Гусев_сопротивление_материалов
.pdfСОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Сборник расчѐтно–проектировочных заданий и методические указания к их выполнению
Издание 2-е, исправленное и дополненное
Йошкар-Ола Марийский государственный технический университет
2008
УДК 539.3/.6 ББК 22.2
С 64
Рецензент: канд. техн. наук, доцент А. В. Андреев
Печатается по решению редакционно-издательского совета МарГТУ
С 64 Сопротивление материалов: сборник расчетно-проектировочных заданий и методические указания к их выполнению / сост. В. А. Гусев, Ю. А. Куликов, С. Г. Кудрявцев, В. И. Щербаков; под ред. Ю. А. Куликова. – Изд. 2-е, испр. и доп. Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет, 2008. – 92 с.
Представлены образцы 19 оригинальных расчѐтно-проектировочных заданий по основным разделам курса «Сопротивление материалов с основами теории упругости». Каждое задание включает краткие сведения из теории, расчѐтные формулы и типовые примеры расчѐтов.
Для студентов заочной, а также других форм обучения машиностроительных, технологических и строительных специальностей.
УДК 539.3/.6 ББК 22.2
© Марийский государственный технический университет, 2008
2
При изучении наук примеры полезнее правил
И. Ньютон
Мера и число должны лежать в основе всякого дела
Академик А. Н. Крылов
ВВЕДЕНИЕ
Сопротивление материалов - инженерная наука о прочности, жѐсткости и устойчивости типовых элементов машин и конструкций.
Прочность - способность сопротивляться эксплуатационным нагрузкам не разрушаясь (способность сопротивляться разрушению).
Жёсткость - способность сопротивляться изменению геометрических размеров и формы (способность сопротивляться деформированию).
Устойчивость - способность сохранять своѐ состояние (движения или равновесия) при внешних воздействиях.
Сопротивление материалов является “азбукой и грамматикой” расчѐтов. С целью приобретения начальных навыков каждому студенту, изучающему курс "Сопротивление материалов", предлагается ряд расчетно-проектировочных заданий. Количество заданий определяется учебным планом специальности.
В таблице приведены объѐм и содержание заданий для основных специальностей заочной системы обучения МарГТУ.
|
|
|
|
|
|
Таблица |
|
|
|
Номера задач |
|
|
|
Число |
Технологи- |
Механико- |
Строительные специальности |
|||
заданий |
|
ческие |
машинострои- |
|
|
|
|
специаль- |
тельные |
|
|
||
Номера |
|
ности |
специальности |
|
|
|
заданий |
|
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
1,2,5,6,7 |
|
1,2,3,5 |
1,3,4,5,6,8 |
2,3,4,6,7 |
2 |
8,10,11,12,16 |
6,7,9,10,12 |
9,10,11,14,16 |
9,11,13,19,20 |
||
3 |
|
|
13,14,15 |
19,20 |
|
|
4 |
|
|
16,17,18 |
|
|
|
Задания |
для |
студентов |
строительных |
специальностей |
||
предусматривают решения задач теории упругости. |
|
3
Задания оформляются в отдельной тетради или на листах формата А4, сшитых в тетрадь. Текстовая часть, включающая условие задачи, решение (расчет) и ответ, выполняется чѐтким почерком чернилами черного или синего цвета; расчетные схемы, рисунки - простым карандашом.
На титульном листе указываются: номер (номера) заданий, наименование дисциплины, фамилия, имя и отчество студента, факультет и специальность, шифр (номер зачетной книжки), дата отсылки работы, обратный адрес.
Исходные данные и расчетные схемы выбираются согласно индивидуальному шифру. Шифром могут служить две последние цифры номера зачетной книжки. Последняя цифра - номер расчетной схемы, предпоследняя - номер строки исходных данных, приведенных в таблицах.
Например, номер зачетной книжки 9521085. В этом случае две последние цифры - 85, это шифр. Согласно шифру, для всех задач расчетные схемы, представленные на рисунках, выбираются под номером 5. Исходные данные, приведенные в таблицах, - из строк под номером 8.
Решения, выполненные на основании данных, которые не согласуются с индивидуальным шифром, отклоняются.
Для каждой задачи записывается условие, приводятся исходные данные (обязательно с указанием размерности) и аккуратно (по линейке) выполняется рисунок (расчетная схема). Решение сопровождается краткими пояснениями, а при необходимости – дополнительными рисунками. Рекомендуется избегать многословных пояснений (“пересказа” учебника). Язык расчета - это формулы, схемы, лаконичные комментарии.
Результаты расчета (ответы) с указанием размерности следует подчеркнуть. В практике инженерных расчетов принято результат представлять с точностью до трех значащих цифр. Например, если на экране дисплея калькулятора (или компьютера) получается 8456.9443, то это число следует записать - 8.46 103. Исключение из этого правила составляют числа, начинающиеся с единицы. Их принято записывать с точностью до четырех значащих цифр. Например, 1.8646879 - 1.865.
После получения рецензии рекомендуется исправить все отмеченные ошибки и дать ответы на замечания. Если работа не зачтена, то нужно вновь выслать на повторное рецензирование исправленный вариант решения вместе с первоначальной версией.
4
РАСТЯЖЕНИЕ – СЖАТИЕ
|
|
|
|
|
Ni |
|
|
|
|
N |
|
|
|
n |
|
T |
|
|
|
|
T |
|
|||||||||
|
( i ) |
; |
|
max |
|
|
|
; |
|
|
; |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ai |
|
|
A |
|
|
|
T |
max |
|
|
|
|
|
nT |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
; |
|
|
|
|
|
N l |
|
|
|
|
|
|
N 2l |
|
|
|
(2i ) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
i i |
|
; |
|
U |
|
|
i i |
|
|
|
|
|
A l . |
||||||
|
max |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
EA i |
|
|
|
|
i |
|
2 EA i |
|
2Ei |
|
|
i i |
|||||
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ζ –нормальное напряжение; N – продольная сила; А – площадь поперечного сечения; i – порядковый номер стержня или участка (i = 1, 2,…, k); k – число стержней (участков); nT – расчетный коэффициент запаса; [nT] – нормативный коэффициент запаса; ζТ – предел текучести материала; [ζ] – допускаемое напряжение; Е – модуль упругости; ЕА – жесткость поперечного сечения на растяжение-сжатие; l – длина стержня (участка); l – абсолютное приращение длины; U – потенциальная энергия упругой деформации.
Задание 1
Абсолютно жесткий элемент AB закреплен при помощи трех упругих стержней и нагружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (рис. 1.1). Требуется:
1.Найти продольные силы в стержнях: N1, N2 и N3, выразив их через параметры q, a, и .
2.Из условия прочности по напряжениям определить размеры поперечных сечений стержней трех форм:
Стержень 1 - круг диаметром d.
Стержень 2 - прямоугольник b 2b.
Стержень 3 - два равнобоких (равнополочных) уголка.
Номер профиля уголка взять из таблицы сортамента прокатной стали ГОСТ 8509-72.
Материал - Ст. 3: Пределы текучести на растяжение и сжатиетр= тс=250 МПа, коэффициент запаса по текучести nт=2, размер a=0.4м.
Данные взять из табл. 1.
5
2
Рис. 1.1
6
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
Номер |
q, |
, |
, |
k |
|
схемы |
строки |
кН/м |
град |
град |
|
|
|
|
|||||
1 |
0 |
20 |
30 |
60 |
8 |
|
2 |
1 |
30 |
60 |
30 |
6 |
|
3 |
2 |
40 |
30 |
45 |
10 |
|
4 |
3 |
25 |
60 |
30 |
8 |
|
5 |
4 |
35 |
30 |
60 |
6 |
|
6 |
5 |
40 |
60 |
45 |
10 |
|
7 |
6 |
45 |
30 |
60 |
8 |
|
8 |
7 |
50 |
60 |
30 |
6 |
|
9 |
8 |
55 |
30 |
45 |
10 |
|
0 |
9 |
60 |
60 |
30 |
8 |
|
Пример 1
Дано: q = 50 кН/м; α = 300; β = 600; k = 8; a = 0,4 м; nТ = 2; ζТ = ζТР = ζТС = 250 МПа.
Определить:1) N1, N2, N3 =? 2) d = ?, b = ?, № уголка =?
Решение:
1. Составляем силовую Рис. 1.2 схему (рис. 1.3) и записываем
уравнения равновесия:
ΣX = 0: - N2 sin β – N3 sin α =0,
ΣY = 0: N1 + N2 cos β – N3 cos α – q8a= 0,
ΣMA = 0: N2 cos β·8a – N3 cos α·10a – q8a·4a= 0.
Из решения уравнений с тремя неизвестными находим усилия в стержнях:
N1 = 4,54 qa; N2 = 1,73 qa;
N3 = -3qa.
Знак "плюс" соответствует растяжению, "минус" – сжатию.
Рис. 1.3
7
2. Вычисляем нормальные напряжения и записываем условия прочности:
Стержень 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
N1 |
|
|
4,54qa |
|
|
T . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
A1 |
|
|
nT |
||||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,54qa n |
|
|
4,54 50 103 0,4 2 |
7,26 10 4 м2 , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250 106 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
диаметр круга площадью А1 = πd2/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 7,26 10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
d |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,04 10 2 м |
|
|
(3,04 см). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Стержень 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 ) |
|
N2 |
|
|
1,73qa |
|
T . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
A2 |
|
|
nT |
||||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,73qa n |
|
|
1,73 50 103 0,4 2 |
2,77 10 4 м2 , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250 106 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
размер прямоугольника площадью А2 = 2b2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,77 10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
1,18 10 2 м (1,18 см). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Стержень 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N3 |
|
|
3qa |
|
T . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
|
nT |
|
|||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3qa n |
|
|
|
|
3 50 103 0,4 2 |
4,8 10 4 м2 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
250 106 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь поперечного сечения уголка:
А = А3/2 = 4,8·10-4/2 = 2,4·10-4 м2 (2,4 см2).
Из таблицы сортамента прокатной стали выбираем уголок № 3,2 с размерами 32х32х4 (мм) и площадью А = 2,43 см2.
8
Задание 2
Для стержня, схема которого изображена на рис.2.1, построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Вычислить
коэффициент запаса прочности nT |
|
T |
, считая предел текучести |
||
|
|
|
max |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
т=280 МПа. Определить перемещение свободного конца стержня. Вычислить потенциальную энергию упругой деформации. Принять модуль упругости E=2 105 МПа.
Данные взять из табл. 2.
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
Схема |
Номер |
P, |
a, |
k |
A, |
стержня |
строки |
КН |
м |
|
10-4 м2 |
1 |
0 |
20 |
0,2 |
2 |
4 |
2 |
1 |
25 |
0,3 |
1 |
5 |
3 |
2 |
24 |
0,4 |
2 |
8 |
4 |
3 |
28 |
0,2 |
1 |
7 |
5 |
4 |
30 |
0,3 |
2 |
6 |
6 |
5 |
32 |
0,4 |
1 |
8 |
7 |
6 |
45 |
0,5 |
2 |
9 |
8 |
7 |
50 |
0,4 |
1 |
10 |
9 |
8 |
35 |
0,5 |
2 |
7 |
0 |
9 |
40 |
0,4 |
1 |
8 |
Пример 2
Дано: Р = 45 кН; а = 0,4 м; k = 2; А = 4·10-4 м2; Е = 2·105 МПа; ζТ = 280 МПа.
Определить: N = N(x), ζ = ζ(x), nТ = ? δ0 =? и U =?
Решение:
1. Строим эпюры продольных сил N(x) и нормальных напряжений ζ(x).Предварительно составляем силовую схему. Для этого освобождаем стержень от внешних связей, действие связей заменяем реакцией R (рис.2.2).
Составляем уравнение равновесия ΣX = 0: R – 2P – 3P + P = 0, из которого находим R = 2P + 3P – P = 4P.
9
10