[ММвЛХ] Лекция 13 Нелинейное программирование
.pdfПоволжский государственный технологический университет
Исследование операций
НЕЛИНЕЙНОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Разработчик: доцент каф. ЛТ и Л, к. с.-х. наук Власова Н.А.
Нелинейное программирование
•Задачами нелинейного программирования (НЛП) называются задачи, в которых нелинейны и (или) целевая функция, и (или) ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. НЛП представляет собой наиболее характерный метод оптимизации при проектировании машин и технологических процессов и служит для выбора наилучшего плана распределения ограниченных материальных, финансовых и трудовых ресурсов.
Нелинейное программирование
В сфере лесного комплекса к их числу относятся следующие задачи:
•оптимальное проектирование лесных машин и оборудования;
•рациональное использование сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;
•оптимизации системы сервиса и технического обслуживания машинно-тракторного парка и др.
Нелинейное программирование
•Постановка практической задачи НЛП включает следующие основные этапы: определение показателя эффективности, переменных задачи, задание целевой функции W(x), подлежащей минимизации или максимизации,
функциональных hk(x), gj(x) и областных хli <xi <хui ограничений. (По крайней мере, или
целевая функция, или одно из функциональных ограничений должны быть нелинейны).
Нелинейное программирование
•Задачи НЛП можно классифицировать в
соответствии с видом функций W(x), hk(x), gj(x) и размерностью и содержанием вектора х. В самом общем виде классификация представлена в таблице:
Вид |
Вид |
Число |
Название задачи |
W(x) |
hk(x), gj(x) |
перемен |
оптимизации |
-ных |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Нелинейная |
Отсутствуют |
=1 |
Безусловная |
|
|
|
однопараметрическая |
|
|
|
|
Нелинейная |
Отсутствуют |
>1 |
Безусловная |
|
|
|
многопараметрическа |
|
|
|
я |
|
|
|
|
Нелинейная |
Нелинейная |
>1 |
Условная нелинейная |
или |
или |
|
|
линейная |
линейные |
|
|
|
|
|
|
Безусловная однопараметрическая оптимизация
•Безусловная оптимизация функции одной переменной- наиболее простой тип оптимизационных задач, тем не менее, она занимает центральное место в теории оптимизации как с теоретической, так и с практической точек зрения.
•Это связано с тем, что задачи однопараметрической оптимизации достаточно часто встречаются в инженерной практике и, кроме того, находят свое применение при реализации более сложных итеративных процедур многопараметрической оптимизации.
Безусловная однопараметрическая оптимизация
•Пример 1. Оптимальный раскрой лесоматериалов.
Бревно длиной 15 м имеет форму конуса, диаметры оснований которого равны соответственно 0,4 и 0,2 м. Требуется автоматизировать процесс раскроя бревна для получения бруса квадратного поперечного сечения, ось которого совпадала бы с осью бревна и объем которого был бы наибольшим. Определить размеры бруса.
Оптимизация раскроя бревна
Постановка задачи
•Показатель эффективности – объем бруса, м3
•Управляемая переменная задачидлина бруса l. При этом длина бруса l связана с поперечным размером b следующими зависимостями:
d=dk – (dk –d0)l/l0; b2=d2/2,
где
dk- диаметр бревна в комле, м;
d0 – диаметр бревна в вершине, м; l0 – длина бревна, м.
•Целевая функция:
W(l)=(l/2)(dk-(dk-d0)l/l0)2 max
Условная нелинейная оптимизация
•Пример 2. Распределение ресурсов
•Предприятие может выпускать 2 вида изделий. На их изготовление идет 3 типа ресурсов. Запасы ресурсов, плановые нормы расхода, себестоимость и цены указаны в табл. Все данные в табл. приведены на 1тыс изделий.
Тип ресурсов |
Запас |
Норма расхода ресурсов на 1 тыс. |
|
|
ресурсов |
изделий (aij) |
|
|
|
|
|
|
|
Изделие 1 |
Изделие 2 |
|
|
|
|
I |
100 |
10 |
20 |
|
|
|
|
II |
120 |
20 |
10 |
|
|
|
|
III |
150 |
20 |
20 |
|
|
|
|
Себестоимость (cj) |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
Цена |
|
7 |
13 |
|
|
|
|