Типовой расчёт по теории вероятностей

1Задачи для контрольных заданий

1.1Контрольная работа 1

1 10. Выразить в алгебре событий события B1 è B2 через Ak.

1.Стрелок делает три выстрела по мишени. События Ak попадание при k-том выстреле, k = 1, 2, 3. B1 произошло одно попадание; B2 произошло хотя бы одно попадание.

2.Отдел по контролю за качеством продукции отобрал на проверку три готовых изделия. События Ak k-ое изделие оказалось с дефектом, k = 1, 2, 3. B1 два изделия оказались с дефектом; B2 все изделия оказались годными.

3.Трое друзей пошли вместе на прогулку. События Ak у k-го друга есть при себе зонтик, k = 1, 2, 3. B1 ни у кого нет зонтика; B2 у одного есть зонтик.

4.Три фирмы взяли в банке кредит. События Ak k-ая фирма вернет кредит в срок, k = 1, 2, 3. B1 не менее двух фирм вернут кредит в срок; B2 одна фирма вернет кредит в срок.

5.Человек купил три лотерейных билета. События Ak k-ый билет выигрышный, k = 1, 2, 3. B1 один билет окажется выигрышным; B2 менее трех билетов окажутся выигрышными.

6.Налоговая инспекция проверила три предприятия. События Ak k-ое предприятие неправильно уплатило налоги, k = 1, 2, 3. B1 обнаружено не более одного наруше- íèÿ; B2 обнаружено не более двух нарушений.

7.В магазин зашло три покупателя. События Ak k-ый покупатель совершит покупку, k = 1, 2, 3. B1 ни один не сделает покупки; B2 хотя бы два сделают покупки.

8.В автопарке три грузовых автомобиля. События Ak k-ый автомобиль сломается в течении месяца , k = 1, 2, 3. B1 все три останутся исправными; B2 âñå òðè окажутся в ремонте.

9.В экзаменационном билете три вопроса. Студент отвечает по одному билету. События Ak студент отвечает на k-ый вопрос, k = 1, 2, 3. B1 студент ответил не менее чем на два вопроса; B2 студент ответил на все вопросы.

10.На пульте прибора имеются три кнопки. События Ak выйдет из строя k-ая кнопка, k = 1, 2, 3. B1 хотя бы одна кнопка будет в рабочем состоянии; B2 все кнопки будут исправны.

11 20. Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы полной вероятности и Бейеса.

11.Имеется три партии деталей: в первой партии 15% бракованных деталей, во второй партии 5%, а в третьей все детали годные. Наудачу извлечена одна деталь из наудачу взятой партии. Найти вероятность того, что извлечена бракованная деталь.

12.Наборщик пользуется двумя кассами. В первой кассе 95%, а во второй 97% отлич- ного шрифта. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная литера из наудачу взятого шрифта окажется с дефектом.

1

13.В каждой из двух урн содержится 3 черных и 6 белых шаров. Из II урны наудачу извлечен один шар и переложен в I урну, после чего из I урны наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из I урны, окажется белым.

14.Имеются две урны. В I урне содержится 2 черных и 8 белых шаров, во II урне 8 черных и 2 белых шара. Из I урны наудачу извлечен один шар и переложен во II урну, после чего из II урны наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из II урны, окажется белым.

15.Две машинистки напечатали одинаковое число страниц. Вероятность того, что первая машинистка допустит ошибку равна 0,06, для второй машинистки эта вероятность равна 0,07. При сверке текста обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая машинистка.

16.Кинескоп, поставленный в телевизор, может принадлежать к одной из трех партий с вероятностью p1 = 0,25, p2 = 0,5, p3 = 0,25. Вероятность того, что кинескоп проработает определенное количество часов равна для этих партий соответственно 0, !75; 0, !85; 0, !95. Определить вероятность того, что кинескоп проработает заданное число часов.

17.Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0, !2; 0, !3; 0, !5 к одному из трех типов, для которых вероятность срабатывания при нарушении нормального режима работы линии равна соответственно 1; 0, !75; 0, !6. От индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего принадлежит индикатор?

18.Два автомата изготавливают детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором 0,08. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартная.

19.На базе имеются электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлены первым заводом, а 40% вторым. Известно, что из 100 лампочек, изготовленных первым заводом, 90 соответствуют стандарту, а из 100 штук, изготовленных вторым заводом, соответствуют стандарту 80. Определить вероятность того, что лампочка, наудачу взятая с базы, будет соответствовать стандарту.

20.Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго 0,6, для третьего 0,9. Найти вероятность того, что выстрел произвел второй стрелок.

21 30. Задачи на повторные независимые испытания.

21.В магазин вошли n покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого из них p = 0,1. Пусть m число покупателей, совершивших покупку. Найти вероятности P (k1 < m < k2), P (k1 ≤ m), P (m ≤ k2):

а) по формуле Бернулли при n = 8; k1 = 1; k2 = 3;

б) по формуле Лапласа при n = 100; k1 = 5; k2 = 20.

2

22.Для освещения магазина используется n электрических лампочек. Вероятность перегореть в течении года для каждой лампочки p = 0,4. Пусть m число перегоревших

âтечении года лампочек. Найти вероятности P (k1 ≤ m < k2), P (k1 < m), P (m ≤ k2):

а) по формуле Бернулли при n = 6; k1 = 2; k2 = 4;

б) по формуле Лапласа при n = 600; k1 = 200; k2 = 300.

23.В парке посажено n молодых деревьев. Вероятность того, что дерево приживется, p = 0,8. Пусть m число прижившихся деревьев. Найти вероятности P (k1 < m ≤ k2), P (k1 ≤ m), P (m < k2):

а) по формуле Бернулли при n = 7; k1 = 4; k2 = 6;

б) по формуле Лапласа при n = 400; k1 = 300; k2 = 350.

24.В соревнованиях по ловле рыбы участвуют n рыбаков. Вероятность поймать рыбу для каждого рыбака p = 0,3. Пусть m число рыбаков, поймавших рыбу. Найти вероятности P (k1 ≤ m ≤ k2), P (k1 < m), P (m < k2):

а) по формуле Бернулли при n = 6; k1 = 3; k2 = 5;

б) по формуле Лапласа при n = 120; k1 = 90; k2 = 100.

25.Банк выдал кредит n предприятиям. Вероятность своевременного возвращения кредита p = 0,8. Пусть m число предприятий вернувших деньги вовремя. Найти вероятности P (k1 ≤ m < k2), P (k1 ≤ m), P (m < k2):

а) по формуле Бернулли при n = 5; k1 = 2; k2 = 4;

б) по формуле Лапласа при n = 100; k1 = 60; k2 = 90.

26.Монета брошена n раз. Вероятность выпадения орла p = 0,5. Пусть m число выпаданий орла. Найти вероятности P (k1 ≤ m ≤ k2), P (k1 ≤ m), P (m ≤ k2):

а) по формуле Бернулли при n = 6; k1 = 3; k2 = 5;

б) по формуле Лапласа при n = 84; k1 = 50; k2 = 60.

27.Торговой сетью продано n телевизоров. Вероятность того, что телевизор выйдет из строя в течении гарантийного срока, p = 0,2. Пусть m число телевизоров, требующих гарантийного ремонта. Найти вероятности P (k1 < m ≤ k2), P (k1 < m),

P (m ≤ k2):

а) по формуле Бернулли при n = 7; k1 = 2; k2 = 4;

б) по формуле Лапласа при n = 100; k1 = 15; k2 = 30.

28.Контролер проверяет партию из n деталей. Вероятность того, что деталь соответствует стандарту, p = 0,6. Пусть m число стандартных деталей. Найти вероятности

P (k1 ≤ m < k2), P (k1 ≤ m), P (m < k2):

а) по формуле Бернулли при n = 6; k1 = 1; k2 = 4;

б) по формуле Лапласа при n = 225; k1 = 130; k2 = 160.

29.Налоговая инспекция проверяет n юридических лиц. По статистике вероятность неуплаты налогов p = 0,4. Пусть m число юридических лиц, не уплативших налоги, из числа проверенных. Найти вероятности P (k1 < m < k2), P (k1 < m), P (m < k2):

3

а) по формуле Бернулли при n = 5; k1 = 1; k2 = 3;

б) по формуле Лапласа при n = 216; k1 = 80; k2 = 120.

30.Машинистка должна напечатать n страниц текста. Вероятность того, что на странице будет обнаружена ошибка, p = 0,2. Пусть m число страниц с ошибками. Найти вероятности P (k1 ≤ m ≤ k2), P (k1 ≤ m), P (m ≤ k2):

а) по формуле Бернулли при n = 7; k1 = 1; k2 = 4; б) по формуле Лапласа при n = 100; k1 = 15; k2 = 30.

31 40. Вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин.

1.Кафе обслуживают четыре автоматические установки. Каждая из них в течении дня может выйти из строя с вероятностью p = 0,3. Пусть x число установок, проработавших до конца дня. Составить ряд распределения случайной величины X. Найти M(X), D(X).

32.Ткачиха обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течении часа станок не потребует внимания ткачихи, равна для первого станка 0,7, для второго 0,7, для третьего 0,8, для четвертого 0,8. Пусть x число станков, не потребо-

вавших внимания ткачихи в течении часа. Составить ряд распределения случайной величины X. Найти M(X), D(X).

33.Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Пусть x число выстрелов, произведенных охотником. Составить ряд распределения слу- чайной величины X. Найти M(X), D(X).

34.Из четырех одинаково упакованных ящиков только один содержит изделие нужного вида. Ящики вскрывают один за другим до обнаружения нужного изделия. Пусть x число вскрытых ящиков. Составить ряд распределения случайной величины X. Найти M(X), D(X).

35.В партии из 20 радиоприемников имеется два неисправных. Для проверки случайным образом отбираются три приемника. Пусть x число исправных приемников среди трех отобранных. Составить ряд распределения случайной величины X. Найти

M(X), D(X).

36.Студент записан в четыре библиотеки. Вероятность того, что в какой-то из библиотек свободна необходимая студенту книга, равна 0,4. Пусть x число библиотек, которые посетит студент. Составить ряд распределения случайной величины X. Найти M(X),

D(X).

37.Партия из 50 изделий содержит 5 бракованных. Из партии наугад взято 3 изделия. Пусть x число бракованных изделий среди трех взятых. Составить ряд распределения случайной величины X. Найти M(X), D(X).

38.Вероятность брака в данной партии деталей p = 0,2. Пусть x число бракованных

изделий среди трех, выбранных из партии наугад. Составить ряд распределения случайной величины X. Найти M(X), D(X).

4

39.Батарея состоит из трех орудий. Вероятности попадания из первого, второго и третьего орудия равны соответственно 0,6, 0,7 и 0,9. Каждое орудие стреляет по цели один раз. Пусть x число попаданий в мишень. Составить ряд распределения слу- чайной величины X. Найти M(X), D(X).

40.Три баскетболиста должны произвести по одному броску мяча. Вероятности попадания мяча в корзину для первого, второго и третьего баскетболиста равны соответственно 0,95, 0,85 и 0,7. Пусть x число попаданий мяча в корзину. Составить ряд распределения случайной величины X. Найти M(X), D(X).

41 50. Найти c, M(X), D(X), F (x), P (x1 < x < x2) для заданной плотности распределения случайной величины ϕ(x).

1.2Контрольная работа 2

51 60. По заданному распределению выборки найти выборочную среднюю x¯, выборочную дисперсия Dв и выборочное среднее квадратическое отклонение S. Считая, что исследуемый количественный признак является непрерывной нормально распределенной величиной, с неизвестными параметрами a и σ:

а) составить дифференциальную функцию теоретического распределения генеральной совокупности на основе найденных параметров выборки;

б) найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a с надежностью γ = 0,95.

51.На ферме произвели замеры жирности молока от разных коров. xi содержание жира в пробах (%); ni количество проб с жирностью xi:

5

59. xi контролируемый размер изделий, изготовленных станком-автоматом, см; ni количество изделий размера xi:

6

60.На сыродельном заводе взвесили 100 единиц готовой продукции (головок сыра) одного сорта. xi вес головки сыра, êã; ni количество головок веса xi:

61 70. Найти выборочное уравнение регрессии и коэффициент корреляции r.

Построить на координатной плоскости прямую линию регрессии и нанести результаты наблюдений из корреляционной таблицы в виде диаграммы рассеяния (x; y¯x).

7

8

71 80. Используя критерий Пирсона при уровне значимости α, проверить ги-

потезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические (ni) и теоретические (n0i) частоты.

9