46

алгоритма, хотя и является рацио­нальным.

В общем можно сказать, что изменять порядок действий, огово­ренный правилом, можно только в тех случаях, когда это позволя­ют законы сложения и умножения (сочетательный и распредели­тельный). Для того, чтобы научить ребенка распознавать такие случаи, необходимо реализовать при обучении математике специ­альную систему формирования рациональных вычислений. Одним из элементов этой системы является знакомство ребенка с призна­ками делимости чисел.

Признаки делимости

Признаки делимости как таковые не рассматриваются в началь­ной школе специально. Единственным признаком делимости, рас­сматриваемым в новом учебнике математики можно считать по­нятие о четности натуральных чисел в учебнике 3 класса:

Числа, которые делятся на 2, называются четны­ми, а числа, которые не делятся на 2, — нечетными.

Однако целью введения данного определения является не столько знакомство детей с одним из признаков делимости (являющимися крайне полезными с точки зрения формирования вычислительных умений и рациональных вычислений), что видно из формы по­строения определения, а знакомство детей с еще одним матема­тическим термином (понятием), определенным по соглашению (методом сообщения ребенку термина и его значения).

Умение применять признаки делимости для рационализации вычислений является важным и полезным умением перспектив­ного характера, сохраняющим свою ценность в старших классах.

Признак делимости на 2:

Если последняя цифра числа делится на 2, то и са­мо число разделится на 2.

Например:

49 — последняя цифра 9 на 2 не делится, значит, и все число на 2 не разделится.

12 345 678 — последняя цифра 8 на 2 делится, значит, и все чис­ло на 2 разделится.

12 345 678 : 2 = 6 172 839

Признак делимости на 3:

Если сумма цифр числа делится на 3, то и само чис­ло разделится на 3.

Например:

375 — сумма цифр 3 + 7 + 5= 15 делится на 3, значит, и само число разделится на 3.

375 : 3 - 125.

679 — сумма цифр 6 + 7 + 9 = 22 не делится на 3, значит, и само число не разделится на 3.

Признак делимости на 4:

Если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число разделится на 4.

Например:

3732 — две последние цифры образуют число 32, которое де­лится на 4, значит число 3732 разделится на 4. 3732 : 4 = 933.

Число 3700 также разделится на 4, поскольку две последние цифры — это нули, а нуль делится на любое число. 3700 : 4 = 925.

Признак делимости на 5:

Если число оканчивается на 0 или на 5, то оно де­лится на 5.

Например:

3700 — делится на 5,3705 — делится на 5, а 3703 — не делится на 5.

Признак делимости на 9:

Если сумма цифр числа делится на9, то и само чис­ло разделится на 9-

Например:

7245 — сумма цифр 7 + 2 + 4 + 5= 18 делится на 9, значит и само число разделится на 9. 7245 : 9 = 805.

7234 — сумма цифр 7 + 2 + 3 + 4 = 16 не делится на 9, значит и само число не разделится на 9.

Признак делимости на 10:

Если число оканчивается цифрой 0, то оно разде­лится на 10.

Это единственный признак делимости, рассмотренный в учеб­нике математики для 4 класса в виде: «Чтобы число разделилось без остатка на 10, достаточно, чтобы в его записи на конце был хо­тя бы один нуль».

Следует отметить, что данное требование не только достаточное условие, но и необходимое.

Как следствие этого признака делимости, можно рассматривать признак делимости без остатка на 100 (1000): для делимости чис­ла на разрядную единицу нужно, чтобы число имело такое же ко­личество нулей на конце.

Признак делимости на 6:

Если число делится одновременно на 2 и на 3, то оно разделится на 6.

' Аналогичным образом можно определить делимость на 8. Она следует из одновременной делимости на 2 и на 4.

Вопрос о делимости натуральных чисел предполагает, что речь идет о делении нацело, т. е. без остатка. Таким образом, он предва­ряет знакомство детей с понятием «деление с остатком».

3. Деление с остатком

Тема «Деление с остатком» предваряет знакомство с письменным алгоритмом деления (в столбик). С математической точки зрения де­ление с остатком является более общим случаем, чем деление без ос­татка. Деление без остатка получается в случае равенства остатка ну­лю. Однако в связи с тем, что в начальной школе действие деления рассматривается как действие, обратное умножению, дети сначала знакомятся с делением без остатка, а затем с делением с остатком.

Конкретный смысл действия деления в общем смысле раскры­вается в процессе выполнения операций с предметными множест­вами: разбиении множества на равночисленные подмножества. При • таких операциях не всегда возможно получение равночисленных подмножеств. Для того чтобы продемонстрировать это детям, учитель снова вынужден возвращаться к предметным действиям, манипулируя небольшим количеством предметов, чтобы продемон­стрировать детям возможность получения неделимого остатка.

Например:

17 карандашей разложили в три коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?

Выполняя предметные действия в соответствии с заданной си­туацией, дети убеждаются в том, что выполнить такое разбиение множества карандашей невозможно. Остаются 2 карандаша, кото­рые нельзя распределить поровну в три коробки.

На основании выполнения подобных заданий, учитель вводит новую запись, позволяющую определить роль оставшихся в про­цессе распределения предметов:

17:3 =5 (остаток 2) и поясняет, что действие, записанное та­ким образом называют «деление с остатком».

В данной записи: 17 — делимое, 3 — делитель, 5 — неполное част­ное от деления 17 на 3, 2 — остаток.

Для проверки правильности выполненного деления следует:

1. Умножить неполное частное на делитель (5 • 3).

2. К полученному произведению прибавить остаток (15 + 2 = 17). В буквенном выражении данные операции соответствуют об­щему правилу деления с остатком:

а : Ь = g (ост. р), тогда а = g • Ь +р

В общем виде правило деления с остатком в начальной школе не рассматривается.

Основное требование к делению с остатком:

При делении остаток всегда должен быть меньше делителя.

Это основное требование к делению с остатком. При выполне­нии деления с остатком всегда следует проверять выполнимость этого требования по завершении деления. Если остаток получил­ся больше делителя, это означает, что деление выполнено неверно.

Например, при делении любого числа на 7 остаток может быть 1, 2,3,4, 5, 6. Но не может быть 8 или 9.

Для закрепления понимания данной закономерности учитель предлагает детям задания вида:

1. Какой остаток может получиться при делении натураль­ного числа на 2; на 3; на 6?

Ответ: При делении на 2 остаток может быть только 1; при делении на 3 — остаток может быть 2 и 1; при делении на 6 остаток может быть 1,2,3, 4, 5.

2. Ученик выполнил деление 144 : 15 = 8 (ост. 24). В чем заключается его ошибка? Исправьте ошибку.

Ответ: Остаток должен быть меньше делителя, а в данном случае 24 >15, значит, деление выполнено неверно.

3. Найдите делимое в примерах:

о: 12 = 3 (ост. 1) Ь: 26 = 7 (ост. 4) Ответ: По общему правилу деления с остатком 0=12-3+1 = 36+1=37 6=26-7 + 4= 182 + 4=186.

4. Найдите делители в примерах:

56 : о=11 (ост. 1) 93 : Ь = 2 (ост. 3)

Ответ: По общему правилу деления с остатком

о- 11+ 1 = 56; о- 11 = 56-1; о-11 = 55; о=55: 11; о=5

Ь • 2 + 3 = 93; Ь • 2 = 93 - 3; Ь • 2 = 90; Ь = 90 : 2; Ь = 45

Для нахождения результатов деления с остатком в начальной школе используют два основных приема:

1) При делении вида 27:5 основным приемом нахождения резуль­тата является опора на таблицу умножения. В качестве неполного частного подбирается такое значение множителя, чтобы при умно­жении на 5 (на делитель) получалось число, ближайшее к 27 (дели­мому). В данном случае — это число 5. Остаток в таком случае равен 2, что удовлетворяет основному требованию к делению с остатком.

Например:

Раздели 34: 9.

Подбираем значение частного так, чтобы при умножении его на 9 получилось число, ближайшее к 34. Это 3. Проверим 9 • 3 = 27. Найдем остаток 34 - 27 = 7. Сравним его с делителем 7 < 9.

Значит, 34 : 9 = 3 (ост. 7).

Если ребенок лучше помнит таблицу деления, то можно ориентироваться на нее. В этом случае рассуждения будут несколько иными. Например:

Раздели 34: 9.

Вспомним самое большое число до 34, которое делится на 9. Это 27. 27 : 9 = 3. Проверим остаток: 34 - 27= 7. 7 < 9, значит, деление выполнено верно. 34 : 9 - 3 (ост. 7)

2) При делении с остатком вида 85 :15 применяется прием под­бора частного с проверкой, поскольку этот случай не может опи­раться на знание табличного умножения или деления. В этом случае примерную цифру частного следует проверять умножением до тех пор, пока не подберется цифра, умножение которой на делитель даст в результате число, близкое к делимому.

Например:

Раздели 85: 15.

При подборе цифр частного следует применять все рациональ­ные приемы, оговоренные ранее. В данном случае можно исполь­зовать прием округления: число 15 округляем до 20 и сразу прове­ряем цифру 4: 20 • 4 = 80 < 85 — не подходит. Проверяем цифру 5 сразу на делителе: 15 • 5 = 75. Находим остаток: 85 - 75 = 10 < 15.

Значит деление закончено и выполнено верно: 85:15 = 5 (ост. 10).

В новом учебнике математики для 3 класса рассмотрен особый случай вида 3 : 4. Рассмотрение таких случаев является необходи­мой подготовкой к обучению делению в столбик, поскольку могут попадаться случаи, когда неполное делимое не делится на дели­тель, и в этом случае в частном в данном разряде записывается 0.

Например:

Раздели 612: 6.

При делении данного числа имеем 6 сот.: 6 = 1 сот.

1 дес. нельзя разделить на 6 так, чтобы в частном получились десятки, поэтому в разряде десятков запишем 0, добавим к 1 дес. еще 2 ед. и разделим 12:6 = 2.

2 единицы запишем в разряд единиц. Таким образом 612:6 = 102.

Выполнить этот случай письменного деления невозможно с пол­ным осознанием смысла процесса, если ребенок не знаком со случаями получения нулей в неполном частном.

Для знакомства с этими случаями рассматривают деление вида 3:4.

Рассуждают следующим образом: 3 нельзя разделить на 4 так, чтобы получить целые единицы в частном, поэтому в частном за­пишем 0, а неразделенное число 3 запишем в остаток:

3:4 = 0 (ост. 3)

В новом учебнике математики для 3 класса при знакомстве с делением с остатком вводится новый вид записи действия деле­ния — «уголок»:

Этот вид записи ребенок будет в дальнейшем использовать при письменном делении. Здесь эта запись используется в ознакоми­тельном плане.