- •1. Натуральные числа.
- •1. Если функции иявляются бесконечно малыми, то функциятакже есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.
- •2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.
- •3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.
- •4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое конечное число бесконечно малых.
- •8. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел
- •9. Критерий Коши сходимости последовательности
- •10. Предел функции, два определения.
- •12. Непрерывность функции. Разрывы первого и второго рода
- •13. Теоремы Вейерштрасса о функции непрерывной на отрезке.
- •14. Теорема о свойстве непрерывной на отрезке функции принимающей на концах отрезка значения разных знаков (Больцано-Коши).
- •15. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины.
- •16. Сравнение бесконечно больших величин. Эквивалентные бесконечно большие величины.
- •17.Применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших величин для вычисления пределов.
- •18 Производная функции. Механический и геометрический смысл производной.
- •Тангенс угла наклона касательной прямой
- •Скорость изменения функции
- •19 Свойства производных. Правила дифференцирования
- •20 Производные элементарных функций.
- •21 Производная сложной функции. Производная обратной функции
- •22 Дифференциал функции. Геометрический смысл
- •23 Приближенное выражение приращения функции через дифференциал.
- •24 Производная высшего порядка.
- •Формула Тейлора
- •34. Асимптоты
- •35. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •43.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •44.Приложение интегралов. Площадь плоской фигуры.
- •45.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Сходимость интегралов.
- •51.Предел последовательности n-мерных точек.
- •52. Предел функции многих переменных, два определения.
- •В этом случае пишут илипри.
- •53. Непрерывные функции многих переменных.
- •54. Частные производные первого порядка.
- •60. Градиент функции, свойства градиента
- •63. Необходимые условия локального экстремума дифференцируемой функции многих переменных. Стационарные точки.
- •64. Достаточное условие экстремума функции многих переменных.
- •65. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Вычисление корней многочленов.
- •66. Дифференциальные уравнения, основные понятия.
- •67. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •68. Линейные уравнения первого порядка.
- •69. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка.
54. Частные производные первого порядка.
Определение. Если существует , то он называется частной производной (первого порядка) функциипо переменнойи обозначается
Аналогично определяется частная производная по переменной y:
55. Производные от сложной функции многих переменных
Обобщим понятие сложной функции на случай функции многих переменных. Пусть дана функция
(1)
аргументы, которой и– функции других переменныхи:
Если в соотношение (1) вместо иподставить их выражения черези, то в результате получим сложную функцию переменныхи:
В частном случае, если изависят только от одного переменного:то сложная функцияявляется функцией одного переменного.
56. Частные производные второго порядка
Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.
= ,=.
= ,=.
Две последние называют смешанными производными.
Если полученные функции являются дифференцируемыми, то частные производные от них называются частными производными третьего порядка. Например:
.
57. Теорема о смешанных производных
Если частные производные первого порядка некоторой функции непрерывно дифференцируемы, то результаты смешанного дифференцирования равны.
.
Пример. .
, ,
, ,,,
.
58. Полный дифференциал первого порядка
Функция называется дифференцируемой в точкеx0, если ее приращение Δy(x0,Δx) может быть представлено в виде
.
Главная линейная часть приращения Δy называется дифференциалом этой функции в точке x0, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом dy (x0,Δx).
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точкеx0,необходимо, чтобы существовала производная , при этом справедливо равенство.
Выражение для дифференциала имеет вид
,
Где .
Свойства дифференциала:
1. , где C− постоянная;
2. ;
3. ;
4. ;
59. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.
Уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид
Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.
Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид:
Если поверхность задана уравнением , то его можно представить в вида; тогда имеем, отсюда получаем,и. В этом случае уравнение касательной будет иметь вид
,
а уравнение нормали
Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.
60. Градиент функции, свойства градиента
Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции и обозначается или (читается «набла у»):
.
При этом говорят, что в области D определено векторное поле градиентов.
Для нахождения градиента функции в заданной точке используют формулу:
Свойства градиента
1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .
2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.
61. Производная функции по направлению.
Определение. Предел отношения , если он существует, называется Производной функции Z=F(M) в точке M(X; Y) по направлению вектора L .
Обозначение.
Если функция F(M) дифференцируема в точке М(х; у), то в точке М(х; у) существует производная по любому направлению L, исходящему из М; вычисляется она по следующей формуле:
(8)
Где Cos И Cos - направляющие косинусы вектора L.
62. Дифференциалы второго порядка, матрица Гeccе.
Определение. Пусть функция дважды дифференцируема в точке x. Дифференциалом второго порядка от функции иливторым дифференциалом в точке x называется дифференциал от ее первого дифференциала d(dy). Второй дифференциал обозначается d2y .
Теорема
Если функция у = f(x) дважды дифференцируема и х - независимая переменная, то формула для второго дифференциала имеет вид:
Квадратная симметрическая матрица порядка n, элементами которой являются частные производные целевой функции второго порядка, называется матрицей Гессе и обозначается: