- •Элементы теории погрешностей.
- •1.1.Определение абсолютной и относительной погрешности численного результата.
- •1.2.Основные составляющие абсолютной погрешности.
- •1.3.Формулы для оценки абсолютной и относительной погрешности для значения функции и переменных.
- •Решение уравнений с одной неизвестной.
- •2.1.Отделение корней уравнения и отделение корней алгебраического уравнения.
- •2.2.Понятие кратного корня.
- •2.3.Методы уточнения корней простой итерации.
- •2.4.Метод Ньютона.
- •2.5.Метод хорд.
- •2.6.Достаточное условие сходимости метода простой итерации.
- •Вывод условия сходимости:
- •2.7.Оценка погрешности n-приближения.
- •Решение систем линейных уравнений.
- •3.1.2.Классификация слау
- •3.1.3.Обусловленность слау
- •3.1.Метод Гаусса.
- •3.2.Метод прогонки.
- •3.3.Метой простой итерации. Приведение системы к итерационной форме
- •Выполнение итерации
- •Проверка условия окончания решения
- •3.4.Достаточное условие сходимости простой итерации.
- •3.5.Оценка погрешности n-приближения.
- •4.1.Метод простых итераций.
- •1) Функции 1(X,y) и 2(X,y) определены и непрерывно дифференцируемы в r;
- •3) В r выполнены неравенства
- •4.2.Метод Ньютона.
- •Интерполяция функций.
- •5.1.Постановка задачи.
- •5.2.Формула Лагранжа.
- •5.3.Формула Ньютона.
- •5.4.Оценка погрешности интерполяции.
- •5.5.Интерполяция сплайнами.
- •Определение кубического сплайна.
- •Формулировка системы уравнений для коэффициентов кубического сплайна.
- •Аппроксимация функций.
- •6.1.Постановка задачи.
- •6.2.Метод наименьших квадратов.
- •6.3.Матричная формула для коэффициентов многочлена аппроксимации.
- •Численное интегрирование.
- •8.1.Формулы прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона). Оценки погрешностей. Методы прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод парабол
- •8.2.Метод Рунге двойного счета для оценки погрешности.
- •Методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
- •9.1.Интегральное представление задачи Коши.
- •10.1.Обусловленность задачи поиска минимума.
- •10.3.Метод золотого сечения.
- •10.4.Метод координатного спуска.
- •10.5.Метод наискорейшего спуска.
Элементы теории погрешностей.
1.1.Определение абсолютной и относительной погрешности численного результата.
Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях. Под ошибкой или погрешностью а приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближением, т.е.
а = А - а .
Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и числом а, т.е.
= А - а .
Если число А не известно, то по этой формуле нельзя определить абсолютную погрешность, Поэтому вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности вводят ее оценку сверху, называемую предельной абсолютной погрешностью .
Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа. Таким образом, если а - предельная абсолютная погрешность, то
= А - а а .
Относительной погрешностью приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа А (А0) т.е.
.
Так же как и для абсолютной погрешности вводят понятие предельной относительной погрешности. Под предельной относительной погрешностью а понимают всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа. В качестве предельной относительной погрешности числа а можно принять число
.
1.2.Основные составляющие абсолютной погрешности.
1.3.Формулы для оценки абсолютной и относительной погрешности для значения функции и переменных.
При сложении или вычитании чисел их абсолютные погрешности складываются. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей слагаемых; на практике принимается наибольшее значение.
(a b) = a + b .
При умножении или делении чисел друг на друга их относительные погрешности складываются.
;
При возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени.
Погрешность разности: предельная абсолютная погрешность разности (u = x1 - x2) равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:
u = x1 + x2
Отсюда предельная относительная погрешность разности
где А - точное значение абсолютной величины разности чисел х1 и х2 .
Погрешность произведения: относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел:
1 + 2 + ... + n .
Поэтому при вычислении произведения нескольких приближенных чисел применяют следующие правила:
- округляют эти числа так, чтобы каждое из них содержало на одну (или две) значащие цифры больше, чем число верных значащих цифр в наименее точном из сомножителей;
- в результате умножения сохраняют столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей.
Погрешность частного: относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.
Основная задача теории погрешности заключается в следующем: известны погрешности некоторой системы величин, требуется определить погрешность данной функции от этих величин.
Пусть задана дифференцируемая функция u=(x1,x2, ... , xn) и пусть xi - абсолютные погрешности аргументов функции.
Тогда предельная абсолютная погрешность функции может быть вычислена по формуле:
Предельная относительная погрешность функции вычисляется следующим образом: