DKR_MatAn_2_semestr_2014
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Московский технический университет связи и информатики
Ю.Л.Александров, Н.П.Андреева, Р.В. Арутюнян, А.В.Куприн, А.Р.Лакерник, А.М. Райцин
СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ ПО ТЕМАМ
по темам
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Москва 2013
План УМД 2013/2014 уч. г.
СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ ПО ТЕМАМ
по темам
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Составители: Ю.Л.Александров Н.П.Андреева Р.В. Арутюнян А.В.Куприн А.Р. Лакерник А.М. Райцин
Утверждено Советом ОТФ-1 |
Протокол № от |
Отв. редактор Р.В.Арутюнян, к.ф.-м.н., профессор
Рецензент: Данилов В.Г., доктор физ.мат. наук, профессор
СОДЕРЖАНИЕ
1.Варианты контрольных заданий по темам:
Определенные и несобственные интегралам. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля……………………… …………………………......4
2.Решение типового варианта………………………………………………..49
3.Варианты контрольных заданий по дифференциальным уравнения……67
4.Решение типового варианта………………………………………………..97
3
1.Варианты контрольных заданий по темам: Определенные и несобственные интегралам.
Вариант 1. Часть 1.
I. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
1. |
∫1 |
|
|
ex dx |
|
; |
2. ∫2 (3x + 2)ln xdx; |
3. ∫2 cos4 x sin3 xdx; |
4. ∫3 |
|
|
dx |
; 5. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
−6x +5 |
||||||||
|
e |
x −x |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
+ e |
1 |
|
0 |
2 |
|
|
||||||
∞ |
|
dx |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8 + x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
−∫∞ |
|
; 6. ∫0 |
8 − x dx; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
II. Геометрические приложения определенных интегралов. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
y = 2 x −1, y = x −1. |
|
|
|
|
|
|
2.Внутри окружности ρ = 6cosφ и одновременно вне лемнискаты ρ2 =9cos2φ. Вычислить длинудуги кривой:
3.Вычислить длину дуги кривой x2 + y2 =17, расположенной внутри ветвей
гиперболы xy = 4 .
4. ρ = cos1ϕ , 0 ≤ϕ ≤ π3 .
Часть 2.
Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для
D
областиD : y = 4 − x2 , y = 3x, x ≥ 0.
2. Найти массу неоднородной пластины D : y2 = x, x =3, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x.
3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2y = 0, x − y ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : x = 6(y2 + z2 ), y2 + z2 =3, x = 0.
5.Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область V : y2 = x2 + z2 , y = 4.
6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 =9x, x = y, x + y = 2 .
4
7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):
∫ |
3 y2 |
(x2 |
− 2)dx + |
x2 |
(1+ xy)dy, где L −контур треугольника |
ABC : A(1;1), |
|
||||||
L |
4 |
|
2 |
|
|
|
B(2;2), C (1;3). |
|
|
8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − 2y2 + 2z2 =1 в точке M (1,1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz.
9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F =(−x − y)i + zk .
Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.
10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =3xi +(y + z) j +(x − z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x +3y + z =3 и координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию |
||||||||||
векторного поля |
F |
= (x − y)i |
+ (2x + y) j + (x2 + 2z + 4)k |
по контуру |
||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
,. |
|
|
L : |
x |
|
+ y |
|
= (z + 2) |
|
|
|
||
|
z = −4 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 2. Часть 1.
Определенные и несобственные интегралам.
I. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
1 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
3 |
|
1+ x2 |
1 |
|
|
|
|
4 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
1. |
∫ |
|
|
|
|
; |
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx; |
3. ∫ |
3 − 2x + x |
|
dx; |
4. ∫tg |
|
xdx; |
||||
x |
2 |
+3x |
+ 2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
∞ |
lnxxdx2 ; |
|
4 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
∫1 |
6. ∫2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
1.y = 2ln x, y = ln(x + 2), x = 4.
2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно внутри окружности ρ =1. Вычислить длинудуги кривой:
3.(12)ch2x , y ≤ ( 12)ch 6.y =
4. |
x = cos2t, |
0 ≤t ≤ |
π |
. |
|
|
|
||||
24 |
|||||
|
y =sin 2t, |
|
|
5
Часть 2.
Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области
D
D : x2 = 2y, 5x − 2y −6 = 0.
2.Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 0, x + y =1, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2.
3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2x = 0, x + y ≤ 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : y =3x2 + z2 , x2 + z2 =36, y = 0.
5. |
Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , |
занимающего область V : x = y2 + z2 , x = 2. |
|
6. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 = 5, |
z ≥ x2 + y2 +1. |
|
7. |
Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина): |
∫(xy + x + y)dx +(xy + x − y)dy , где L −парабола y = x2 и хорда y = 4. |
|
L |
|
8. |
Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − y2 + 2z2 = 2 в точке |
M (1,−1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси
Oz .
9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = ez (i − j +(x − y)k ).
Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.
10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(3x −1)i +(y − x + z) j + 4zk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x − y − 2z = 2 и
координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию
векторного поля |
F = (3x + 2y)i + (5x − 2y) j + (3z − y2 −3)k по контуру |
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
,. |
L : x |
|
+ y |
|
= (z −1) |
|
||
z = 3 |
|
|
|
|
|
6
Вариант 3. Часть 1.
Определенные и несобственные интегралам.
I. Вычислить интегралы:
|
2 |
2x −1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
x2 + 4 |
|
|
|
|
π |
|
xsin xdx |
|
|
3 |
|
x |
|
|||||||
1. |
∫ |
|
dx; |
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
3. ∫ |
|
|
|
|
|
; |
4. ∫ xarctg |
|
dx; |
|||||||
2x +1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
1 |
+ cos |
2 |
x |
4 |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
∞∫ |
dx |
|
|
−1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
|
; 6. |
|
∫4 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
(1+ x) x |
|
|
− |
1 x 2x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
1. y = arctg x и прямая, проходящая через начало координат и через точку с абсциссой x =1 на заданной линии.
2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно вне кардиоидыρ =3(1−cosφ). Вычислить длинудуги кривой:
3.y = e2x +12, (12)ln3 ≤ x ≤ (12)ln 24.
|
a |
|
0 ≤ϕ ≤π. |
4. |
ρ = cos3 (ϕ3 ),a > 0 |
, |
Часть 2.
Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области
D
D : x= 8 − y2 , y ≥ 0, y ≤ x.
2. Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 0, 2x +3y = 6, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= y2 2 .
3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2y = 0, x − y ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : x = 7(y2 + z2 ), x = 28.
5.Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy ,
занимающего область V : y2 = x2 + z2 , y = 2.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 − 4y2 , z = 0, x = 4. 7
7. |
Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина): |
∫(2y + y2 )dx +(y2 + 2xy)dy, где L : x2 + y2 = R2. |
|
L |
|
8. |
Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 + 2y2 − 2z2 =1 в точке |
M (1,1,−1), составляющую острый угол с положительным направлением оси
Oz .
9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = ex (−yj + zk ).
Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.
10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F = xi +(x + z) j +(y + z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 3x +3y + z = 3 и
координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию
векторного поля |
F = (3x − 4y)i + (3y − x) j + (xy − 2z + 4)k по контуру |
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
, . |
L : x |
|
+ y |
|
= (z − 2) |
|
||
z = 4 |
|
|
|
|
|
Вариант 4. Часть 1.
Определенные и несобственные интегралам.
I. Вычислить интегралы:
1. |
∫3 |
|
|
|
|
dx |
|
; |
|
2. ∫1 arccos xdx; |
3. ∫4 |
|
dx |
|
|
; |
4. |
π∫ |
dx |
; |
|||||
|
x |
2 |
− 2x |
−8 |
|
|
|
|
3 + 2cos x |
||||||||||||||||
|
1+ |
x |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2/3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
−∫∞ |
|
|
|
|
; |
6. |
1/3∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 − 4x + 7 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
1.x = 4, y = ln x и касательная к этой линии в точке её пересечения с осьюOx .
2.Внутри окружности ρ = 6cosφ и одновременно внутри лемнискаты
ρ2 =9cos2φ.
Вычислить длинудуги кривой:
3. y = |
1 |
ln |
ex −e−x |
, |
(1 4)ln 2 ≤ x ≤ (1 4)ln5 . |
|
2 |
ex + e−x |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
8 |
x = et (cost +sint),
4.y = et (cost −sint), 0 ≤ t ≤π.
Часть 2.
Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области
D
D : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤1, y = lnx.
2.Найти массу неоднородной пластины D : x2 + y2 = 4x, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 4 − x.
3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x = 0,
x + y ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. |
Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область |
|
V : z = 2 x2 + y2 , z =8. |
|
|
5. |
Найти момент инерции однородного тела относительно оси |
Ox , |
занимающего область V : x = y2 + z2 , x =9. |
|
|
6. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 =1, |
x2 + y2 = 4, |
z = 0, z = 5 − x. |
|
|
7. |
Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина): |
|
∫(y − x2 )dx −(x + y2 )dy, L : x2 + y2 = R2 , (x ≥ 0, y ≥ 0). |
|
|
L |
|
|
8. |
Найти единичный вектор нормали к поверхности 2x2 − 4y2 + 4z =8 в точке |
M (2,1,1),составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz . 9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = y2 z(yzi +3xzj + 2xyk ).
Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.
10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса)
поток векторного поля F =(x + z)i +(z − x) j +(x + 2y + z)k |
через внешнюю |
||||||||
поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + y + z = 2 |
и |
||||||||
координатными плоскостями. |
|
|
|||||||
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) |
циркуляцию |
||||||||
векторного поля |
F = (−x − 2y)i + (x + 2y) j + (3z − 2xy +9)k |
по контуру |
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
L : x |
|
+ y |
|
= (z +3) |
|
, |
|
|
|
z = −1. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
Вариант 5. Часть 1.
Определенные и несобственные интегралам.
I. Вычислить интегралы:
π
3dx
1.π∫cos2 x sin4 x;
5. ∫5 |
|
dx; 6. |
5 + x |
||
0 |
5 − x |
2.
∞∫e−
0
2 |
dx |
|
∫1 |
|
; |
x2 + x |
x dx. x
3. ∫1 x3e2xdx; 4. ∫9 x 31− xdx;
0 |
1 |
II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
1.y = e−x , y = e−2x − 2, x = 0.
2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно внутриокружности ρ = 3sinφ. Вычислить длинудуги кривой:
3.Вычислить длину дуги всей кривой y = ln(1− x2 ), которая расположена выше прямой y = ln3 − 2ln 2 .
4. ρ = asin4 ϕ4 , a > 0.
|
Часть 2. |
|
Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля. |
1. |
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле |
|
∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x2 = 2 − y, x + y = 0. |
|
D |
2. |
Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y =1, y = x, если |
поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2 + 2y2. |
|
3. |
Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x ≥ 0, |
x2 + y2 + 2y ≤ 0, x ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные
координаты.
4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : z = 5(x2 + y2 ), x2 + y2 = 2, z = 0.
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область V : x2 = y2 + z2 , x = 2.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: |
z2 = 4x, |
x + y = 2, y = 0. |
7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина): |
||
∫ xydx + 2xy2dy , где L − контур треугольника ABC : |
A(1;0), |
B(0;1), C (0;0). |
L |
|
|
10 |
|
|