Министерство образования и науки Российской Федерации

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК)

Зимин В.М.

Методические указания

к выполнению лабораторных работ по разделам

сфероидической и теоретической геодезии курса

“Высшей геодезии”

Для студентов III–IVкурсов

факультетов АФ, КФ и ФЭУТ

Москва 2007 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Лабораторная работа № 1. Определение параметров основных элементов

земного эллипсоида и декартовых координат точки его поверхности . . . . . . . . 6

2. Лабораторная работа № 2. Вычисление длины дуги координатных линий

земного эллипсоида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Лабораторная работа № 3. Вычисление длины рамок и площади съемочной

трапеции масштаба m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Лабораторная работа№4. Решение малого сфероидического треугольника 12

5. Лабораторная работа №5. Решение главных геодезических задач на

поверхности эллипсоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 17

6. Лабораторная работа №6. Вычисление плоских прямоугольных координат

проекции Гаусса – Крюгера по криволинейным геодезическим координатам

и обратно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Лабораторная работа №7. Переход от одного осевого меридиана зоны к

другому в проекции Гаусса -Крюгера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

8, Лабораторная работа №8. Редуцирование треугольника с поверхности

Земли на поверхность эллипсоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

9. Лабораторная работа №9. Редуцирование треугольника с поверхности

эллипсоида на плоскость проекции Гаусса – Крюгера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10. Лабораторная работа № 10. Вычисление аномалий силы тяжести

и построение гравиметрической карты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

11. Лабораторная работа №11. Вычисление нормальных и динамических

высот для разомкнутого нивелирного хода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Введение

Курс высшей геодезии изучается студентами всех основных факультетов Университета, включая вечернего и заочного обучения.

Изучение вопросов высшей геодезии принято делить на три самостоятельных раздела: основные геодезические работы,сфероидическую геодезию итеоретическую геодезию. В первом рассматриваются теоретические и практические вопросы построения геодезических сетей; методы и способы геодезических измерений; технические средства измерений; предварительные вычисления и уравнивание сетей. Во втором - вопросы параметров основных элементов земных эллипсоидов, применяемых в России (Красовского,WGS-84 и ПЗ-90) и решения различных задач на их поверхности. В третьем - изучаются вопросы теоретических основ и методов решения научных проблем высшей геодезии; рассматриваются принципы определения поверхности и гравиметрического поля Земли при совместном использовании астрономо-геодезических, гравиметрических и спутниковых измерений, вопросы, связанные с преобразованием геодезических координат при переходе к прямоугольным координатам на плоскости и пространственным прямоугольным координатам; вопросы редуцирования геодезических измерений с поверхности Земли на поверхность относимости и далее на плоскость; вопросы составления гравиметрических карт аномалий силы тяжести, технологии определения разности нормальных и динамических высот и ряд других вопросов.

Особенностью изучения дисциплин курса высшей геодезии студентами негеодезических факультетов является то, что отводимое на это учебное время существенно ограничено и различно для специальностей факультетов АФ, КФ и ФЭУТ. В связи с этим объем и содержание лабораторных работ также различны.

Имеющиеся учебные пособия (“Практикум по высшей геодезии”, отдельные методические указания) для выполнения практических работ по курсу высшей геодезии составлены преимущественно для студентов геодезических специальностей. Подобного методического руководства по выполнению лабораторных работ по разделам теоретической и сфероидической геодезии для студентов негеодезических специальностей не имеется. Кроме того, в имеющихся пособиях из-за давности их издания содержатся существенные недостатки метрологического характера в области терминологии, названия и обозначения размерности измеряемых физических величин.

В связи с этим в целом возникают трудности в обеспечении преподавателей и студентов банком данных по составу и объему лабораторных работ для студентов негеодезических специальностей.

Настоящие единые методические указания разработаны на основе многолетнего опыта проведения лекций и лабораторных работ по высшей геодезии для специальностей факультетов ФФ, КФ и ФЭУТ и с учетом “Основных положений о государственной геодезической сети Российской Федерации” 2003 года. Они включают весь объем заданий на лабораторные работы и их методическое обеспечение в соответствии с учебной программой. Количество и конкретные виды лабораторных работ определяются для каждой специальности преподавателем в зависимости от реально отведенного учебного времени, предусмотренного календарными планами.

Новой отличительной чертой настоящих методических указаний является решение задач не только на одном референц-эллипсоиде Красовского, но и на эллипсоидах общеземных.

Спецификой решению многих задач по сфероидической и теоретической геодезии является необходимость “удержания” большого числа значащих цифр (иногда до 10 знаков после запятой). Поэтому выполнение лабораторных работ рассчитано на применение современных вычислительных технических средств.

Для наиболее сложных лабораторных работ приведены примеры решения подобных задач с ориентировкой удержания необходимого числа знаков исходных, определяемых и промежуточных величин.

Каждый студент выполняет лабораторные работы по своему варианту, установленному постоянно по номеру в списке журнала группы и представляет письменный отчет по определяемой преподавателем форме и в указываемый срок. Это позволяет значительно сократить объем содержания методических указаний.

В задании указываются исходные данные и возможные способы решения поставленной задачи, необходимые константы и графические пояснения.

В ряде задач в качестве исходных данных принимаются результаты предыдущих лабораторных работ. В связи с этим строго придерживаться устанавливаемых преподавателем сроков выполнения и защиты отчетов студентами.

Лабораторная работа №1

Определение параметров основных элементов земного

эллипсоида и декартовых координат точки его поверхности

Целью лабораторной работы является ознакомление с реальными значениями параметров основных элементов различных земных эллипсоидов, применяемых в России: Красовского, WGS – 84 и ПЗ – 90. Полученные результаты (формулы и константы) в дальнейшемvиспользуются как справочный материал при решении задач других последующих лабораторных работ.

Дано:

1.Значения исходных параметров элементов эллипсоида:

Красовского WGS – 84 ПЗ –90

Полуось “а” 6 378 245 м 6 378 137 м 6 378 136 м

Сжатие “α” 1 : 298,3 1 : 298,25 1 : 298,257839

(0,003 352 330 0,003 352 891 0,003 352 804)

2.Криволинейные координаты (геодезические) точки поверхности эллипсоида по вариантам n, гдеn– номер студента по списку в журнале учебной группы:

широта B= 55⁰ 10' 00,000” +10'n; долготаL= 37⁰30' 00,000”.

Определить:

1. Значения параметровосновных элементов эллипсоида Красовского, WGS – 84 и ПЗ- 90:

1) значение малой полуоси b = a (1 - α) определить до 10^-4метра.

2) квадрат значения первого эксцентриситета: е²= α(2 - α);

3) квадрат значения второго эксцентриситета: (е¹)² = е²/ (1- е²);

значения эксцентриситетов определять до 10 ^–10 знака.

4) значение полярного радиуса кривизны: с = а² /b( до 10^-4метра).

Контроли: b²= а²(1-е²), b = a²/ c , е² = (a² –b²)/ a², (е¹)² = (a² –b²)/ b²,

α = (a –b)/ a = α =1 - √ 1 - е² a – b = a α; с = а/ (1 - α).

2. Значения основных (1-й и 2-й) сфероидических функций (W и V) геодезической широты B:

W_i² = (1 - е²sin²B_i);V_i²= (1+ (e¹)²cos²B_i).Контроль:aW=bV.

3. Значения главных радиусов кривизны главных нормальных сечений и среднего радиуса кривизны: меридиана - м, первого вертикала – n, радиуса кривизны - Rср:

М = с / V³ ; N = c / V = а / W = a / (1 – е² sin²B)^1/2 ; R_ср. = √ MN , удерживая 10^-4 м. Контроль: N / M = V².

4. Значения декартовых координат заданной точки поверхности эллипсоида, используя параметрические уравнения поверхности эллипсоида:

x = a cosUcosL,

y = a cosUsinL,

z = b sin U,

где U– приведенная широта:tgU=(1-e²)^1/2tgB.

Координаты вычислять до 0,001 м.

Контроль: x = N cosBcosL,

y = N cosBsinL,

z =N(1 – e²)sin B.

Полученные в первой работе значения параметров элементов земного эллипсоида являются справочными данными при выполнении последующих лабораторных работ.

Справка. В последующих лабораторных работах для значенийρиспользовать:

ρ⁰ = 57, 295 779 51⁰; ρ' = 3437,74677'; ρ” = 206264,8062”.

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 1).

2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава 1).

3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г.(глава 4).

4.Конспект лекций.

Лабораторная работа №2

Вычисление длины дуги координатных линий

земного эллипсоида

Координатными линиями земного эллипсоида являются его меридианы и параллели. Геодезическими координатами точки на поверхности эллипсоида являются широта В и долгота L.

Цельюлабораторной работы является закрепление теоретических знаний по данной теме и практическое сравнение результатов вычислений для различных земных эллипсоидов.

Дано: координаты первой точки дуги

B₁=55⁰10'00,000”+10'n;

L₁ = 37⁰ 30' 00,000”,

где n– номер студента по списку в журнале.

1.Вычислить значение длины дуги меридианаэллипсоида Красовского,WGS-84 и ПЗ- 90 между точками с разностью их широт ΔВ =2⁰(В₂ = В₁ + 2⁰) тремя способами:

1) с погрешностью не более 0,0001 м(по разности дуг от плоскости экватора):

ΔХ = Х₂ – Х₁,

где Х_i = а₀ В_i – а₂ /2 sin2B_i + a₄/4 sin4B_i –a₆ /6 sin6B_i + ... .

Коэффициенты “a” для конкретного эллипсоида определяются по формулам:

а₀ = m₀ +m₂/2 +3/8 m₄, m₀ = a (1 – e²),

a₂ = m₂/2 + m₄/2 + 15/32 m₆,_, m₂ = 3/2 e² m₀,

a₄ = m₄/8 + 3/16 m₆, m₄ = 5/4 e² m₂,

a₆ =m₆/32,m₆= 7/6e² m₄,

где а –значение большой полуоси эллипсоида,

е - значение первого эксцентриситета.

Например, для эллипсоида Красовского с а = 6 378 245 м и

α=1: 298,3 имеем:

а₀= 6 367 558,497 м, а₂= 32 072,960 м, а₄= 67,312 м, а₆= 0,132 м.

2) с погрешностью не более 0,02 мс вычислением по формуле Симпсона:

ΔХ = ΔВ/6 (M₁ + 4M_cр+ М₂),

где радиус кривизны М_i вычисляют по широте точек В₁,_,В_ср. и В₂ соответственно.

3) с погрешностью не более 2 м:

ΔХ = М_ср.ΔВ.

2. Вычислить значение длины дуги параллелипри разности долгот ΔL= 2⁰ на широтах пунктов с В₁и В₂тех же эллипсоидов:

Δy_i = N_i cos B_i ΔL

3. Составить таблицу сравнениязначений длины дуги меридиана и параллели: разности широт и долгот в 1⁰ - в км, в 1^י и 1” - в метрах.

Значения длины дуги меридиана и параллели в 1⁰, 1' и 1” являются справочным материалом при выполнении оценки точности результатов многих промежуточных вычислений.

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 1).

2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава4).

3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. ( глава15).

4. Конспект лекций.

Лабораторная работа №3

Вычисление длины рамок и площади съемочной трапеции

масштаба m

Схема трапеции

В а₂ C

сdс

А а₁D

Целью работы является закрепление теоретических и практических знаний на примере определения длины координатных линий при расчетах размеров трапеций картографических материалов.

Дано:масштаб трапеции 1: 50 000, значение широты точки А рамки а₁ трапеции условно принять равным В₁= 50⁰ +10'n, гдеn- номер студента по журналу. Широта точки В₂ рамки а₂ определяется в соответствии с номенклатурой трапеции.

Вычислитьдля топографической карты масштаба 1: 50 000:

1. Значения длины рамок a₁, a₂, c и диагонали d трапеции в см

на поверхности эллипсоидов Красовского, WGS-84 и ПЗ.

Рабочие формулы выбрать из работы 2. Значения ΔВ и ΔLопределяются масштабом трапеции. Для выражения размеров рамок “a”, “с” и “d” в сантиметрах в числитель рабочих формул вводится коэффициент “100” , а в знаменатель - коэффициент, равный значению знаменателяmмасштаба (50 000).

Для графического контроля размера трапеции вычисляют значение ее диагонали “d” как:d²=(а₁а₂+ с²).

2. Площадь съемочной трапеции с погрешностью до 0,01 км².

Р _км² = b² ΔL(sin B₂ – sin B1 + I + II + III) км² ,

где: b– значение малой полуоси эллипсоида в км;

I = 2/3 е² (sin³B₂ – sin³B₁),

II = 3/5 е⁴ (sin⁵B₂ – sin⁵B₁),

III = 4/7 е⁶ (sin⁷B₂ – sin⁷B₁).

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 1).

2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава4).

3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. ( глава15).

4. Конспект лекций.