Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

.pdf

Скачиваний:

678

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

3.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2719 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

6.Ðÿäû

2.Пусть функция y = f (x) нечетная, тогда (функция cos nx четная) согласно выводам разд. 10.5,

f (x)cosnxd x= 0, n = 0, 1, 2, ...,

p ò

14243

–π

нечетная

f (x )sinnxd x=

f (x)sinnxd x, n = 1, 2, 3, ...,

p ò

14243

–π

четная

по тем же причинам.

	a0	∞
Таким образом, в формуле f (x) ~		+ å(an cosnx + bn sinnx) äëÿ

2		n=1
четной функции bn = 0 , т.е. четная функция раскладывается только по

четным функциям cos nx; для нечетной функции an = 0 , т.е. нечетная функция раскладывается только по нечетным функциям sin nx.

	Примеры.
y	1. Разложить в ряд Фурье на отрезке
	[-p,p] функцию y = x (рис. 87).
	Ð å ø å í è å
	Эта функция вообще не является периоди-
0	ческой, поэтому рассмотрим новую периоди-
0	x ческую (с периодом 2p ) функцию f (x), которая
	,
	на отрезке [-p p] совпадает с данной (рис. 88).
	Значения функции в точках разрыва пер-
Ðèñ. 87	вого рода ±p, ± 3p, ± 5p,... можно взять любы-
	ми. Эта функция удовлетворяет всем услови-

ям нашей теоремы (T = 2p , возрастает на отрезке [-p,p] , разрывы первого рода в точках ±p ), следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье. Но при x О (– p,p) она совпадает с данной функцией y = x , тогда для x О (– p,p) получим разложение функции y = x .

y
–4π –3π –2π –π 0	π	2π 3π 4π	x
Ðèñ. 88

18. Ряды Фурье

Наша функция нечетная, значит,

= 0, n= 0, 1, 2,...; b

xsinnxd x; sinnxd x= dvÞ v= – 1 cosnxÞ

p ò{14243

0 u dv

= –

xcosnx

cosnxd x= –

pcospn +

sinnx

= (–1)n+1

pn 123

pn2

14243

∞

(–1)n

n = 1, 2, ..., Þ f (x) ~ å(-1)n+1 2 sin nx.

n=1

При этом согласно теореме 18.1 сумма ряда равна f (x) в точках непре-

рывности f, т.е. при x ¹ ±p, ± 3p, ± 5p,... , и

f ( x – 0)+ f (x+0)

p+( – p)

=0 â åå

точках разрыва ±p, ± 3p, ± 5p,... (что, впрочем, видно и из самого ряда), тог-

∞

да для x О(-p,p) выполняется равенство

f (x) = x = å(-1)n+1 2 sinnx.

n=1

Замечание. Положим, что в последнем равенстве

x = p , тогда

∞

= å(–1)

n+1 2

sin

= 2

ê1–

–

+...ú

;

n=1

123

=0,±1

отсюда имеем один из способов приближенного нахождения ч ислаp :

p= 4æç1- 13 + 51 - 17 + ...ö÷.

èø

2. Разложить функцию (рис. 89)		yó
ì1,	0 £ x < p
ï	2
y = f (x) = í	p < x £ p
ï0,		1
ï0,		1
ï	2
î	2
в ряд Фурье на отрезке [0,p] только
по косинусам (значение функции в
по косинусам (значение функции в		0	pπ/22
p				p	x	õ
p				π	x	õ
точке разрыва 2 произвольно).				Ðèñ. 89
Рассмотрим новую четную пе-
риодическую (T = 2p ) функцию f1(x) , совпадающую на отрезке [0,p]						ñ

данной (сначала отражаем исходный график относительно ос и y0, а потом продолжаем периодически полученный график) (рис. 90).

Так как эта функция четная, то bn = 0, n = 1,2,... ,

360

361

6. Ðÿäû

yó

–π p

33p

p2π

–

-–

Ðèñ. 90

æ π

f (x)cosnxd x=

f (x)cosnx d x=

f (x)cosnxd x+

f (x)cosnxd x ÷

p ò

14243

–π

четная

ç 0

2 1

ò1×cosnxd x=

òcosnxd (nx)=

sinnx

sin

2 , n=1, 2, ...;

æ π

2 p

2ç

a0 =

ò f (x)d x=

ò f (x)d x+ò f

(x)d x ÷ =

òd x=

=1,

следовательно,

ç 0

p(2k+1)

f 1( x) ~

× sin

×cos(nx)=

+å

sin

cos((2k

+1) x).

p(2k+1)

n=1

123

k=0

ïðè n=2k

По формуле приведения находим:

p(2k +1)

æ p

sin

= sinç

+ pk ÷ = cos(pk) = (-1) ,

k = 0, 1, 2...

В соответствии с теоремой 18.1 функция f (x) будет равна сумме ряда Фу-

ðüå ïðè x Î[0,p] ,

x ¹ p . В точке

эта сумма будет равна

1. Åñëè ïîëî-

æ p

æèòü, ÷òî

, то равенство будет верно для всех x О[0,p]:

÷ =

è 2

2 ¥

( –1)k

f 1( x) =

cos ((2k+ 1) x).

(2k+1)

k=0

18. Ряды Фурье

Замечание. Докажем, что для периодической функции с периодом T

a+T

b+T

справедливо равенство

ò f (x)dx = ò

f (x)dx для любых а и b, т.е. ин-

тегралы по любым отрезкам длиной в период совпадают:

a+T

b+T

a+T

b+T

ò f ( x) d x=ò f ( x) d x+ ò f ( x) d x+ ò f ( x) d x =ò f ( x) d x+ ò f ( x) d x+

b+T

14243

x=t+T, t=x–T

b+T

f (t+T) dt=

f (x) d x+

f (x) d x –

(x)d x=

f (x)d x.

14243

= f (t)

Íî

f (x)cos(nx) d x , b

f (x)sin(nx) d x ,

p ò

1424443

144243

–π периодическая

T = 2π

следовательно, при вычислении коэффициентов Фурье перио дической (T = 2p ) функции интегралы можно брать не обязательно от −π äî π , а по любому отрезку длиной 2 π (иногда удобнее, например, от 0 до 2 π .)

18.3. Тригонометрический ряд Фурье для функции с произвольным периодом 2l. Ряд Фурье в комплексной форме

Пусть y = f (x) – периодическая функция с периодом 2l. Сделаем

заменупеременной: t = x p Þ x = t

(åñëè

-l £ x £ l, òî -p £ t £ p, ò.å.ïðè

нашей замене [– l, l ] переходит в

[-p, p] ). Тогда y = f (x) = f зæ

÷ö

= g (t) –

некоторая функция от t;

è p

æ l

ö T=2l

æ l

g (t+

2p)= f ç

(t+ 2p)÷= f ç

t+2l ÷

= f ç

t÷= g(t)Þ

è p

g(t) – периодическая функция с периодом уже 2 p .

Пусть g(t) такова, что ее можно разложить в ряд Фурье:

∞

pnx

pnx ö

f (x) = g(t) =

+ å(an cosnt + bn sin nt) =

+ åçan cos

+ bn sin

÷,

n=1

ãäå

362

363

6. Ðÿäû

		π
1	π	t=l	x	1 l		pnx p		1 l		pnx
an = p	ò g(t)cosntdt	=		p	ò f (x)cos	l	× l	dx = l	ò f (x)cos	l	dx, n = 0,1,2...;
	−π				−l				−l

π	t= π x	l
bn = 1p ò g(t)sinntdt	l	1p ò f (x)sin
bn = 1p ò g(t)sinntdt	=	1p ò f (x)sin
−π		−l
Следовательно,
		a0	∞ æ
f (x) =			+ åçan
f (x) =		2	+ åçan
		2	n=1è

ãäå

pnx		p		1 l			pnx
l		× l	dx = l ò		f (x)sin		l	dx, n = 1,2...
				−l
cos	pnx			+ bn sin	pnx ö	,		(18.6)
cos				+ bn sin	÷	,		(18.6)
		l			l ø

an = 1l −òll f (x)cos pnxl dx,n = 0,1,2..., bn = 1l −òll f (x)sin πnxl dx,n = 1,2..., (18.7)

Легко видеть, что все факты, которые имели место для рядов Ф у- рье периодических функций с периодом 2 π , переносятся и на ряды Фурье периодических функций с произвольным периодом 2l (см. теорему 18.1 о достаточных условиях разложимости функции в ряд Фурье, замечание о коэффициентах Фурье четной или нечетной функций и др.).

Ряд Фурье в комплексной форме

Пусть y = f (x) – периодическая функция с периодом 2 p , абсолютно интегрируемая на отрезке [−π, π]. Сопоставим с ней ряд Фурье:

∞

f (x)~

+ å(an cosnx + bn sin nx).

n=1

Используя формулы cosj =

eiϕ + e−iϕ

, sinj =

eiϕ - e−iϕ

и собирая

коэффициенты при einx è e−inx , имеем

∞

einx

+ e−inx

einx - e−inx ö

f (x)~

+ å

çan

+ bn

n=1

∞

éæ a

b ö

æ a b ö −

+ å

êç

÷einx + ç

÷e

inx ú.

n=1

ëè 2

2i ø

2 2i ø

18. Ряды Фурье

Обозначим

= c ,

bni

= c ,

bni

= c

(çàìå-

2 2i

2 2

−n

тим, кстати, что c–n =

n ). Тогда

c0 =

ò f (x)dx;

2π

−π

(18.5)

cn =

(an - bni)

f (x)cosnxdx -i

ò f (x )sinnxdxú =

ê p

−π

f (x)[cos nx − i sin nx] dx =

f (x)e−inxdx, n = 1, 2, 3,...;

2π

−π

(18.5) 1

é 1

c−n =

(an + bni)

ò f (x)cosnxdx +i

f (x)sinnxdxú

êp −π

−π

òπ

f (x)[cos nx + i sin nx] dx =

òπ

f (x)einxdx, n = 1, 2, 3,...

2π

−π

Объединяя две последние формулы, получаем

∞

f (x)~ å cneinx,

(18.8)

ãäå

n=−∞

(18.9)

cn =

f (x)e−inxdx, n = 0, ± 1, ± 2,...

2π

−π

Это и есть ряд Фурье в комплексной форме. Так как этот ряд п олу- чился путем преобразования обычного ряда Фурье, то на нег о переносится теорема 18.1.

Аналогично если период функции равен 2l, то

			∞			πnx
		f (x)~ å cnei					l ,	(18.10)
ãäå		n=−∞
ãäå
	1	l	−i	πnx				(18.11)
cn =	1	ò f (x)e	−i	l	dx,		n = 0, ± 1, ± 2,...
cn =	2l	ò f (x)e		l	dx,		n = 0, ± 1, ± 2,...
		−l

364

365

6.Ðÿäû

18.4.Средняя квадратичная погрешность. Минимальное свойство коэффициентов Фурье

Пусть {jn(x)}∞n=1 –произвольнаяортонормированнаясистемафун-

кций, а f (x) такова, что ò f 2(x)dx существует.

Рассмотрим TN (x) = ådnjn(x). Как один из вариантов измерения

n=1

близости двух функций рассмотрим интеграл от квадрата их разности.

Определение 18.7. Средней квадратичной погрешностью называется интеграл

(x)ù2dx.

(18.12)

é f (x) -T

ò ë

Преобразуем этот интеграл:

-T (x)ù2 dx =

é f (x)

f 2(x)dx

f (x)T

(x)dx +

T 2 (x)dx =

ò ë

é N

ù2

= ò f 2(x)dx - 2ò f (x)êådnjn

(x)ú dx + ò

êådnjn (x)ú dx =

ën=1

=ò f 2(x)d x – 2ådn × ò f (x)jn(x)d x +ådn2

òj2ndx+

n=1

1442443

123

		cn – коэфф. Фурье f (x)		=1
N	b	b	N	N
+ ådndmòjn(x)jm(x)d x=ò f 2(x)dx – 2ådncn+ådn2 =
n,m=1	a	a	n=1	n=1
n¹m	1442443
	1442443
		=0
	b	N	N
	= ò f 2(x)dx + å(dn - cn )2 - åcn2.
	a	n=1	n=1

Поставим вопросы: при каких коэффициентах dn средняя квадратичная погрешность наименьшая и какой многочлен TN (x) приближа-

18. Ряды Фурье

ет функцию f (x) лучше всего? В правой части последней формулы dn содержится лишь в средней сумме, которая будет наименьшей (и равной 0) при dn = cn . Следовательно, средняя квадратичная погрешность будет наименьшей при dn = cn . Это свойство называется минимальным свойством коэффициентов Фурье.

Пусть dn = cn , SN (x) = åcnjn(x). Тогда из последней формулы

имеем

n=1

(x)ù2 dx =

0 £

é f (x) - S

f 2

(x)dx -

f 2

(x)dx.

ò ë

n=1

N	∞
Но суммы åcn2	являются n-ми частичными суммами ряда åcn2,
n=1	n=1

они не убывают, так как члены ряда неотрицательны и ограничены чис-

b	∞
ëîì ò f 2(x)dx. Следовательно, ряд	åcn2 сходится и его сумма
a	n=1
∞	b
åcn2 £ ò f 2(x)dx.		(18.13)
n=1	a

Это неравенство называется неравенством Бесселя.

Теперь рассмотрим тригонометрический ряд Фурье. Как было отмечено в разд. 18.2, ортонормированной на отрезке [-p, p] в этом слу- чае является система функций

1	,	1	cosnx, n = 1,2,...,	1	sinmx, m = 1,2,...
2p		p		p

Из формул (18.3) следует, что тогда коэффициенты Фурье функции f (x) будут равны

2pa0

pa0

; cn

pan;

pbn, n=1,2,...,

∞

и по формуле (18.13) находим, что

p +

å(an2p + bn2p) £ ò f 2(x)dx. Îò-

n=1

−π

сюда следует неравенство Бесселядля тригонометрического ряда Фурье:

366

367

6. Ðÿäû

2		∞	1	π
	a0	+ å(an2 + bn2) £		f 2(x)dx.	(18.14)
2			p
		n=1		−òπ
Замечание. Можно доказать, что на самом деле в данной формуле мож-
но поставить знак равенства:
2		∞	1	π
	a0	+ å(an2 + bn2) =		f 2(x)dx.	(18.15)
2			p
		n=1		−òπ

Это равенство называется равенством Парсеваля.

18.5. Интеграл Фурье

Пусть y = f (x) – кусочно-монотонная на любом конечном интервале функция, имеющая на нем лишь конечное число точек раз рыва,

причем первого рода, ограниченная на всей прямой и абсолю тно интег-

∞

рируемая на всей прямой, т.е. ò f (x) dx сходится. Тогда согласно до-

−∞

статочным условиям разложимости (см. теорему 18.1), в любом интервале (-l,l) функцию можно разложить в ряд Фурье, т.е. для x О(-l,l)

	a0	∞	æ	pnx		pnx ö
f (x) =		+ åçan cos			+ bn sin		÷,	(18.6)
	2			l		l
		n=1	è				ø

ãäå

1 l		pnt	1 l		pnt
an = l	ò f (t)cos		dt, n = 0,1,2...; bn = l	ò f (t)sin		dt, n = 1, 2,... (18.7)
		l			l
	−l			−l

(вне интервала (-l,l) функцию надо продолжить как периодическую с периодом 2l ; для справедливости равенства (18.6) в точках разрыва фун-

кции f (x) надо положить, что в этих точках f (x) = f (x - 0) + f (x + 0) ). 2

Подставим значение an è bn из (18.7) в формулу (18.6):

f (x) =

ò f (x)dx +

−l

∞

éæ

1 l

f (t)cos

pnt

pnx

æ 1 l

pnt

pnx ù

êç

−òl

dt ÷ cos

+ ç

f (t)sin

dt ÷ sin

ú =

nå=1

êç l

ç l

−òl

l ú

ëè

18. Ряды Фурье

∞

1 l

pnt

pnx

pnt

pnxù

ò f (x)dx +

ò f (t)êcos

× cos

+ sin

× sin

dt =

−l

n=1 l

−l

l û

∞

ò f (x)dx + å

ò f (t)cos pln (t – x)dt.

−l

n=1

−l

Если зафиксировать x, то эта формула верна при всех l > x . Устремим теперь в ней l к бесконечности. Левая часть от l не зависит, значит, ее предел существует и равен ей самой. Следовательно, сущест вует предел

правой части при l ® ¥ и

∞

f (x) = lim

f (x)dx +

f (t)cos

(t - x)dt

ï.

l→∞

ï2l

−l

n=1 l

−l

Íî

lim

(x)dx = lim

lim

f (x)dx = 0×

f (x)d x

= 0Þ

l→∞

l→∞ ò

−l

– ¥

14243

конечное число

∞

1 p

f (x) = llim→∞ å p l

ò f (t)cos l

(t - x)dt.

n=1

−l

Положим, что

a = p

, a

= 2p ,

= 3p

,...,

= a

- a

= p .

n−1

Тогда

∞

f (x) = llim→∞

å p1 ò f (t)cos an (t - x)dt × Dan.

(18.16)

n=1

−l

Далее для простоты изложения приведем лишь наводящие для получения нужной нам формулы соображения. Ряд в правой ча сти этого равенства похож на интегральную сумму для функции g a() =

∞

f (t)cosa(t - x)dt (интегралсходится,таккак

f (t)cosa(t - x)

f (t)

−∞

∞

f (x)

dx также сходится. Отметим здесь, что ряд лишь похож на

−∞

интегральную сумму, так как сама подынтегральная функция в правой части формулы (18.16) зависит от l и несобственный интеграл опреде-

368

369

6. Ðÿäû

ляется как предел собственного интеграла, а не как предел интегральных сумм.

Можно доказать, что при l ® ¥ предел правой части формулы

¥	1		¥		é	¥
(18.16) равен òg(a) d a=			ò		êê	ò f (t)cosa (t–
	p
0			0		ë– ¥
Следовательно,
			¥ é			¥
f (x)=		1		ò	êê	ò f (t)cos a (t–
		p
			0		ë– ¥

x)dtú d a.

	ù
	x)dtú d a.	(18.17)
	ú	(18.17)
	ú
	û

Определение 18.8. Стоящее в правой части этого равенства выражение называется интегралом Фурье для функции f (x).

Равенство (18.17) представляет функцию f (x) в виде ее интеграла Фурье. Оно верно для всех x (мы предположили, что в точках разрыва

f (x) равна	f (x - 0) + f (x + 0)	. Без этого предположения из наших рас-
	2

суждений понятно, что интеграл Фурье равен значению самой функ-

ции f (x) в точках ее непрерывности и				f (x - 0) + f (x + 0)	в точках раз-
				2
рыва функции f (x)).

Теперь преобразуем интеграл (18.17):
f (x) =	1	∞ é	∞	ù
	p	ò ê	ò f (t)(cosat ×cosax + sinat × sin ax)dt úda =
		ê	−∞	ú
		0 ë		û

∞ éæ	1	∞	ö	æ	1	∞	ö	ù
= ò êç		ò	f (t)cosatdt ÷cosax + ç			ò	f (t)sinatdt ÷sin axú da.
êç p		−∞	÷	ç p		−∞	÷	ú
0 ëè			ø	è			ø	û

Обозначим

a(α) = π1	∞	b(α) = π1	∞
a(α) = π1	ò f (t)cosαtdt;	b(α) = π1	ò f (t)sin αtdt	(18.18)
	−∞		−∞

(интегралы в формулах (18.18) сходятся, так как | f (t)cosαt | £ f (t) ,

∞

| f (t)sinat | £ f (t) ; ò | f (t) | dt также сходится). Формулу можно пред-

ставить в виде	−∞

18. Ряды Фурье

∞	[a(α)cosαx + b(α)sin αx]dα.
f (x) = ò	[a(α)cosαx + b(α)sin αx]dα.	(18.19)
0

Здесь видна аналогия с разложением в ряд Фурье, только вме сто параметра n = 0, 1, 2,...взят непрерывно меняющийся параметр a, а ряд (бесконечная сумма) заменен интегралом.

Интеграл Фурье для четных и нечетных функций

1. Пусть f (x) – четная функция, тогда

b(a)=	1	¥	f (t)sinatdt=	1	lim	l	f (t)sinatdt=0
b(a)=	p	ò	f (t)sinatdt=		lim	ò	f (t)sinatdt=0
	p	ò	14243	p l®¥		ò
		–¥	нечетная			–l
						1442443

функция t	0

согласно свойству интеграла от нечетной функции в симметричных пределах. Теперь по свойству интеграла от четной функции в симметричных пределах имеем

é ¥

∞

élim

ù cos

f x =

f (t)cosat dt

ú cos

f (t)cos

tdt

( )

l→∞

a a =

ê ò 14243

ê – ¥

четная

−

0 ë

функция t

2 ∞ é

2 ∞

é∞

êlim

f (t)cosatdt úcosaxda =

p ò

f (t)cosatdt úcosaxda.

êl→∞

Таким образом,

f (x) =

2 ∞ é∞

(18.20)

p ò

f (t)cosatdtú cosaxda.

2. Пусть f (x) – нечетная функция, тогда

a(a)=

f (t)cosatdt=

lim

f (t)cosatdt=0

14243

p l®¥

–¥

нечетная

–l

1442443

функция t	0

согласно свойству интеграла от нечетной функции в симметричных пределах. Теперь вследствие свойства интеграла от четной функции в симметричных пределах имеем

370

371

6. Ðÿäû

∞ é

f (x)=

f (t)sinatdt ú sinaxd a =

êlim

f (t)sinatdt úsinaxda =

−

14243

→∞

ê – ¥

четная

0 ë

функция t

2 ∞ é

2 ∞ é∞

êlim

f (t)sinatdt úsin axda =

p ò

f (t)sin atdt úsinaxda.

êl→∞

Таким образом,

∞ é

∞

f (x) =

ò ê

(18.21)

f (t)sin atdt úsin axda.

0 ë0

Интегралы в правых частях формулы (18.20) и (18.21) – это интегралы Фурье для четных и нечетных функций.

Интеграл Фурье в комплексной форме

Вернемся теперь к формуле (18.17):

¥é ¥

аналогично

предыдущему

f (x)=

f (t)cosa (t – x)dtú da Þ

ë–

14444244443

четная функция a

∞ é

∞

f (x) =

ò ê

f (t)cosa(t - x)dt ú da.

(18.22)

−∞ ê

−∞

ДалеедляM >0

∞

( )

ò f

sina t – x dt

ú d a= 0,

–M

– ∞

14444244443

нечетная функция α

откудапри M ® ¥

∞

0 =

v.p. ò

f (t)sina(t - x)dt úda

(18.23)

−∞

(напомним, что символ v.p. означает главное значение несобственного интеграла).

18. Ряды Фурье

∞ é	∞	ù
Замечание. Интеграл ò ê	ò	f (t)sin a(t - x)dtъda может и расходиться,
−∞ ê−∞		ú
ë		û

он обязан сходиться только в смысле главного значения.

Умножим обе части формулы (18.23) на i и сложим с формулой (18.22):

		∞ é	∞			ù
f (x)=	1	ê	ò	f (t)(cosa(t – x)+isina(t – x))dt		ú da,

	2p ò ê			14444244443		ú
	ê				iα(t –x )	ú
		– ∞	– ∞	= e		û
	ë

∞

где внешний интеграл ò [...] da понимается в смысле главного значе-

−∞

ния (в правой части формулы (18.22) главное значение сходящегося интеграла равно самому этому интегралу, поэтому к правой ча сти формулы (18.22) можно приписать символ v.p.; далее этот символ для краткости записи писать не будем). Таким образом,

	1	∞ é	∞	ù
f (x) =	1	ò ê	ò	f (t)eiα(t −x)dt ú da.	(18.24)
f (x) =	2p	ò ê	ò	f (t)eiα(t −x)dt ú da.	(18.24)
	2p	−∞ ê	−∞	ú
		ë		û

Формула (18.24) дает так называемый интеграл Фурье в комплекс ной форме.

Теперь перепишем эту формулу следующим образом:

	1	∞ é	∞	ù
f (x) =	1	ò ê	ò	f (t)eiαte−iαxdt ú da =
f (x) =	2p	ò ê	ò	f (t)eiαte−iαxdt ú da =
	2p	−∞ ê	−∞	ú
		ë		û

	∞	é		¥			ù		–iαx
	1	ê	1	ò f (t)e	iat		ú		–iαx
=	2p ò	ê	2p	ò f (t)e		dt ú		e		da.	(18.25)
	– ∞ ê			– ¥			ú
	– ∞ ê		144424443				ú
		ê		F(a)			ú
		ë					û

Определение 18.9. Функция

F (a) = 1	∞
F (a) = 1	ò f (x)eiαxdx	(18.26)

2p −∞

называется преобразованием Фурье функции f (x)

372

373

6. Ðÿäû

(интеграл сходится по условию, так как для действительных a и x

eiαx = cosax + i sinax = cos2 ax + sin2 ax = 1Þ| f (x)eiαx | = | f (x) |).

Отметим, что F (α) – комплексное, даже если f (x) действительное (в принципе можно и f (x) брать комплексным). Формула (18.25) тогда имеет вид

f (x) = 1	∞
f (x) = 1	ò F (α)e−iαxdα	(18.27)

2π −∞

(интеграл в этой формуле понимается в смысле главного зна чения).

Определение 18.10. Функция f (x) называется обратным преобразованием Фурье для функции F (α) (по сравнению с формулой (18.26) отличается знак в степени).

Во многих задачах вместо самой функции f (x) удобнее изучать ее преобразование Фурье F (α) , а потом возвращаться обратно к f (x).

374

Ðèñ. 91

VII

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ

19.КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

19.1.Определение и свойства двойного интеграла

По аналогии с определением 10.1 дается определение двойного интеграла. В нем «гладкая кривая» – это кривая, заданная ур авнением r = r (t) , ãäå r′(t) – существует; «кусочно-гладкая кривая» – это кривая, которую можно разбить на конечное число «гладких кри вых»; ди-

аметр ограниченного множества – это верхняя грань расстояний между точ- ками этого множества (рис. 91).

Под словом «область», как и выше, понимается открытое связное множество; если это множество ограничено, то оно вместе со своей границей образует так называемую «замкнутую область».

Определение 19.1. Пусть функция z = f (M ) = f (x,y) определена в замкнутой области (D) плоскости 0xy, ограниченной гладкой или ку- сочно-гладкой кривой. Разобьем эту область сетью (гладких или ку- сочно-гладких) кривых на конечное число замкнутых частей (Di ) с площадями Si (будем считать, что эти площади, равно как и площадь всей области S, существуют). В каждой части разбиения возьмем произвольную точку Mi (Di ) (рис. 92). Составим интегральную сумму

σ = å f (Mi )Si . Обозначим через λ наибольший из диаметров множеств

(Di ).i Если существует предел этих интегральных сумм при λ → 0 , который не зависит от разбиения области (D) на части Di и от выбора

375

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

(Di)

Ðèñ. 92

точек Mi (Di ), то этот предел называется двойным интегралом от фун-

кции z = f (x,y) по области (D) и обозначается òò					f (x,y)dxdy . Таким
образом,		å	(D)
òò	λ→0 λ→0	å		i	i
	f (x,y)dxdy = lim s = lim		f (M		) S	,	(19.1)
(D)		i

если этот предел существует и не зависит от разбиения обл асти на части и от выбора точек в каждой части.

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам обычн ого определенного интеграла:

1. òò af (x,y)dxdy = a òò f (x,y)dxdy, если интеграл справа существу-

(D) (D)

ет (т.е. если существует интеграл справа, то существует интеграл слева и справедливо наше равенство).

òò

(x,y)dxdy

l®0

= lim

a f (M

) S

=a lim

f (M

) S

(D)

1442443

14243

произвольная интегральная

интегральная cумма

сумма для интеграла слева

для интеграла справа

= a òò

f (x,y)dxdy. x

òò

(D)

òò

é f

(x,y) ± f

(x,y)ù dxdy =

(x,y)dxdy ±

(x,y)dxdy,

(D)

если интегралы справа существуют.

19. Кратные интегралы

òò ë 1

,y)± f

l®0 å

é f (x

(x,y)ù dxdy

= lim

[ f

)± f

)]S

(D)

14444244443

произвольная интегральная

сумма для интеграла слева

= lim

å f 1(Mi )Si

± lim

å f 2(Mi )Si

l®0

14243

1442443

интегральная сумма для

первого интеграла справа

второго интеграла справа

= òò

f1(x,y)dxdy ± òò f2(x,y)dxdy. x

(D)

3. Пусть (D) = (D1) È(D2 ) , ãäå (D1) è (D2) не имеют общих внут-

ренних точек (рис. 93). Тогда

òò f (x,y)dxdy = òò

f (x,y)dxdy + òò

f (x,y ) dxdy ,

(D)

(D1)

(D2)

если все эти три интеграла существуют.

¡ Разобьем (D 1) è (D 2) на части

(D 1)

(D 2)

(D 1) è (D 2) с площадями S1 è

S2 , âûáå-

рем произвольные точки M 1

Î(D 1 ) è

M 2 Î(D

2) и рассмотрим произвольные

Ðèñ. 93

интегральные суммы для интегралов

справа: å f (Mi1)Si1

è å f (Mi2)Si2 . Тогда å f (Mi1)Si1

+ å f (Mi2)Si2

является некоторой (не любой!) интегральной суммой для интеграла

слева и

= òò f (x,y)dxdy .

λ→lim0 ê

å f (Mi1)Si1 + å f (Mi2 )Si2 ú

(D)

В то же время λ→lim0 êå f (Mi1)Si1 + å f (Mi2 )Si2 ú

lim

å f (Mi1)Si1 + lim

å f (Mi2 )Si2 = òò f ( x,y) dxdy+ òò f ( x,y) dxdy. x

= λ→0

λ→0

(D1)

(D2)

376

377

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2719 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.20153.35 Mб859V_techenie__964.pdf
#
03.08.2019263.68 Кб6ZADAChI_-_men-t.doc
#
03.05.201517.07 Кб93Zadanie3.doc
#
03.05.2015310.85 Кб26Zadanie_Kratnye_integraly_MTUSI_2013g.pdf
#
03.05.2015237.57 Кб12_posobia_parts_bi1-l-3.pdf
#
03.05.20153.65 Mб678А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс.pdf
#
26.08.20192.11 Mб14Аббревиатура OFDM.doc
#
03.05.2015172.54 Кб7Авто-ген(2ч.).doc
#
03.05.201514.95 Кб49АИМ.docx
#
03.05.201546.23 Кб5Алимкина.docx
#
06.11.20181.39 Mб7Анализ временных и спектральных характеристик....doc