- •В.Н. Афанасьев, м.М. Юзбашев
- •1.2. Классификация временных рядов
- •Производство животного и растительного масла в регионе, т
- •Динамика индексов цен на реализованную сельскохозяйственную и приобретенную сельхозпредприятиями промышленную продукцию, разы
- •Производство сельскохозяйственной продукции в Самарской (Куйбышевской) области в расчете на одного жителя
- •Прогноз агрегированного показателя экономической конъюнктуры в России в 1999г., %
- •1.3. Обеспечение сопоставимости уровней временных рядов
- •Глава 2. Составляющие элементы временного ряда
- •2.1. Понятие об основной тенденции и колеблемости временных рядов
- •2.2. Иерархия тенденций и колебаний
- •Динамика чисел Вольфа за 1994 и 1995 гг.
- •2.3. Периодизация динамики
- •Глава 3. Показатели временного ряда и методы их исчисления
- •3.1. Показатели, характеризующие тенденцию динамики
- •Абсолютные и относительные показатели тенденции
- •3.2. Особенности показателей для рядов, состоящих из относительных уровней
- •3.3. Средние показатели временных рядов
- •Динамика урожайности картофеля в n-й области
- •Глава 4. Основные типы тенденций и
- •4.1. Прямолинейный тренд и его свойства
- •Показатели динамики при линейном тренде
- •Показатели динамики при линейном тренде
- •4.2. Параболический тренд и его свойства
- •Показатели динамики при параболическом тренде,
- •Показатели динамики при параболическом тренде,
- •4.3. Экспоненциальный тренд и его свойства
- •4.4. Гиперболический тренд и его свойства
- •Показатели динамики при гиперболическом тренде:
- •4.5. Логарифмический тренд и его свойства
- •4.6. Логистический тренд и его свойства
- •Показатели динамики при логистическом тренде:
Глава 4. Основные типы тенденций и
УРАВНЕНИЙ ТРЕНДА
В гл. 2 было рассмотрено понятие о тенденции временного ряда, т.е. тенденции динамики развития изучаемого показателя. Задача данной главы состоит в том, чтобы рассмотреть основные типы таких тенденций, их свойства, отражаемые с большей или меньшей степенью полноты уравнением линии тренда. Укажем при этом, что в отличие от простых систем механики тенденции изменения показателей сложных социальных, экономических, биологических и технических систем только с некоторым приближением отражаются тем или иным уравнением, линией тренда.
В данной главе рассматриваются далеко не все известные в математике линии и их уравнения, а лишь набор их сравнительно простых форм, который мы считаем достаточным для отображения и анализа большинства встречающихся на практике тенденций временных рядов. При этом желательно всегда выбирать из нескольких типов линий, достаточно близко выражающих тенденцию, более простую линию. Этот «принцип простоты» обоснован тем, что чем сложнее уравнение линии тренда, чем большее число параметров оно содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этих параметров по ограниченному числу уровней ряда и тем больше ошибка оценки этих параметров, ошибки прогнозируемых уровней.
4.1. Прямолинейный тренд и его свойства
Самым простым типом линии тренда является прямая линия, описываемая линейным (т.е. первой степени) уравнением тренда:
где i - выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i;
а - свободный член уравнения, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т.е. для ti = 0;
b - средняя величина изменения уровней ряда за единицу изменения времени;
ti - номера моментов или периодов времени, к которым относятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).
Среднее изменение уровней ряда за единицу времени - главный параметр и константа прямолинейного тренда. Следовательно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени. Практика показывает, что такой характер динамики встречается достаточно часто. Причина близких к равномерному абсолютных изменений уровней ряда состоит в следующем: многие явления, как, например, урожайность сельскохозяйственных культур, численность населения региона, города, сумма дохода населения, среднее потребление какого-либо продовольственного товара и др., зависят от большого числа различных факторов. Одни из них влияют в сторону ускоренного роста изучаемого явления, другие - в сторону замедленного роста, третьи - в направлении сокращения уровней и т.д. Влияние разнонаправленных и разноускоренных (замедленных) сил факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующая их влияний приобретает характер, близкий к равномерной тенденции. Итак, равномерная тенденция динамики (или застоя) - это результат сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя.
Графическое изображение прямолинейного тренда – прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (арифметическим) масштабом на обеих осях. Пример линейного тренда дан на рис. 4.1.
Абсолютные изменения уровней в разные годы не были точно одинаковыми, но общая тенденция сокращения численности занятых в народном хозяйстве очень хорошо отражается прямолинейным трендом.
Рис. 4.1. Динамика числа занятых в народном хозяйстве в России на 31 декабря каждого года
Основные свойства тренда в форме прямой линии таковы:
равные изменения за равные промежутки времени;
если средний абсолютный прирост - положительная величина, то относительные приросты или темпы прироста постепенно уменьшаются;
если среднее абсолютное изменение - отрицательная величина, то относительные изменения или темпы сокращения постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;
если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая величина является по определению положительной, то среднее изменение b не может быть больше среднего уровня а;
при линейном тренде ускорение, т.е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю.
Свойства линейного тренда иллюстрирует табл. 4.1. Уравнение тренда: i = 100+20ti.
Показатели динамики при наличии тенденции сокращения уровней приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.1