А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

(вектора) x, y, z с такими же координатами, как у точек x, y, z соответственно, то очевидно, что ρ(x,y) = y − x . Тогда

ρ(x,y) = y − x = (y − z ) + (z − x) ≤ y − z + z − x = ρ(z,y) + ρ(x,z).

Определение 12.2. Пусть xО Rn и e > 0. Множество точек таких, что ρ(x,y) < ε, называется n-мерным открытым шаром радиуса e с центром в точке x или e -окрестностью точки x и обозначается U (x;ε) (или U (x) ). Множество U (x;ε) \ {x} называется проколотой

12. Функции нескольких переменных

Определение 12.4. Множество точек в n-мерном пространстве Rn называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором n-мерном шаре.

Определение 12.5. Точка множества называется его внутренней точкой, если у нее существует окрестность, целиком принадлежаща я этому множеству.

Определение 12.6. Множество точек в Rn называется открытым, если все точки этого множества являются внутренними.

Определение 12.7. Точка пространства Rn называется предельной точкой некоторого множества, если в любой ее окрестности содержится точка этого множества, отличная от исходной точки. (З десь под исходной точкой множества можно понимать и бесконечн о удаленную точку, считая за ее окрестность множество точек , та ких, что ρ(x,0) > r , где r > 0 – произвольное число.)

Определение 12.8. Точка пространства Rn называется граничной точкой некоторого множества, если в любой ее окрестности есть как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, этому множеству не принадлежащие. Совокупность всех граничных точ ек множества X называется его границей и обозначается ¶X .

Определение 12.9. Множество точек в Rn называется замкнутым, если оно содержит все точки своей границы.

Определение 12.10. Пусть [a,b] – некоторый отрезок числовой прямой. Всякое отображение x (t) этого отрезка в пространство Rn (т.е. соответствие точкам отрезка точек пространства Rn) можно описать при помощи n числовых функций xi = xi (t), t [a,b], i = 1, 2,..., n. Такое отображение называется непрерывным на [a,b], если на этом отрезке непрерывны все функции xi (t). Любое непрерывное отображение отрезка в n-мерное пространство называется непрерывной кривой в это м пространстве (вместо отрезка [a,b] можно рассматривать и другие множества точек числовой прямой).

Определение 12.11. Множество точек в Rn называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, ц еликом принадлежащей множеству.

Определение 12.12. Открытое связное множество точек пространства Rn называется областью.

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

12.2. Определение, предел и непрерывность функции нескольких переменных

Определение 12.13. Говорят, что задана функция n переменных

y = f (x) = f (x1,x2,...,xn),

если каждому значению x = (x1,x2,...,xn) X , где X – некоторое множество точек пространства Rn, соответствует одно действительное число y. Множество X при этом называется областью определения функции f, а точка x и ее координаты (x1,x2,..., xn) называются аргументами этой функции.

Определение 12.14. Множество точек в (n+1)-мерном про-

странстве {(x1,x2,...,xn,y):(x1,x2,...,xn )Î X, y = f (x1,x2,...,xn)} называют графиком функции y = f (x1,x2,...,xn).

При n = 2 областью определения функции z = f (x,y) является некоторое множество пар (x, y), т.е. некоторое множество точек на плоскости 0xy, а ее графиком является некоторая поверхность, которая пр о- ектируется на плоскость 0xy в область определения функции.

Определение 12.15. Пусть функция y = f (x) задана на множестве X М Rn è x(0) – предельная точка этого множества. Число b называется пределом функции y = f (x) в точке x(0) , если для каждого e > 0 существует такое d > 0 , что для любой точки x О X , для которой 0 < ρ(x, x(0)) < δ, выполняется неравенство f (x) - b < e.

Коротко это определение можно записать следующим образо м:

lim f (x) = b Û "e > 0 $d = d(e) > 0: "x ÎX ,0< r(x,x(0) )< d

x→x(0)

(f (x) - b < e).

Âтерминах окрестностей определение предела функции в то чке можно записать следующим образом.

Определение 12.16. Пусть функция y = f (x) задана на множестве X М Rn è x(0) – предельная точка этого множества. Число b называет-

ся пределом функции y = f (x) в точке x(0) , если для любой окрестнос-

0

ти U (b) точки b существует такая проколотая окрестность U (x(0)) òî÷-

0

êè x(0) , ÷òî äëÿ âñåõ x Î X ÇU (x(0)) выполняется условие f (x)ОU (b).

12. Функции нескольких переменных

Òî åñòü:

В отличие от определения 12.15 определение 12.16 имеет смысл и для бесконечно удаленной точки x(0) .

Определение 12.17. Пусть функция y = f (x) задана на множестве X М Rn и в точке x(0), которая является предельной для этого множества. Эта функция называется непрерывной в точке x(0), åñëè

lim f (x) = f (x0 ) (т.е. предел функции в точке равен значению функ-

x→x(0)

ции в этой точке). Обозначив

Dy = f (x)- f (x0 ), x = (x1,...,xn ), x0 = (x1(0) ,...,xn(0) ), последнее равенство можно также записать в виде

ãäå Dx = Dx12 + ... + Dxn2 , Dxi = xi - xi(0), i =1,2,...,n.

Поскольку определения предела и непрерывности функции н е- скольких переменных по форме дословно совпадают с соотве тствующими определениями для функции одного переменного, то дл я функций нескольких переменных сохраняются (и аналогично доказываются) обычные свойства пределов функций и непрерывных функций (кроме, естественно, тех, для которых существенна упоря доченность точек числовой прямой, типа пределов слева и справа и пределов монотонных функций).

Возникает вопрос: можно ли для вычисления пределов функци й нескольких переменных переходить к пределу по аргумента м по оче- реди, т.е. вычислять так называемые повторные пределы? Прив еденный ниже пример показывает, что в общем случае этого делат ь нельзя.

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

сам же исходный предел вообще не существует. Рассмотрим ч астный слу- чай, а именно будем приближать точку (x, y) к точке (0, 0) по прямой

зависит от k (т.е. от прямой), а предел функции, если он существует, единственен, то это и означает, что данного предела вообще нет.

Отсюда, в частности, следует, что правило Лопиталя к функци ям

нескольких переменных применять нельзя.

0 Рассмотрим еще два примера неопределенностей вида 0 .

Ð å ø å í è å

Р е ш е н и е Во всех точках, кроме начала координат, наша функция непре рывна

согласно теоремам о непрерывных функциях. Докажем, что эт а функция

12. Функции нескольких переменных

откуда по теореме «о двух милиционерах» для функций неско льких переменных получим

Определение 12.18. Функция y = f (x) называется непрерывной

на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точк е этого множества.

Определение 12.19. Функция y = f (x) называется равномерно непрерывной на некотором множестве X Rn , åñëè

ε > 0 δ = δ(ε) > 0: x,x′ X , ρ(x′,x) < δ ( f (x′) − f (x) < ε).

Справедливы следующие утверждения (теоремы 12.2–12.4), аналогичные свойствам функций одного переменного, непрерыв ных на отрезке (эти утверждения либо доказываются аналогично со ответствующим теоремам для функций одного переменного, либо сводят ся к таким теоремам).

Теорема 12.2. Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном

множестве X функция y = f (x) ограничена на этом множестве и в некоторых точках этого множества принимает свои наибольше е

Теорема 12.3. Всякая непрерывная на связном множестве X функция, принимая два каких-либо значения, принимает и любое п ромежуточное значение между ними, т.е. если x(1),x(2) X è Ñ :

f (x(1)) < C < f (x(2) ), òî x(0) X : f (x(0)) = C.

Теорема 12.4 (Кантора). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывна на э том множестве.

12.3. Частные производные. Дифференциал функции

12. Функции нескольких переменных

Таким образом, из существования у функции в некоторой точ ке частных производных следует только ее непрерывность по к аждому аргументу в отдельности, но не следует ее непрерывность к ак функции нескольких переменных (т.е. в смысле определения 12.17).

Далее при сохранении термина «функция нескольких переменных» исключительно для простоты записи будем предполага ть, что число этих переменных n = 2 , т.е. будет рассматриваться функция z = f (x,y) . Случаи, где количество переменных существенно для результата или его доказательства, будут оговариваться о собо.

Определение 12.21. Пусть функция z = f (x,y) определена в окрестности точки M(x,y) и z = f (x + x,y + y) − f (x,y), где x и y достаточно малы (с тем, чтобы точка (x + x,y + y) попадала в выше-

ãäå A = A(x,y) è B = B(x,y) зависят от точки (x,y), но не зависят от при-

Тогда эта функция называется дифференцируемой в точке M(x,y) , а выражение A x + B y – дифференциалом функции и обозначается как dz = df (x,y).

Пример. Найти дифференциал функции z = x2 y. Ð å ø å í è å

Dz = (x + Dx)2(y + Dy)- x2 y = (x2 + 2xDx + Dx2)(y + Dy) - x2y = = x2y + 2xyDx + x2Dy + 2xDxDy + yDx2 + Dx2Dy - x2 y =

= 2xyDx + x2Dy + (2xDy + yDx)Dx + Dx2Dy.

Из этой записи видно, что функция дифференцируема в любой точке (x, y):

Как говорят, дифференциал функции – это главная линейная часть приращения этой функции; «линейная» – так как диффе ренциал

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

является линейной функцией Dx и Dy , «главная» – так как при A(x,y)Ч B(x,y) ¹ 0 и фиксированных x и y в первых двух слагаемых правой части формулы (12.2) Dx и Dy умножаются на постоянные (отлич- ные от 0), а во вторых двух слагаемых – на бесконечно малые a и b .

Теорема 12.5 (необходимое условие дифференцируемости функции). Пусть функция z = f (x,y) дифференцируема в точке M(x,y) . Тогда эта функция непрерывна в точке M(x,y).

¡ Так как функция z = f (x,y) дифференцируема в точке M(x,y), то по формуле (12.2) Dz = ADx + BDy + a Dx + b Dy , откуда

что согласно определению 12.17 и означает непрерывность z = f (x,y)

в точке M. x

Теорема 12.6 (необходимое условие дифференцируемости функции). Пусть функция z = f (x,y) дифференцируема в точке M(x,y) . Тогда

Пример 3 на нахождение частных производных показывает, чт о

âотличие от функций одного переменного из существования частных производных функции в некоторой точке еще не следует дифференцируемость функции в этой точке (функция в этом пример е имеет

âначале координат частные производные, равные 0, но не явля ется дифференцируемой, так как не является непрерывной в этой точке – см. теорему 12.5).

Теорема 12.7 (достаточные условия дифференцируемости функции). Пусть функция z = f (x,y) имеет в окрестности точки M(x,y) частные производные и эти частные производные непрерывны в точке M (как функции нескольких переменных). Тогда функция z = f (x,y) дифференцируема в точке M.

12.Функции нескольких переменных

¡Докажем возможность представления приращения функции z = f (x,y) по формуле (12.2), где A = ¶¶fx , B = ¶¶fy и Dx и Dy достаточно

малы. Для этого преобразуем Dz следующим образом:

Dz = f (x + Dx,y + Dy) - f (x,y) =

= [ f (x + Dx, y + Dy) - f (x,y + Dy)]+ [ f (x,y + Dy) - f (x, y)].

Функцию в первой скобке можно рассматривать как функцию только от x (y – фиксирован), а функцию во второй скобке – как функцию только от y (x – фиксирован). Поэтому к двум этим функциям можем применить теорему 5.4 ( f (b) - f (a) = f ¢(c)(b - a) , где c находится между a и b) по x и y соответственно (все условия теоремы выполнены):

Dz = fx¢(x,y + Dy)(x + Dx - x) + fy¢(x,y)(y + Dy - y) =

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

Итак, для существования dz(x,y) достаточно непрерывности част-

Вернемся к примеру z = x2 y : dz = (x2y)¢x Dx + (x2y)¢y Dy = 2xyDx + x2D y, что уже получили выше.

Ранее мы имели дело только с дифференциалами функции, теп ерь, по определению, дифференциалами независимых переменных x и y назовем их (произвольные) приращения Dx и Dy : dx = Dx, dy = Dy.

Тогда предыдущую формулу можно записать так:

Пример. Пусть z = sin(xy). Найти дифференциал dz (если он существует). Р е ш е н и е

Обе эти функции непрерывны в любой точке (x, y), следовательно, по теореме (12.7) наша функция дифференцируема в любой точке (x, y) и

ти точки (x, y, z) и непрерывности этих частных производных в самой точке (x, y, z)).

Определение 12.22. Функция называется дифференцируемой в некоторой области, если она дифференцируема в каждой точк е этой области.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Вернемся к формуле (12.2), которую перепишем в виде

Dz = dz + aDx + bDy = ¶¶zx Dx + ¶¶zy Dy + a Dx + b Dy.

12. Функции нескольких переменных

Отбрасывая здесь члены более высокого, чем Dx и Dy , порядка малости, получим формулу для приближенных вычислений:

Здесь пока остаются открытыми вопросы о возможности уточ нения полу- ченного результата и об оценке погрешности. Эти вопросы б удут обсуждаться ниже.

12.4. Производные сложной функции

Определение 12.23. По аналогии с функциями одной переменной пусть z = f (u,v), u = j (x,y), v = y (x,y) Ю z = f(j (x,y),y (x,y)). Такая функция z (x, y) называется сложной функцией.

Теорема 12.8. Пусть функции u = j(x,y) и v = y(x,y) имеют в точ- ке M(x,y) частные производные ¶¶ux , ¶¶uy , ¶¶vx , ¶¶vy , а функция z = f (u,v)

дифференцируемавсоответствующейточке (j(x, y),y(x,y)). Тогда сложная функция z = f (j(x,y),y(x,y)) имеет в точке M(x,y) частные про-

¶z ¶z

изводные ¶x , ¶y :

(т.е. сначала дифференцируем функцию z по всем ее аргументам, а потом каждый из них дифференцируем по той переменной, по кот орой ищется производная).

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

Дадим x произвольное приращение Dx (Dy = 0), тогда функции u = j(x,y) и v = y(x,y) получат приращения

Dxu = j(x + Dx,y) - j(x,y) è Dxv = y(x + Dx,y) - y(x,y),

àфункция z = f (u,v) получит приращение Dz = Dxz. Так как функция z = f (u,v) дифференцируема, то

$¶z = lim Dxz = ¶z × ¶u + ¶z × ¶v . ¶x x→0 Dx ¶u ¶x ¶v ¶x

Аналогично для второй формулы. x

Замечание. На примерах можно показать, что для справедливости фор-

12.Функции нескольких переменных

Ðå ø å í è å

этого нужные нам производные.

Мы получили формулу производных сложной функции для слу- чая, когда z зависит от двух аргументов – u и v, а эти аргументы в свою очередь являются функциями двух других аргументов – x и y. Но такие формулы имеют место и при ином количестве переменных.

(сначала дифференцируем z по всем ее аргументам, а потом каждый из них дифференцируем по той переменной, по которой ищетс я производная).

Формула (12.8) доказывается точно так же, как формула (12.6). В частности:

1. Пусть z = f (x,y), x = j(t),y = y(t) Ю z = f (j(t),y(t)) .

Если z = f (x,y) – дифференцируемая функция x и y и существуют

«Прямое» d в отличие от ¶ «круглого» указывает на то, что в данном случае x, y, z – функции одной переменной t .

2. Пусть z = f (x,y) – дифференцируемая функция x и y, при этом y = j(x) (т.е. второй аргумент функции f зависит от первого) имеет про-

215

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

изводную (т.е. дифференцируема). Следовательно, z = f (x,j(x)). Най-

Данная формула называется формулой для вычисления полной произ-

Естественно, к тому же результату придем после подстановки в выражение функции y = ex и последующего нахождения производной по z :

Однако в ряде случаев без формул для производных сложной функции обойтись нельзя.

Пример. Пусть z = j(x2 + y2), где j(u) – дифференцируемая функция. Доказать, что эта функция удовлетворяет уравнению y ¶¶xz = x ¶¶yz .

Ð å ø å í è å

По аналогии с предыдущими формулами при u = x2 + y2 имеем

Два полученных выражения равны, что и доказывает нужное нам утверждение.

216

12. Функции нескольких переменных

Инвариантность формы (полного) дифференциала

Для функций одной переменной свойство инвариантности фо рмы дифференциала (относительно выбора переменных) заключал ось в том, что формула dy = y¢dx верна не только тогда, когда x является независимойпеременной,ноитогда,когда xявляетсяфункцией какой-нибудь другой переменной t. При этом dx = dx(t).

Аналогичное свойство справедливо и для функций нескольких переменных.

Пусть z = f (x,y), x = j(u,v), y = y(u,v) Ю z = f (j(u,v), y(u,v)) и пусть выполнены условия теоремы 12.8 о производных сложной ф ун-

Так как u и v – независимые переменные, то согласно формуле (12.4) можем записать dz в виде

(для существования dz и справедливости этих преобразований доста-

¶z ¶z

точно непрерывности ¶u è ¶v , что и надо дополнительно потребовать;

на самом деле достаточно требовать непрерывности всех пр оизводных в правых частях формул (12.11)).

Таким образом, формула dz = ¶¶zx dx + ¶¶zy dy верна не только тогда,

когда x и y являются независимыми переменными, но и тогда, когда x и y являются функциями каких-то других переменных (например, u и v). При этом dx = dx(u,v), dy = dy(u,v). Это свойство называется инвари-

217

12. Функции нескольких переменных

Определение 12.24. Пусть каждой паре (x, y) из некоторой области D соответствует одно значение z из некоторой области Z такое, что F (x,y,z) = 0. Тогда этим определяется некоторая функция z = z(x,y) с областью определения D, которая называется неявной функцией, заданной уравнением (12.14).

Как найти ¶¶xz = zx¢ , ¶¶yz = zy¢ (в предположении, что эти производ-

ные существуют)?

Подставим в (12.14) z = z(x,y) Ю "(x,y)ОD F (x,y,z(x,y)) º 0 Ю dF ≡ 0. Но в силу инвариантности формы дифференциала (z зависит от x и y)