РГР Задача 4
.doc
Задача 4. Кинематика плоского механизма
В кривошипно-ползунном механизме кривошип OA вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью ω и приводит в движение шатун АВ и ползун В.
Для заданного положения механизма найти скорость ползуна В, угловую скорость шатуна АВ и скорость точки С – середины шатуна АВ.
Примечание. Если данные таковы, что шатун окажется перпендикулярным направляющей ползуна (схемы I, VI), то вместо заданного угла β следует принять угол β = 15º.
Схемы к задаче приведены на рис.4, численные данные – в табл. 4.
Методические указания
Расчет кинематических характеристик (скоростей) точек любого механизма выполняется «по цепочке» – сначала рассматривается то звено механизма, движение которого известно, затем смежное с ним звено и т.д. При переходе от одного звена к другому используют равенство скоростей в точке сочленения звеньев.
Для нахождения скоростей точек отдельного звена и его угловой скорости используются теоремы и формулы кинематики твердого тела [1].
В данной задаче рассматривается кривошипно-ползунный механизм состоящий из трех подвижных звеньев: кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В. Кривошип ОА совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рис.4. Ползун В движется поступательно вдоль прямолинейной направляющей. Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение.
Решение задачи следует начинать с определения скорости почки А кривошипа. Для этого используется формула, связывающая скорость точки вращающегося тела с его угловой скоростью
v = ∙h
Направление вектора скорости точки А находится по известному правилу: скорость направлена по касательной к траектории точки.
Чтобы найти скорость точки В шатуна можно использовать теорему Грасгофа (о проекции скоростей) [1], или воспользоваться мгновенным
Рис. 4
Таблица 4
Цифры шифра |
3-я цифра шифра |
2-я цифра шифра |
1-я цифра шифра |
|||
Номер схемы |
ω, рад/с |
r, см |
l, см |
углы, град |
||
α |
β |
|||||
1 |
I |
10 |
20 |
30 |
30 |
60 |
2 |
II |
9 |
24 |
36 |
45 |
30 |
3 |
III |
8 |
30 |
40 |
60 |
45 |
4 |
IV |
7 |
36 |
48 |
30 |
15 |
5 |
V |
6 |
40 |
50 |
45 |
60 |
6 |
VI |
5 |
48 |
56 |
60 |
15 |
7 |
VII |
4 |
50 |
60 |
30 |
45 |
8 |
VIII |
3 |
56 |
64 |
30 |
30 |
9 |
IX |
2 |
60 |
70 |
45 |
15 |
0 |
X |
1 |
64 |
80 |
60 |
60 |
центром скоростей (МЦС) звена АВ. Правила построения МЦС можно найти в [1].
Для определения угловой скорости АВ шатуна АВ необходимо построить мгновенный центр скоростей Р этого звена, а затем воспользоваться зависимостью
vА = АВ ∙АР.
Для определения скорости точки С шатуна следует использовать аналогичную зависимость для точки С:
vС = АВ ∙СР
Образец решения
Решение задачи 4 рассмотрим на примере варианта, соответствующего шифру 000. Согласно таблице 4 выбираем схему Х и принимаем = 1 рад/с, ОА = 64 см, АВ = 72 см, = 60°, = 60°.
Рисуем кинематическую схему механизма (рис.5) с учетом заданных размеров и углов.
1. Определяем скорость точки А кривошипа. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рис.5. Поэтому cкорость точки A:
vА = ∙ОА = 1∙64 = 64 см/с
Направление вектора скорости vА – вдоль касательной к траектории точки А. Эта траектория – окружность изображенная штриховой линией на рис.6. Как известно, касательная к окружности перпендикулярна её радиусу, поэтому vА ┴ ОА.
2. Вычислим скорость точки В шатуна с помощью теоремы Грасгофа. Согласно этой теореме проекции скоростей точек А и В жесткого звена АВ на ось Ах, проходящую через эти точки (рис.7) должны быть равны. Угол между вектором vА и осью Ах составляет 30°. Ползун В движется вдоль направляющей, поэтому угол между vВ и Ах - 60° (рис.7).
Равенство проекций имеет вид
vА ∙ cos 30° = vВ ∙ cos 60°,
откуда находим: vВ = vА ∙ cos 30° ∕ cos 60° = 64 ∙= 110,9 см/с.
3. Чтобы найти угловую скорость АВ звена АВ построим мгновенный центр скоростей (МЦС) этого звена. Для этого проводим перпендикуляры к скоростям точек А и В звена АВ (рис.8). Точка Р, в которой пересекаются эти перпендикуляры и является МЦС звена АВ.
Скорость vА можно представить как скорость точки А звена АВ в его вращательном движении вокруг точки Р с угловой скоростью АВ
vА = АВ ∙АР
Из этого равенства получаем
АВ = vА ∕АР = 64 ∕ 72 = 0,89 рад/с.
Здесь АР = АВ = 72 см, т.к. РАВ – равнобедренный (рис.8).
4. Для того, чтобы найти скорость точки С воспользуемся мгновенным центром скоростей Р шатуна АВ. Как известно скорость любой точки М плоской фигуры может быть представлена как её скорость во вращательном движении фигуры вокруг МЦС. Поэтому
vС = АВ ∙СР = 0,89 ∙95,2 = 84,7 см/c,
где расстояние СР найдено из РАС при помощи теоремы косинусов (рис.9) :
95,2 см.
Направление вектора скорости vС соответствует направлению скорости точки плоской фигуры при её вращении вокруг центра Р, т.е. vС ┴ СР , при этом vС направлен в сторону вращения АВ (рис.9).