ulstu2011-115
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДОЛОГИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Методические указания к лабораторным работам для студентов направления 21100062 и специальности 21020165
Составитель Т. П. Абомелик
Ульяновск
УлГТУ
2011
1
УДК 658.3.55: 519(076) ББК 22.172я7
М 54
Рецензент директор Ульяновского филиала институту радиоэлектроники РАН, д-р техн. наук В. А. Сергеев
Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета.
Методология планирования эксперимента : методические указа-
М 54 ния к лабораторным работам / сост. Т. П. Абомелик. – Ульяновск : УлГТУ, 2011 – 38 c.
Сборник лабораторных работ составлен в соответствии с учебно-методическим комплексом по дисциплине «Методология планирования эксперимента» и предназначен для студентов направления 21100062 и специальности 21020165. Рассматриваются методы планирования эксперимента: полный факторный эксперимент и дробный факторный эксперимент.
Методические указания подготовлены на кафедре ПиТЭС.
УДК 658.55: 519(076) ББК 22.172я7
Абомелик Т. П., составление, 2011Оформление. УлГТУ, 2011
2
|
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
УКАЗАНИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ...................................................... |
3 |
||
ПРЕДИСЛОВИЕ.......................................................................................................... |
|
5 |
|
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ...................................................................... |
6 |
||
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 «ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ» 9 |
|||
1. |
Цель работы............................................................................................................ |
|
9 |
2. |
Полный факторный эксперимент...................................................................... |
9 |
|
|
2.1. Стандартизация масштаба факторов............................................. |
10 |
|
|
2.2. Составление матрицы планирования ПФЭ.................................. |
11 |
|
|
2.3. Порядок постановки ПФЭ................................................................ |
13 |
|
|
2.4. Проверка воспроизводимости опытов (однородности |
|
|
|
дисперсий) ........................................................................................................... |
|
14 |
|
2.5. Расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения....... |
15 |
|
|
2.6. Проверка значимости коэффициентов регрессии....................... |
16 |
|
|
2.7. Проверка адекватности полученной ММ...................................... |
17 |
|
|
2.8. Переход к физическим переменным............................................... |
18 |
|
|
2.9. Пример использования ПФЭ........................................................... |
18 |
|
3. |
Порядок выполнения работы........................................................................... |
21 |
|
4. |
Содержание отчета.............................................................................................. |
21 |
|
5. |
Контрольные вопросы ....................................................................................... |
22 |
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 |
|
||
«ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ» .................................................... |
23 |
||
1. |
Цель работы.......................................................................................................... |
|
23 |
2. |
Дробный факторный эксперимент.................................................................. |
23 |
|
|
2.1. Составление матрицы планирования ДФЭ........................................ |
23 |
|
|
2.2. Определение смешанности оценок коэффициентов ......................... |
25 |
|
|
2.3. Порядок постановки ДФЭ...................................................................... |
27 |
|
|
2.4. Пример использования ДФЭ................................................................. |
27 |
|
3. |
Порядок выполнения работы........................................................................... |
30 |
|
4. |
Содержание отчета.............................................................................................. |
30 |
|
5. |
Контрольные вопросы ....................................................................................... |
31 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ А ФРАГМЕНТ ТАБЛИЦЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ............. |
32 |
||
ПРИЛОЖЕНИЕ Б ТАБЛИЦА G-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ....................................... |
33 |
||
ПРИЛОЖЕНИЕ В |
ТАБЛИЦА t-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ........................................ |
34 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ Г |
ТАБЛИЦА F-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ....................................... |
35 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ Д...................................................................................................... |
|
37 |
|
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ............................................................................................. |
37 |
||
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................................... |
38 |
||
3
УКАЗАНИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ
Перед началом проведения лабораторных работ все студенты в обязательном порядке должны ознакомиться с инструкцией по технике безопасности, прослушать инструктаж преподавателя и расписаться в журнале регистрации периодического инструктажа безопасным методам работы.
В лаборатории следует остерегаться поражения высоким напряжением. Питание оборудования и приборов осуществляется от сети ~220 В частотой 50 Гц. Основным поражающим фактором является ток, проходящий через тело человека. При величине тока 3-5 мА (50 Гц) действие тока ощущается кистью всей руки, при величине тока 15 мА (50 Гц) человек не в состоянии разжать руки, в которой зажата токоведущая часть. За порог неотпускающих токов при постоянном напряжении принята величина тока 50-80 мА.
При выполнении лабораторных работ необходимо соблюдать следующие правила:
-включать под напряжение оборудование разрешается только после проверки схемы преподавателем или лаборантом;
-включать главный щит электрического питания и щит питания в лаборатории разрешается только преподавателю или лаборанту.
ЗАПРЕЩАЕТСЯ:
-оставлять без наблюдения оборудование, находящееся под напряжением;
-подходить к главному щиту электрического питания, снимать и перевешивать запрещающие знаки;
-загромождать свое рабочее место одеждой и другими вещами, не относящимися к выполняемой работе.
Если произошел несчастный случай, то необходимо немедленно:
-при поражении током освободить пострадавшего от действия тока, для чего нужно отключить напряжение с установки с помощью выключателя или иного отключающего аппарата;
-оказать первую помощь пострадавшему;
-сообщить преподавателю, ведущему занятия;
-вызвать скорую помощь по телефону 03.
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Методические указания к лабораторным работам по курсу «Методология планирования эксперимента» предназначены для студентов направления 21100062 «Проектирование и технология электронных средств».
Вметодических указаниях рассматриваются вопросы разделов «Проверка статистических гипотез» и «Теория планирования эксперимента» в соответствие с учебно-методическим комплексом по дисциплине (УМК).
Цель методических указаний – формирования у студентов навыков по планированию, проведению и обработке результатов эксперимента. Задачи методических указаний – приобретение навыков по методике планирования и проведения эксперимента, обработке статистических данных. Методические указания способствуют приобретению знаний в области применения методов планирования эксперимента для исследования конструкций, систем, технологических процессов и их оптимизации.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих концепций:
- способность использовать основные законы естественных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);
- способность владеть основными приемами обработки и представления экспериментальных данных (ПК-5);
- готовность проводить эксперименты по заданной методике, анализировать результаты, составлять обзоры, отчеты (ПК-20).
Врезультате изучения дисциплины студент должен:
-знать статистические методы измерения случайной величины, теорию проверки статистических гипотез, методы планирования эксперимента, методы пассивного эксперимента, методы дисперсионного анализа, методы поиска экстремума функции отклика;
-уметь планировать эксперимент (составлять план эксперимента), проводить эксперимент, проводить обработку результатов эксперимента, оценивать точность эксперимента;
-владеть методами планирования, проведения и обработки результатов эксперимента для исследования конструкций, систем, технологических процессов и их оптимизации.
5
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Эксперимент является основным и наиболее совершенным методом познания. Он может быть активным и пассивным. Осуществление пассивного эксперимента не зависит от экспериментатора, и ему приходится довольствоваться лишь ролью наблюдателя. Основной вид эксперимента – активный, проводится в контролируемых и управляемых условиях.
Все факторы, влияющие на исследуемые параметры объекта, предусмотреть, как правило, не удается. Так, в сложных системах, зависящих от множества факторов, некоторые воздействия не могут контролироваться или управляться. Воздействие этих факторов рассматриваются как белый шум, наложенный на истинные результаты эксперимента. Чтобы отделить факторы, интересующие экспериментатора, от шумового фона, применяются специальные методы,
называемые рандомизацией эксперимента.
Проведение активного эксперимента зачастую требует больших материальных затрат. Поэтому важной задачей является получение необходимых сведений при минимальном числе опытов. Решением этой проблемы занимается теория планирования эксперимента, представляющая собой раздел математической статистики. В общем случае она позволяет ответить на вопросы:
-как спланировать эксперимент, обеспечивающий при требуемой точности результатов, минимальные затраты времени и средств;
-как обработать результаты, чтобы извлечь из них максимум информации об исследуемом объекте;
-какие выводы можно сделать по результатам эксперимента и какова достоверность этих выводов.
Активный эксперимент в сочетании с методами планирования позволяет
получить требуемые результаты, затратив минимальные средства и время на проведение исследования.
Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения с требуемой точностью и достоверностью поставленной задачи.
Целью планирования эксперимента, как правило, является получение математической модели (ММ) исследуемого объекта или процесса. Если на объект действует много факторов, механизм которых неизвестен, то обычно использу-
6
ют полиномиальные ММ (алгебраические полиномы), называемые уравнениями регрессии. Так, для двух факторов x1 и x2:
полином 0-й степени: |
y = b0; |
|
полином 1-й степени: |
y = b0 + b1x1 |
+ b2x2 – линейная модель; |
полином 2-й степени: |
y = b0 + b1x1 |
+ b2x2 + b12x1x2 + b11x12 + b22x22 – пол- |
ная квадратичная модель. |
|
|
При планировании |
эксперимента |
исследуемый объект представляется |
«черным ящиком» (рис. 1.1), на который воздействуют факторы xi.
Факторы
x1 |
|
|
y1 |
|
|
||
x2 |
|
|
y2 |
x3 |
|
«Черный |
y3 |
. |
|
. |
|
|
ящик» |
||
. |
|
. |
|
. |
|
|
. yn |
xn |
|
|
|
Рис. 1.1. |
«Черный ящик» |
|
|
Параметрыы
Каждый фактор xi может принимать определенное количество значений, называемых уровнями факторов. Множество возможных уровней фактора xi называется областью его определения. Эти области могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными. Как уже отмечалось, должна быть возможность управления факторами: либо поддерживать их на заданном уровне, либо изменять по программе.
Факторы должны быть совместимыми и независимыми. Совместимость предполагает допустимость любой комбинации факторов, а независимость – отсутствие между факторами корреляционной связи.
К исследуемым параметрам также предъявляют ряд требований. Они должны быть:
-эффективными, то есть способствовать скорейшему достижению цели;
-универсальными – быть характерными не только для исследуемого объекта;
-статистически однородными, то есть определенному набору значений факторов xi с точностью до погрешности эксперимента должно соответствовать определенное значение фактора yi;
-выражаться количественно одним числом;
-легко вычисляться и иметь физический смысл;
-существовать при любом состоянии объекта.
7
Геометрический аналог параметра (функции отклика) называется поверхностю отклика, а пространство, в котором строят эту поверхность, – факторным пространством. Размерность факторного пространства равна числу факторов. Так, например, при двух факторах факторное пространство представляет собой факторную плоскость.
При планировании эксперимента требуемых свойств ММ добиваются выбирая условия проведения опытов. Множество точек факторного пространства, в которых проводится эксперимент, представляется с помощью плана экспери-
мента
где n –
x(0) N1
x
число факторов;
x1(1) |
x2 (1) ... |
xn (1) |
|
|
x(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x1(2) |
x2 (2) ... |
xn (2) |
|
|
x(2) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x1(N ) |
x2 (N ) xn (N ) |
|
|
x(N ) |
|
|
|
||
N – число точек факторного пространства. Точка
N
x( j) , называется центром плана. Если центр плана совпадает с на-
j 1
чалом координат, то план называется центральным.
Условия проведения опытов могут свободно выбираться в пределах заданных границ. Выбор соответствующего плана эксперимента позволяет обеспечить ММ разные свойства. Наиболее распространенными являются следующие критерии.
Критерий ортогональности – когда полученные оценки коэффициентов регрессии некоррелированы (не смешаны). Замена нулем любого коэффициента в ММ в этом случае не изменяет значений остальных коэффициентов.
Критерий рототабельности – когда дисперсия выходной переменной зависит только от расстояния от центра плана.
Критерий A-оптимальности требует выбора такого плана, при котором дисперсионная матрица имеет минимальный след (минимальную сумму диагональных элементов).
Критерий D-оптимальности требует минимизации определителя дисперсионной матрицы.
Критерий G-оптимальности требует достижение наименьшей величины максимальной дисперсии зависимой переменной.
8
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 «ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ»
1. Цель работы
Исследовать радиоэлектронное средство (РЭС) с применением полного факторного эксперимента и получить математическую модель данного РЭС.
2. Полный факторный эксперимент
В полном факторном эксперименте (ПФЭ) исследуется один параметр и реализуются все возможные сочетания уровней факторов.
Для каждого фактора выбираются два уровня – верхний и нижний, на которых фактор варьируется. Половина разности между верхним и нижним уровнями называется интервалом варьирования. Интервал варьирования должен быть больше погрешности измерения уровня фактора (ограничение снизу), а верхний и нижний уровни фактора не должны выходить за область его определения (ограничение сверху). На практике интервал варьирования составляет обычно 3–10% от области определения.
При двух уровнях для каждого из n факторов общее число опытов составляет 2n. ПФЭ – это эксперимент типа 2n.
ПФЭ позволяет получит математическую модель исследуемого объекта в виде уравнения множественный регрессии или по линиям
y b0 |
n |
bi xi n n |
bik xi xk |
n n |
n |
bikl xi xk xl , , (2.1) |
|
i 1 |
i 1 k i 1 |
i 1 k i 1 l k 1 |
|||
где b0 – свободный член; bi , bik , bikl – коэффициенты уравнения множественный регрессии.
Так, например, при n = 2
у = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2,
при n = 3
y= b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b123x1x2x3.
Модели (2.1) обычно называют регрессионными, а коэффициенты b0, bi, bik, bikl, … – коэффициентами уравнения регрессии.
9
В зависимости от объема априорной информации в ММ включают не все, а лишь некоторые взаимодействия первого порядка, иногда – взаимодействия второго порядка и очень редко – взаимодействия выше третьего порядка. Связано это с тем, что учет всех взаимодействий приводит к громоздким расчетам. Зависимость количества взаимодействий различного порядка от числа факторов приведена в табл. 2.1.
Таблица 2.1 Количество взаимодействий для числа факторов от 2 до 7
n |
N=2n |
Число линейных |
|
Порядок взаимодействия |
|
||||
эффектов |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
2 |
1 |
– |
– |
– |
– |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
8 |
3 |
3 |
1 |
– |
– |
– |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
16 |
4 |
6 |
4 |
1 |
– |
– |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
32 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
– |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
64 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
128 |
7 |
21 |
35 |
35 |
21 |
7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полное число всех возможных эффектов (включая b0) равно числу опытов ПФЭ.
2.1. Стандартизация масштаба факторов
Для удобства расчетов масштаб факторов выбирают так, чтобы значение верхнего уровня было равно +1, а нижнего –1. С этой целью делают преобразование начала координат факторов и переходят к нормированному (стандартному) масштабу
~ |
~ |
|
|
|
xi |
(xi xi0 ) |
, |
(2.2) |
|
|
||||
где xi – нормированное значение; xi |
I |
|
– основной |
|
– натуральное значение; xi0 |
||||
~ |
|
~ |
|
|
уровень; I – интервал варьирования. Интеграл варьирования I равен
I=| ~xi - ~xi0 |
10