III-2
.pdf11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = x arctg(2x2 −8x +8) в ряд Тейлора в точке x0 = 2 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,5∫ sin 2x dx .
0 x
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до пятой степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
y |
′′′ |
+ x sin y = 0; |
y(0) = |
π |
; |
′ |
′′ |
|
|
|
|
2 |
y (0) |
= y (0) = 0 . |
|
||||||
14. Разложите в ряд по косинусам функцию f (x) = |
π− x |
в интервале |
||||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0; π) .
15. Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 21
Исследуйте на сходимость ряды.
|
∞ |
( |
sin2 |
2n |
) |
arctg(8n +6) |
|
|
|||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
||||||
|
n=3 |
|
|
|
|
|
|
|
(2 −n) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
en |
|
−6n +2 3n2 −6n+1 |
|
|
|||||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
2 |
n+1 |
|
|
−6n −3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(−1) |
n |
9 |
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n +11 |
|||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4n +15 |
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n! |
|
|
|
|
2. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
n |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|||||
n=1 |
n |
|
tg |
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
ln−1 (arctg(2 +3n)) |
|
|||
4. |
∑ |
|
|
|
|
. |
(1+(2 +3n) |
2 |
)arctg(2 +3n) |
||||
|
n=1 |
|
|
|||
|
∞ |
(−1)n−1 sin ( |
|
n2 +2n −1) |
|
|
6. |
∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
n=1 |
4 n9 + n −4 |
|
7. Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,00001:
∞
∑n=1 n!(2n)!.
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
6x |
+3 |
|
n−2 |
∑( n +5 − |
|
||||
n +2 ) |
2x |
+3 |
. |
||
n=1 |
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
lim |
x ln(1+ x3 ) −arctg(x4 ) |
. |
||
x2 |
(arcsin x +sin x) −2x3 |
|||
x→0 |
|
10. Вычислите одиннадцатую производную в нуле:
|
|
2 |
|
−x |
2 |
sin(x |
|
) |
, x ≠ 0, |
||
y = |
x3 |
|
|
||
|
|
0, |
|
x = 0. |
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = e2x2 +8x в ряд Тейлора в точке x0 = −2 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,5∫1 −e2x2 dx . 0 x
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до третьей степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
|
′ |
= e |
y |
+ xy; y(0) = 0 . |
|
|
y |
|
|||
14. |
Разложите в ряд по косинусам функцию f (x) =1 −x в интервале |
||||
(0; 2) . |
|
|
|
|
|
15. |
Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с |
||||
интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график |
|||||
суммы этого ряда на отрезке |
[ |
|
|
] |
|
|
−3; 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Исследуйте на сходимость ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
(n +(−1)n )arctg(5n + |
n ) |
|
|
∞ |
5n (n +1)! |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
2. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
3n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
8n+1 |
|
2n |
|
|
−n2 −9n+6 |
|
|
|
|
|
∞ |
4arctg3 (ln(4n +5)) |
|
|
||||||||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
2n−1 |
2n −3 |
|
|
|
|
|
|
(1+ln |
2 |
(4n |
+5))(4n + |
5) |
||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n 7 n3 arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
9 |
|
2 |
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
0,5cos(n |
3 |
+4) . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
6. ∑ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
6n |
2 |
|
+13 |
|
|
|
3 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
n |
|
+3 |
n −2 |
|
|
||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,001: |
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ cos(nπ) .
n=1 3n (n +1)
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
2x |
−1 |
|
n+1 |
∑( 4n +5 − |
|
||||
4n +1) |
5x |
−1 |
. |
||
n=1 |
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите
предел |
|
|
|
|
|
8x4 |
|
|
|
cos 2x +e2x2 −2 − |
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
x→0 arcsin(x2 ) −arctg(x2 ) |
|
|||||||
10. Вычислите девятую производную в нуле |
|
|||||||
|
ln(1 −3x) +3x |
, |
x ≠ 0, |
|||||
|
||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|||
y = |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
x = 0. |
||||
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = x2 + 2x +5 в ряд Тейлора в точке x0 = −1.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,5 sin2 x
∫0 x2 dx .
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до третьей степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
′ |
= xy |
2 |
−1; y(0) |
=1. |
y |
|
14. Разложите в ряд Фурье функцию f (x )= x +1 на интервале (0; π)
в ряд по синусам.
15. Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Исследуйте на сходимость ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∞ |
arctg 3 n4 +n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
2. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
. |
||||||||||
|
2 |
|
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +2)!4 |
n |
n |
||||||||||||||||||||||||
|
= |
2 |
|
n ln n |
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n−4n2 +2 |
|
|
|
|
∞ |
ln |
−1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
4n |
+5 |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7 |
2n−5 |
4n |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
1 + |
|
arctg n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(−1)n 3 n5 tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
n+1 |
1 |
|
|
|
|
+ |
π |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
sin 4n |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 9 |
+15 |
. |
|
|
6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
6n |
2 |
+13 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
8 |
+4 |
4 |
n −3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,001: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
n |
(2n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
|
4x +5 |
|
n+4 |
∑( 3n +1 − |
3n |
|
|||
−5 ) |
3 −2x |
. |
|||
n=2 |
|
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
ln(1+2x) |
−2x cos x +2x2 − |
11 x3 |
|
|
lim |
|
|
3 |
. |
|
x (3 1 |
+3x +(1+ x)−1 −2) |
||||
x→0 |
|
10. Вычислите восьмую производную в нуле
|
1+2x |
2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
x ≠ 0, |
x2 |
|
|
|||
y = |
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = cos(x2 −12x +32) в ряд Тейлора в точке x0 = 6 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,125∫ arctg 4x dx .
0 x
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до третьей степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
y′ = y2 +sin x; |
|
π |
= 0 . |
y |
|
||
|
|
2 |
|
14. Разложите функцию f (x) = 2x −1 |
в |
интервале (0; 1) в ряд по |
синусам.
15. Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 24
Исследуйте на сходимость ряды.
|
∞ |
arctg(n |
2 |
+n +3) |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(2n +1)! |
tg |
1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||
1. |
∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
2. |
∑ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
n |
|
|
|
|||||||||||||
|
n=2 |
|
n2 −n +cos n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
5 (n!) |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
2n+5 |
|
|
7n −8 |
−n2 −8n+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7 |
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
7n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n −1)ln(2n −1)ln ln(2n −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(−1) |
n |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
n 5 arcsin |
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n−1 |
cos(n |
4 |
+n |
2 |
+n) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n +15 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
. |
|
6. ∑ |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
2 |
+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 n9 +5 |
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,01: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
|
2x −3 |
|
n+2 |
∑( 2n +5 − |
2n |
|
|||
+3) |
1 −5x |
. |
|||
n=1 |
|
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
sin(x2 ) + |
1 cos(2x) |
− |
1 x4 |
− |
1 |
|
|||
lim |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
. |
e |
x |
2 |
+ln(1−x |
2 |
) −1 |
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
10. Вычислите девятую производную в нуле от функции
|
|
3 |
|
|
|
arctg(x |
) , |
x ≠ 0, |
|||
|
|||||
y = |
x2 |
|
|
|
|
|
0, |
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y =sin(x2 −4x +3) в ряд Тейлора в точке x0 = 2 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,25 1 −cos 2x
∫0 x2 dx .
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до четвертой степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
y |
′′ |
′ |
+ y −1 = 0; |
|
|
′ |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
−xy |
y(0) = y (0) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0, |
при |
0 < x < |
1 |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
14. Разложите функцию f (x) = |
|
|
|
|
|
2 |
|
в ряд по |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
< x <1 |
|
|||||
|
|
|
|
1, |
при |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
косинусам в интервале(0; 1) .
15. Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 25
Исследуйте на сходимость ряды.
∞ |
|
|
|
3 |
+2) . |
|
1. ∑arctg(3n |
|
|||||
n=1 |
|
3 |
+sin |
πn |
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
∞ |
3n (n!)2 |
|
1 |
|
|
2. ∑ |
|
|
arctg |
|
. |
(2n −1)! |
n |
||||
n=1 |
|
3 |
|
|
∞ |
42n−1 |
n |
|
−n2 −7n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
n |
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=6 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
3n2 +4n +1 |
|
|
|
|
||||
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(n |
3 |
+2n |
2 |
+n)(1+ln |
2 |
(n |
3 |
+2n |
2 |
+n)) |
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
∞
5. ∑
n=13
(−1) |
n 7 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
sin |
|
|
|
||
|
|
4 |
n +9 |
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
12 −n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
n |
|
5πn |
+ |
π |
||
∞ |
|
sin |
6 |
3 |
|
|||
6. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
||
7 n10 +2 n −5 |
|
|||||||
n=1 |
|
|
7. Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,001:
∞ |
2 |
n |
|
|
∑(−1)n |
|
|
. |
|
(n +1) |
n |
|||
n=1 |
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
2x +3 |
|
n−1 |
∑( 5n +2 − |
|
|||
5n ) |
x −5 |
. |
||
n=1 |
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
lim |
|
|
arctgx −x 3 |
1−x2 |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
x→0 |
e |
2x |
−cos 2x |
−2x |
− |
4x |
2 |
− |
x |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Вычислите девятую производную в нуле
e−x2 |
−1 |
+ x2 |
|
||
|
|
|
|
, |
x ≠ 0, |
|
x3 |
|
|||
y = |
|
|
|
||
|
0, |
|
|
x = 0. |
|
|
|
|