконечно большой. |
|
|
|
||||||||||||||||||
Ряд c) |
( + 1)( + 2) = |
+ 1 − |
+ 2 |
= |
+ 1 − + 2 |
1 |
|
1 |
1 |
||||||||||||
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
||||||||
B = f2 |
− 3g + f3 |
− 4g + + f |
− |
+ 1 |
g + f |
+ 1 |
− |
+ 2 |
g = 2 |
− |
+ 2 |
||||||||||
lim B |
= lim f1 |
− |
1 |
g = 1 = B |
|
− |
|
сходится |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
→& |
|
→& 2 |
|
+ 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ряд h) |
|
& |
1 |
|
1 |
|
& |
1 |
|
& |
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
'% f2 + |
3 g = |
'% |
2 + |
'% |
3 = 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 4
Комплексный числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда сходятся действительные и мнимые части, и расходится, когда расходятся хотя бы один из этих рядов.
Покажем, что ряд(5) сходится. Оба ряда(действительная и мнимая часть) – сходятся, т.к.
& |
1 |
− сходится, как геометрическая прогрессия с , = |
1 |
< 1 |
|||||||
%' |
2 |
2 |
|||||||||
|
1 |
|
|
( ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
= 2 |
; |
B |
|
= |
2 1 |
= 1 |
|
1 |
|
||
& |
1 |
|
|
|
|
1 − 2 |
|
|
|
< 1 |
|
% |
3 |
− сходится, как геометрическая прогрессия с , = 3 |
|||||||||
' |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= 1 |
; B( ) = |
3 1 |
= |
1 |
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
1 − 3 |
|
2 |
|
|
|
Тогда сумма ряда равна B = 1 + 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
& |
|
|
2 |
|
|
|
|
Теорема 2(необходимый признак сходимости числового ряда) |
|||||||||||
Если ряд 2) |
% сходится, то lim = 0. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
' |
|
|
→& |
|
|
|
|
Обратное неверно, как показывает гармонический ряд. |
|
|
|||||||||
∑&' |
; |
|
= |
|
; lim →& = 0 , но ряд расходится. |
|
|
||||
Итак, |
|
& |
|
|
|
^_____________` |
lim = 0 |
|
|
||
|
% сходится |
|
|
||||||||
|
|
|
' |
|
|
|
(обратное неверно) |
→& |
|
|
|
Доказательство: Пусть ряд 2) сходится. = B − B - . |
|
|
|||||||||
Тогда lim = lim (B − B - ) = lim B − lim B - = B − B = 0. |
|||||||||||
|
|
→& |
|
→& |
|
→& |
→& |
|
|
Утверждение.
Если предел общего члена числового ряда не равен нулю, то числовой ряд
расходится. Доказательство(от противного):
Пусть ряд(2) сходится lim →& = 0 − противоречие. Итак, qlim →& r ≠ 0t (ряд (2)расх. )
Пример 6) ∑&' yv: RwRx;
lim z2 + 5 |
= z2 |
≠ 0 => ряд расходится |
|||||||||
y |
3 + 7 |
|
|
y |
3 |
|
|
||||
→& |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n2 + 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7) ∑n =1 100n2 + 17 |
|||||||||||
lim |
|
n2 +1 |
|
|
= |
|
1 |
¹ 0 ряд расходится |
|||
100n |
2 |
+17 |
100 |
||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
Лекция 2
Свойства сходящихся рядов(6 свойств). Положительные ряды,
Достаточные признаки сходимости положительных рядов:
признаки сравнения.
Необходимый признак сходимости ряда можно отнести к свойствам
сходящихся рядов:
Свойство 1)
|
|
|
|
|
lim = 0 . Обратное утверждение не верно. |
||
− сходится |
|||||||
|
|
|
|
/ |
→ |
|
|
Доказано на предыдущей лекции. |
|
|
|||||
Определение 4 (остатка числового ряда) |
|
|
|||||
Остатком(n-ым) числового ряда называется выражения вида: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
% = & + &( + + &* + = * &* |
|
||||||
Выражение (1) представляет собой бесконечный числовой ряд. |
|
|
|||||
Свойство 2) (очевидное) |
|
|
(2) |
||||
. = . + % |
|
|
|
|
|
||
Для сходящегося числового ряда имеет место следующая формула: |
|
||||||
Сумму . можно вычислить приближенно . ≈ . , |
|
|
|||||
|
тогда % |
− ошибка приближения |
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
Пример=: 1 + 2 ∙ 5 + 3 ∙ 5( + + B ∙ 5C + |
или . |
||||||
Подсчитать сумму этого ряда с точностью до %F ,т. е. . ≈ .F |
|||||||
Замечание 1= .F |
+ %F |
|
|
|
|||
То, что этот ряд сходится, мы узнаем чуть позднее. |
|
|
|||||
1 |
|
1 |
|
17 |
|
|
|
.F = 1 + |
2 • 5 |
+ |
3 • 5( = 1 |
150 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
%F = |
4 • 5F |
+ |
5 • 5J |
+ < 5F + 5J + − геометрическая прогрессия с L |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1N |
F = 5 , M = 5F |
|
||||||
%F ≈ |
|
|
5 |
|
|
= 0,01 |
|
|
||
1 − |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|||
|
|
17 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
. ≈ 1 |
|
|
с ошибкой приближения 0,01 |
|||||||
150 |
|
|||||||||
Свойство 3) Задается теоремой 3. |
Теорема 3 (о стремлении к нулю остатка сходящегося ряда) |
||||||
Если ряд сходится, то его остаток - тоже сходящийся бесконечный ряд и |
||||||
предел остатка ряда равен 0 при n->∞. |
|
|||||
|
|
|
|
1)% − остаток ряда есть сходящийся |
||
|
|
|
|
бесконечный ряд; |
||
Q − сходитсяR T |
2) →lim % = 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
1) Докажем, что Rn сходится. Составим частичные суммы для ряда 1: |
||||||
W,* |
= & |
+ &( + + &* |
= .&* − . |
(4) |
||
lim |
|
W,* = |
lim (.&* − . ) = . − . = 0 |
|||
*→ |
|
*→ |
|
|
|
|
( → ) |
|
( → ) |
|
|
|
|
Т.е. конечный lim→ W,* , следовательно ряд (1) сходится. |
||||||
Y) (2) => |
% = . − . ; lim % = lim (. |
− . ) = . − . = 0 |
||||
|
|
|
|
→ |
→ |
|
Свойство 4)
Теорема 4 (Критерий Коши)
Для того, чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
следующие условия:
|
− сходится R |
Q |
н.и д. ^ |
Для a > 0 существует b(a) > 0 , |
||
такое что B > b(a) и любых р: |
i |
||
[ ] |
c = 1,2,3 |
… |
h |
\ |
e.&f − . e |
< a |
g |
Задание на дом(для сильных) студентов: доказать, учитывая замечание 2.
Необходимость. Дано: ряд (2)сходится; Доказать выполнение 1),2),3). Из сходимости ряда остаток ряда Rn сходится и → 0 при n → ∞ ,
limσ n,k |
= lim(Sn+k |
− Sn ) = 0 |
выполнение 1),2),3) |
|
т.е k →∞ |
k →∞ |
|
|
|
( n→∞ ) |
( n→∞ ) |
|
|
|
|
|
|
|
(по определению предела) |
Достаточность. Дано выполнение 1),2),3). |
||||
|
∞ |
|
|
|
Доказать, что ряд ∑U n сходится. |
|
|
||
|
n=1 |
|
|
|
Из выполнения 1),2),3) |
lim Sn |
= lim Sn+ p = S . |
||
|
|
n→∞ |
n→∞ |
Замечание 2
Для сходящихся рядов частичные суммы будут в ε -окрестности, и наоборот.
Пример 2
Исследовать на сходимость по критерию коши:
|
1 |
1 |
|
|
|
|
jB(B + 1) |
a = 4 , c = B |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||
|.( − . | = j(B + 1)(B + 1) + j(B + 2)(B + 3) |
+ + j2B(2B + 1) > |
|||||
1 |
1 |
1 |
> |
1 |
(при B = 1) |
|
> B + 2 |
+ B + 3 |
+ + 2B + 1 |
4 |
|
||
Следовательно ряд расходится |
|
|
|
Свойство 5:
Линейные операции над сходящимися рядами. Сходящиеся числовые
ряды можно:
1)алгебраически складывать |
, |
|
|
∑ |
± ∑ n = ∑ ( ±n ) = = .o ± .p |
(5) |
|
где |
.o − сумма 1 − го ряда ; .p − 2 − го ряда |
|
|
2)умножать на число |
|
|
|
∑ |
q = q .o |
|
(6) |
При этом тоже получаются сходящиеся ряды и их суммы равны соответственно правой части равенств (5) и (6).
Доказательство для 1)
Пусть
W = ( ± n ) + ( ( ± n() + + ( ± n ) − частичная сумма ряда (5) равная . r ± . s ,т. е. алгебраической сумме частичных сумм
. исходных рядов.
=> →lim W = →lim . r ± →lim . s = .o ± .p
Док-во для 2): доказывается аналогично. Уметь проводить самостоятельно.
Свойство 6:
Сходимость исходного ряда не нарушается, если к исходному ряду добавить или вычесть конечное число членов. Изменится только сумма ряда.
Замечание 3
Если ряд расходится, то добавление к нему конечного числа членов не нарушит его расходимости. Умножение на какое-то число К также не нарушит его расходимости.