Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть I.3. Индивидуальная работа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

I. 3. Индивидуальная работа по теме «Ряды»

Теоретические вопросы

Группа А (Базовые вопросы)

1.Сходимость и сумма ряда.

2.Теоремы сравнения.

3.Признаки Даламбера и Коши.

4.Интегральный признак сходимости ряда.

5.Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6.Абсолютная сходимость рядов.

7.Равномерная сходимость ряда. Признак Вейерштрасса.

8.Непрерывность суммы функционального ряда.

9.Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.

10.Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

11.Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.

12.Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

13.Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

14. Разложение по степеням	x	бинома
			1 x .
15. Разложение по степеням	x	функций	e x , cosx , sin x , ln 1 x .

Группа Б (Дополнительные вопросы)

16.Тригонометрические ряды.

17.Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Разложение периодической функции в ряд Фурье.

18.Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

19.Ряд Фурье для функций с «двойной симметрией».

20.	Разложение в	ряд Фурье		непериодических функций и		функций,
	заданных на полупериоде.
21.	Комплексная форма ряда Фурье.
		Теоретические			упражнения
Группа А (Базовые упражнения)

1. Ряды an и		bn	сходятся.		Доказать, что ряд cn	сходится,
	n 1	n 1			n 1
если выполняется условие:			an	cn	bn .

226

Указание.
Использовать неравенства 0 cn an		bn an .

2. Ряд an	an 0 сходится. Доказать, что ряд	an2 тоже сходится.
n 1		n 1

Показать (на примере), что обратное утверждение неверно.

an сходится, и

3. Пусть ряд

lim

. Можно ли утверждать,

n 1

n bn

что ряд bn

тоже сходится?

n 1

1 n

Рассмотреть пример:

n 1

4. Пусть ряд

fn x

сходится равномерно на отрезке

a; b . Доказать,

n 1

что ряд fn x также сходится равномерно на этом отрезке.

n 1

Группа Б (Дополнительные упражнения)

5. Доказать, что

lim

0 , исследовав на сходимость ряд

n 1 n!

6. Привести пример двух рядов an

an 0

bn 0 , для

n 1

которых ряд an bn

сходится, а ряд

an bn

расходится.

n 1

7. Доказать, что если знакопеременный ряд

сходится абсолютно, то

n 1

и ряд

n 1

сходится абсолютно.

n 1

227

8.Доказать, что если ряд сходится абсолютно, то и ряд, полученный из исходного с помощью произвольной перестановки его членов, также сходится абсолютно, причем к той же сумме, что и исходный ряд.

9.Существует ли степенной ряд, для которого верно следующее утверждение:

а) на обоих концах интервала сходимости ряд расходится; б) на одном конце интервала сходимости ряд сходится условно, а на

другом — сходится абсолютно; в) на обоих концах интервала сходимости ряд сходится абсолютно.

Расчетные задания

Группа А (Базовые задания)

Задача 1. Найти сумму ряда.
		(См.: п. I.1.1. Числовой ряд,						сходимость и сумма ряда,
простейшие свойства рядов,							необходимый признак сходимости).
				2							18
1.1				2	.		1.2				18						.

	n2			14 n 48				n2
	n2			14 n 48				n2			13 n 40
	n 9							n 9
				4							36
1.3				4	.		1.4				36					.

	n2			12 n 35				n2
	n2			12 n 35				n2			11 n 28
	n 8							n 8
				6							54
1.5				6		.	1.6				54			.

	n2			10 n 24				n2			9 n	18
	n2			10 n 24				n2			9 n	18
	n 7							n 7
				8							72
1.7				8	.		1.8				72				.

	n2			8 n 15				n2			7 n
	n2			8 n 15				n2			7 n	10
	n 6							n 6
				10							90
1.9				10	.		1.10				90		.

		n	2	6 n 8					n	2	5 n	4
	n 5	n		6 n 8				n 5	n		5 n	4
	n 5							n 5

228

							12
1.11							12		.

			n		2
	n	4	n			4 n 3
	n	4
							16
1.13							16			.

			n		2
	n	0	n			4 n 3
	n	0
							30
1.15							30				.

				n		2	14	n 48
	n	10		n			14	n 48
	n	10
							36
1.17							36				.

			n		2	12 n 35
	n	9	n			12 n 35
	n	9

1.19

n 8

1.21

n 7

1.23

n 5

1.25

n 5

1.27

n 1

1.29

n 0

1.31

n 1

n2 10 n 24

n2 8 n 15

n2 6 n 8

n2 4 n 3

n2 6 n 8

n2 5 n 4

		18
1.12				.

	n2	n
			2
	n 4

1.14 2 36

n 0 n 7 n 10

1.16 2 54

n 9 n 11 n 28

1.18 2 72

n 8 n 9 n 18

1.20

n 7

1.22

n 6

1.24

n 3

1.26

n 3

1.28

n 2

1.30

n 0

n2 7 n 10

n2 5 n 4

	54	.

n2	n 2
n2	n 2
	18	.

n2	n 2
n2	n 2
	36	.

n2	n 2
n2	n 2
	54

n2 5 n 4

229

Указание к выполнению

1.Разложить общий член ряда на элементарные дроби, т.е. представить в виде:

A	B	C
			.
n2 p n q	n a	n b

2.Выписать несколько частичных сумм ряда S1 a1 ; S2 a1 a2 ; так, чтобы было видно, какие слагаемые при этом сокращаются (см.

определение 1.2, формулы (1.2) – (1.3) на стр. 7).

3.	Найти n ю частичную сумму ряда Sn (т.е.	сумму n первых членов
	ряда), сократив соответствующие слагаемые.
4.	Вычислить сумму ряда по формуле: S lim Sn	(см. (1.5) на стр. 7).
	n

Пример выполнения задания.

Найти сумму ряда

5 n 6

n 6

Решение

Разложим общий член ряда

на элементарные

n2 5 n 6

дроби.

Имеем:

n2 5 n 6 n 2 n 3

приводим к общему

n2 5 n 6

n 2

n 3

знаменателю

A n 3 B n 2

приравниваем числители

n 2

n 3

дробей (1)

и (3)

3 A n 3 B n 2

230

при

n 3:

B 3 2

B 3

;

A 2 3

при

n 2 :

A 3 .

Подставляя найденные значения A 1

и B 3 в разложение (2),

получаем:

n2 5

n 6

n 2

n 3

S1 ; S2 ; S3 ; — так,

Выпишем несколько частичных сумм ряда:

чтобы было видно, какие слагаемые при этом сокращаются.

		Так как в нашем случае суммирование начинается с n 6																																		(т.е. можно
считать							a1 a2 a5										0 ), имеем:
																						3				3								3	1						3
S a									из (4) при				n 6 :									3				3								3							3	1 ,
S a									из (4) при				n 6 :																													1 ,
6			6																	6		2			6 3								4								6 2
																				6		2			6 3								4								6 2
											из (4) при n 7 :
S S					a																									3			1			3		3


																	3			3			3				3

7			6			7																								4						5		4
																														4						5		4
											a7												5				4		.
															7 2				7 3				5				4				S6
				3		1						3		1 ,																	S6
				3								3
			5							7			2
			5							7			2

S S					a						из (4) при n 8 :																				3		1			3			3
											из (4) при n 8 :

			7														3			3			3				3

8						8																								5						6		5
																														5						6		5
											a8						2			3			6			.
														8			2	8		3			6				5			S7
				3		1						3		1 ,																S7
				3								3
			6							8			2
			6							8			2

S S					a						из (4) при n 9 :																					3	1				3			3
											из (4) при n 9 :

			8														3			3				3				3

	9					9																								6						7		6
											a9						2				3		7			.
														9			2	9			3		7				6					S8
							3	1					3			1 ,																S8
							3						3
						7						9		2
						7						9		2

231

1 .

lim

Sn .

Вычислим сумму ряда по формуле:

S lim

1 .

Получаем:

lim

n 2

Итак, окончательно получили:

сумма ряда

равна

S 1 .

n2 5 n 6

n 6

Задача 2. Исследовать на сходимость ряд.

(См.:

п. I.1.1. Числовой ряд, сходимость и сумма ряда, простейшие

свойства рядов, необходимый признак сходимости.

п. I.1.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки

сходимости рядов с положительными членами: первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак).

sin2 n

arctg 2 n

2.1

2.2

n 1

arctg n2

ln n

2.3

2.4

n n 1 n 2

3 n7

n 1

2.5

3 sin n

2.6

1 cos n

n ln n

n 1

n 2 cos n

3 sin n

2.7

2.8

2 n2 1

3 n3 n

n 1

n 2

sin2 n

ln n2 3 n

2.9

2.10

n 1

n 2

232

			1 cos n
2.11															.
2.11						n			2			2			.
	n	1				n						2
	n	1
					n ln n
2.13					n ln n										.

					n			2			3
	n	2			n						3
	n	2
			3										n
2.15			3									cos	n	.
2.15														.
	n	1							4 n3
	n	1
			sin2 n
2.17															.
2.17							n			2					.
	n	1					n
	n	1

				2 cos n n
2.19				2 cos n n

												4 n7 5
	n	1										4 n7 5
	n	1
			sin2 2n
2.21															.
2.21								n			2				.
	n	1						n
	n	1
											1
2.23											1


					n2 ln n 3 ln 2 n
	n	2			n2 ln n 3 ln 2 n
	n	2
					arcctg 2 n
2.25					arcctg 2 n										.
2.25															.
	n	1			n n 1
	n	1
			1 sin n
2.27			1 sin n												.
2.27					n n 2										.
	n	1			n n 2
	n	1
							arctg n
2.29							arctg n									.

							n 2 n 2
	n 1

												n3 2
2.31												n3 2					.
2.31					n	2					2 sin n						.
	n	1			n						2 sin n
	n	1

			n cos2 n
2.12			n cos2 n										.
2.12								3	5				.
	n 1				n				5
	n 1
									n2 3
2.14									n2 3						.
2.14		3			2						cos n				.
	n 1	n			2						cos n
	n 1
					ln n
2.16					ln n								.
2.16			3										.
	n 1	n			n 1
		arctg							3 n
2.18		arctg							3 n				.
2.18			n		4			3					.
	n 1		n					3
	n 1
			1 sin n
2.20			1 sin n											.
2.20		n 1 n											2	.
	n 1	n 1 n											2
	n 1
			ln n
2.22			ln n										.

				n5 n
	n 1			n5 n
	n 1
		2 cos n
2.24		2 cos n										.
2.24												.
	n 2				n2				n
	n 2
		2 cos n
2.26		2 cos n											.

		4
		4				n4			1
	n 2					n4			1
		2 sin n
2.28		2 sin n											.

		3
		3			n3				1
	n 2				n3				1
		cos n2
2.30		cos n2								.
2.30		3					n			.
	n 1	n					n

233

пример I.1. – 1 (Исследование рядов на сходимость с использованием определения сходимости, простейших свойств рядов и необходимого признака сходимости), случай 2 а) на стр. 14;

Указание к выполнению

Использовать:

необходимый признак сходимости (теорема 1.4 на стр. 9);

первый признак сравнения (теорема 1.5 на стр. 16).

Вкачестве эталонных рядов (для сравнения с исследуемыми рядами) использовать ряды из приложения 2.

При этом для оценки общего члена ряда применяются

неравенства:
1 cos n 1 ;	1	sin n 1 ;			arctg n		;

			4			2
0 ln n n p	для	любых p 0		и	т.п.

Пример выполнения задания.

(См. также:



пример I.1. - 2 (Исследование рядов на сходимость с помощью первого признака сравнения) на стр. 17.)

Исследовать на сходимость ряд

	3	sin n		1
	3	sin n	.

n ln n
n ln n
n	1

Решение

1. Согласно необходимому признаку сходимости,


 если	lim an 0	, то ряд an расходится;
	n	n 1
		n 1

234


 если же lim	a	0 , то ряд	a	может быть
n	n		n
			n 1
Необходимое условие
сходимости		ряда

как сходящимся, так и расходящимся — требуется дальнейшее исследование сходимости с помощью достаточных признаков (например, по первому признаку сравнения).

Найдем предел общего члена ряда (1):

lim an

3 sin n

lim

n ln n

n n ln n

так как:

3 sin n ограниченная величина при

sin n

;

0 бесконечно малая

при

n .

n ln n

3 sin n

при

n .

n ln n

Таким образом,

lim

— необходимое условие сходимости

ряда выполняется.

sin n

Исследуем

сходимость

ряда

(1)

помощью

ln n

n 1

достаточного признака сходимости — 1-го признака сравнения.

Согласно 1-му признаку сравнения,

если

для рядов

, начиная с некоторого номера

n p ,

n 1

выполняется условие

(2)

235

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015270.85 Кб7форма 5 2012.doc
#
03.05.2015105.47 Кб511Формы и виды кредита(реферат).doc
#
03.05.20153.95 Mб250Франк С.Л. - Введение в философию. - 1993.pdf
#
03.05.2015547.15 Кб60Химия Методичка, 2008.pdf
#
15.12.201857.34 Кб2Ценообр. Форум.doc
#
03.05.20151.44 Mб14Часть I.3. Индивидуальная работа.pdf
#
15.12.2018249.34 Кб4Четверикова-Философия-МУ по вып. контр.-2010.doc
#
03.05.2015531.61 Кб56численные методы 6 вариант.docx
#
03.05.20154.16 Mб104Шарков1.doc
#
25.09.201933.86 Кб4Шпаргалка.docx
#
24.04.2019573.01 Кб10шпора по ал.гем..docx