1. Основные формулы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания.

Комбинации из n элементов по m элементам, которые отличаются или самими элементами, или порядком их следования, называются размещениями. 

Формула размещения:

 

Пусть имеются три буквы А, В и С. Составим всевозможные комбинации только из двух букв: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ. Эти комбинации отличаются друг от друга только расположением букв или самими буквами. 

Пример 1

На третьем курсе изучается 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на один день, если в учебный день разрешается проводить занятия только по четырем разным предметам? 

Решение  Различных способов составления расписания столько, сколько существует четырехэлементных комбинаций из девяти элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, или их порядком, т.е. 

 Ответ: 3024

  Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.    Перестановки обозначаются Р_n, где n — число элементов, входящих в перестановку.  

Формула перестановки:      Р_n=n!

Пусть имеются три буквы А, В и С. Составим всевозможные комбинации из этих букв: ABC, АСВ, ВСА, ВАС, CAB, CBA. Эти комбинации отличаются друг от друга только расположением букв. 

Пример 1

 В турнире участвуют семь команд. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? 

Решение: В итоговой таблице турнира команды будут отличаться занятыми местами, поэтому для подсчета вариантов распределения мест между ними воспользуемся формулой перестановки: 

Р₇=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040

Ответ: 5040

  Комбинации из n элементов по m элементам, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями.

Формула сочетания:

 

Пусть имеются три буквы А, В и С. Составим всевозможные комбинации только из двух букв, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом: АВ, АС, ВС. Нетрудно увидеть, что их в два раза меньше, чем размещений из этих элементов.  Пример 1

  Сколькими способами можно распределить три путевки в один санаторий между пятью желающими? 

Решение:  Так как путевки предоставлены в один санаторий, то варианты распределения отличаются друг от друга хотя бы одним желающим. Поэтому число способов распределения    Ответ: 10.

2. Виды случайных событий.

Случайным событием называется результат (исход) наблюдения какого-нибудь явления при выполнении некоторого комплекса условий (опыта).

Виды событий:

• Элементарные события - возможно исключающие друг друга события опыта.

• Невозможное событие - не может произойти в результате опыта.

• Достоверное событие – в результате опыта обязательно произойдет.

• Случайное событие – при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

• Несовместные события – появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

• Совместные события – в результате опыта могут появиться одновременно.

• Равновозможные события – одинакова возможность появления в результате опыта.

• Равносильные события – событие А влечет за собой событие В, а событие В влечет за собой событие А.

3. Алгебра событий.

• Суммой (объединением) событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А или событие В или одновременно событий А и В. С=А+В

• Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В. С=А*В

• Разностью событий А и В называется событие С, состоящее в появлении событии А и не появлении события В. С=А-В

4. Классическое определение вероятности события. Свойства вероятности.

Вероятностью р события А называется отношение числа m-благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев n, образующих полную группу равновозможных несовместимых событий:

P (A)=

Свойства вероятности:

1. Число появления m-любого события входит в интервал 0<P<1.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

5. Теоремы сложения вероятностей несовместных событий.

Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство: Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Теорема 2. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ , ..., А_n , образующих полную группу, равна единице:

Р (A₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.

Доказательство: Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = 1.     (*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Р (А₁ + А₂ + ... + А_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (А_n).    (**)

Сравнивая (*) и (**), получим

Р (А₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.

Пример: Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В — 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Р е ш е н и е. События "пакет получен из города А", "пакет получен из города В", "пакет получен из города С" образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

0,7 + 0,2 + p =1.

Отсюда искомая вероятность

р = 1 — 0,9 = 0,1.

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Доказательство: Пусть дано А и . Тогда А+ будет достоверным. Сумма достоверного события равно 1. Тогда

.

З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы

p + q = l

З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

.