- •Лекция 2 Производная по направлению градиент. Производные и дифференциалы высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных и задачи оптимизации в экономике Вопросы.
- •Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •2. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
- •3. Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных.
- •4. Производная высших порядков
- •5. Экстремум функции нескольких переменных
- •Пусть функция трижды дифференцируема в некоторой окрестности своей критической точки.
- •Литература
Лекция 2 Производная по направлению градиент. Производные и дифференциалы высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных и задачи оптимизации в экономике Вопросы.
Дифференцируемость функции нескольких переменных.
Геометрический смысл дифференциала 1-ого порядка.
Уравнение касательной плоскости и нормали.
Производная по направлению, определение.
Что такое градиент функции в заданной точке?
Производные и дифференциалы высших порядков.
Необходимое условие локального экстремума.
Сформулируйте достаточное условие локального максимума в точке функции.
Задачи оптимизации в экономике.
Дифференцируемость функции нескольких переменных
При полном приращении функции, в отличие от частных приращений могут изменяться все переменные функции нескольких переменных.
Определение.Полным приращением функциив точке, соответствующим приращениямиаргументов, называется разность
.
Пример.Пусть,,,(см. пример из предыдущего пункта). Найдем полное приращение функции в точке:
Это приращение равно приращению площади прямоугольника со сторонами 3 и 4 при их увеличении на величины, равные 0,1. На рис.4 полное приращение состоит из площадей двух заштрихованных прямоугольников и площади квадрата со стороной 0,1.
Определение.Если полное приращение функциив точкеможно записать в виде:
, гдеи– постоянные, аибесконечно малые при, то выражение
называется полным дифференциалом функции в точке .
Полный дифференциал называют также главной частью приращения функции.
Функция, имеющая полный дифференциал в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Теорема 1. Пусть функцияи ее частные производныеинепрерывны в некоторой окрестности точки. Тогда функциядифференцируема в т.и ее полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов:
. (3)
Пример.Найдем полный дифференциал функции.
Найдем вначале частные производные этой функции:
;.
Подставив их в формулу (2), получим:
+.
Если в формуле (1) отбросить бесконечно малые ии заменить полное приращение приближенно полным дифференциалом, то получим следующую формулу для приближенного нахождения значений функции с помощью полного дифференциала.
++. (4)
Пример.Вычислим приближенно число
Для этого мы вычислим приближенное значение функции в точке, где,,,.
=:
=,,
;.
Подставив эти значения в (4), получим:
.
2. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности в её точке (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Определение 2. Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Пусть функция имеет в окрестности некоторой точкинепрерывные производные
Теорема.Через любую точку функцииможно провести касательную плоскость к ее поверхности.
А) для функции в явном виде :
Б) для функции в неявном виде =0:
. (2)
Для функции двух переменных перпендикулярен касательной к линии уровня этого поля и уравнение этой касательной по аналогия с (2) можно записать в виде
. (3)
Тогда уравнение нормали будет:
А) для функции в неявном виде:
(4)
Б) для функции в явном виде:
(5)