Занятие 12(Фдз 13)
.doc
Занятие 12 (Фдз 13).
Ортогональный и ортонормированный базисы. Метод ортогонализации базиса.
Ортогональные матрицы.
12.1. Ортогональные векторы. Ортогональный базис. Ортонормированный базис.
12.2. Метод ортогонализации базиса.
12.3. Ортогональные матрицы и их свойства.
12.1. Пусть - - мерное евклидово пространство, - скалярное произведение векторов. Векторы называются ортогональными, если =0. Система из ортогональных векторов, т.е. , всегда линейно независима.
Базис называется ортогональным, если он состоит из ортогональных векторов.
Базис называется ортонормированным, если этот базис является ортогональным, и все его векторы имеют длину, равную 1.
Пример 1. В базисе двумерного евклидова векторного пространства матрица Грама имеет вид . Даны векторы в базисе . Требуется найти, при каком значении параметра векторы будут ортогональными.
Решение.
Скалярное произведение векторов в базисе задается формулой
, где - координаты векторов в базисе . Следовательно,
.
Согласно определению будут ортогональными, если . .
12.2. Пусть - - мерное евклидово пространство, - скалярное произведение векторов . Нахождение ортогонального и ортонормированного базисов этого пространства является одной из главных задач. Решить эту задачу можно так.
Возьмем произвольный базис пространства . На его основе можно построить ортогональный базис пространства , если последовательно найти векторы по следующему алгоритму:
;
, где ;
, где ; (1)
………………………………………………………..
, где .
Приведенный алгоритм называется методом ортогонализации базиса.
Теперь, используя ортогональный базис легко находится ортонормированный базис , в котором
, . (2)
Переход от к по формулам (2) называется нормировкой векторов .
Пример 2. Пусть - трехмерное евклидово пространство со стандартным скалярным произведением . В этом пространстве задан базис . Требуется ортогонализовать и ортонормировать этот базис.
Решение.
Проведем ортогонализацию базиса . Сделаем это с помощью формул (1).
.
, где .
.
.
, где .
.
Итак, получили: , , .
Проведем проверку ортогональности полученных векторов.
,
,
.
Таким образом, проверкой окончательно установлено, что - ортогональный базис.
Чтобы найти ортонормированный базис, надо пронормировать векторы .
.
.
.
Итог: , , -
ортонормированный базис.
В заключение отметим, что базис, в котором задано стандартное скалярное произведение, также является ортонормированным, он состоит из векторов .
Пример 3. Рассмотрим двумерное евклидово пространство
с базисом и скалярным произведением , где
- симметричная билинейная функция. Ее значения на базисных матрицах таковы: .
(См. пример 9 занятия 10 и пример 3 занятия 11).
Требуется ортогонализовать и ортонормировать этот базис.
Решение. Сначала методом ортогонализации из получим ортогональный базис .
.
, где
.
, - ортогональный базис.
Чтобы получить ортонормированный базис , пронормируем матрицы .
.
.
.
Ответ. , - ортонормированный базис.
Пример 4. Рассмотрим трехмерное евклидово пространство многочленов степени не выше второй степени со стандартным базисом и скалярным произведением , где - симметричная билинейная функция со следующими значениями на базисных многочленах:
.
(См. пример 8 занятия 10 и пример 2 занятия 11).
Исходя из базиса найти ортонормированный базис.
Решение.
Сначала методом ортогонализации из получим ортогональный базис .
.
, где .
, где .
.
.
.
Итог: , , - ортогональный базис пространства .
Теперь из базиса получим ортонормированный базис .
.
(см. вычисление знаменателя у коэффициента ).
.
.
.
Ответ. ,, - ортонормированный базис.
12.3. Ортогональная матрица – матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису евклидова пространства .
Пусть и - ортонормированные базисы -мерного евклидова пространства .
, где .
- ортогональная матрица.
Свойство (необходимое и достаточное условие) ортогональной матрицы: или , где - единичная матрица.
Из этого свойства выводится, что равен 1 или -1. Поэтому, ортогональные матрицы составляют два класса. Для одного класса ортогональных матриц , для другого .
Пример 5. Даны матрицы .
Доказать, что - ортогональные матрицы.
Решение.
1. . .
, ,
, .
- ортогональная матрица. Легко проверяется, что
2. . .
, , ,
, , ,
, , .
- ортогональная матрица.
Пример 6. Найти матрицу перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису
, ,
трехмерного евклидова пространства со стандартным скалярным произведением и проверить, что эта матрица является ортогональной.
Решение.
.
.
.
- матрица перехода от базиса к базису ,,.
.
- ортогональная матрица.
_________________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. В трехмерном евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением задан базис . Провести ортогонализацию этого базиса. Затем, по полученному ортогональному базису найти ортонормированный базис.
2. Дано трехмерное евклидово пространство , у которого матрица Грама в базисе имеет вид . -новый базис пространства ,
. Провести ортогонализацию базиса . Затем, по полученному ортогональному базису найти ортонормированный базис.