1. Случайное событие – событие, которое в данных условиях может произойти, а может не произойти.Статистическое определение вероятности: Вероятностью случайного события А называется число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.Классическое определение вероятности: Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Р(А) = m/n

Совместимые события – это события, для которых наступление одного из них не исключает возможности наступления других в данном испытании, т.е. они могут появиться вместе.Несовместимые события - это события, для которых наступления одного из них исключает наступление других в одном и том же испытании, т.е. они не могут появиться вместе.Событие A называется зависимым от события B, если возможность наступления события A зависит от того, произошло событие B или нет.Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

2).Теорема сложения: вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных равна сумме их вероятностей. P(A или B)=P(A)+P(B)..Теорема умножения: вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей. P(A и B)=P(A)*P(B)..Условная вероятность – вероятность некоторого события при условии того, что другое событие произошло, либо не произошло. Например, событие А произойдет при условии реализации события В. В таком случае используют обозначение Р(А/В).Теорема умножения вероятностей для зависимых событий: вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В. P(A и B)=P(A)*P(B/А)

3) Распределением случайной величины называется зависимость вероятности её появления от численных значений этой величины.

Математическое ожидание имеет смысл среднего значения случайной величины. Для дискретных случайных величин оно определяется, как сумма произведений случайной величины на вероятность ее появления:

Дисперсия описывает разброс случайных величин относительно математического ожидания. Дисперсия дискретных случайных величин определяется, как сумма произведений квадратов разности случайных величин и математического ожидания на соответствующие вероятности появления этих случайных величин:

Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии:

4) Математическое ожидание: для непрерывных случайных величин - это операция интегрирования математич.ожидания для дискретных величин: Дисперсия для непрерывных случайных величин:

Среднее квадратическое отклонение, как и у дискретных:

5) Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств.Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений: число букв на произвольной странице книги, энергия электрона в атоме, число волос на голове человека и т. д.Непрерывная случайная величина принимает любые значения внутри некоторого интервала: температура воздуха за определенный промежуток времени, масса зерен в колосьях пшеницы, координата места попадания пули в цель( принимаем пулю за материальную точку) и т.д.

Биномиальный закон (распределение Бернулли)В общей форме биномиальный закон описывает осуществление признака в  испытаниях с возвратом. Наглядной схемой таких испытаний является последовательный выбор с возвращением шаров из урны, содержащей  белых и  чёрных шаров. Если  — число появления белых шаров в выборке из  шаров, то

где  — вероятность появления при одном извлечении соответственно белого и чёрного,

Производящая функция биномиального распределения задаётся формулой

Основные характеристики биномиального распределения (математическое ожидание и дисперсия):

6) Непрерывные величины принимают бесконечное число возможных значений в конечном, или в бесконечном интервалах изменения. Например, время, масса, объем.Дискретные величины могут принимать конечное, счетное число случайных значений. Например, год рождения, число людей в автобусе, число страниц в книге.Распределению Пуассона удовлетворяют вероятности появления заданного кол-ва редко происходящих случайных событий, наблюдаемый в серии из большого числа независимых опытов. Это распределение описывает дискретные, целочисленные неотрицательные случайные величины, появляющиеся с вероятностью р, много меньшей 1.

P_n(m)=/m!)* ,

Где m-число ожидаемых событий, P_n(m)-вероятность появления m искомых событий в серии из n независимых испытаний, μ-параметр распределения, совпадающий с математическим ожиданием, е-основание натурального логарифма.

Формулы для вычисления математического ожидания случайной величины.

Для дискретных величин M=∑Xi * Pi

Для непрерывных величин M=

Формулы для вычисления дисперсии случайной величины, среднеквадратического отклонения

Для дискретных величин D=∑(Xi-Xср)² * Рi

Для непрерывных величин D= ² * f(x)dx

Среднеквадратическое отклонение δ=

7) Случайная величина (далее СВ) – величина, которая принимает значение в зависимости от стечения случайных обстоятельств. (Пр.: число больных на приеме врача, число студентов в аудитории, номер бочонка, когда его вынимают из мешка, при игре в лото и т.п.)

СВ называется дискретной (далее – ДСВ), если она принимает счетное множество значений. (Пр.: число букв на произвольной странице книге, число волос на голове человека, число молекул в выделенном объеме газа и т.п.)

СВ называется непрерывной (далее – НСВ), если она принимает любые значения внутри некоторого интервала. (Пр.: температура тела, масса зерен в колосьях пшеницы и т.п.)

Вероятность

- предел, к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний. (статистическое определение)

P(A)=lim_n→∞(m/n)

- отношение благоприятствующих случаев к общему числу равновозможных случаев к общему числу равновозможных несовместимых событий. (классическое опредедение) P(A)=(m/n)

Распределение вероятностей — закон, описывающий область значений СВ и вероятности их принятия.

1. Распределение ДСВ. Дискретная величина (Х) считается заданной, если указаны ее возможные значения (x_n) соответствующие им вероятности Р(х_n)=p_n. Совокупность Х и Р называется распределением ДСВ.

2.Распределение НСВ.

dP=f(x)dx

dP – вероятность того, что НСВ Х принимает значения между х и х+dх. Вероятность dP прямо пропорциональна интервалу dx.

f(x) – плотность вероятности (функция распределения вероятностей). Показывает, как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от самой этой величины.

f(x)=dP/dx

_x

F(x)=∫f(x)dx - функция распределения НСВ. Равна вероятности того, что СВ

^-∞

принимает значения, меньшие х.

F(x)=(-∞<X<x)

Нормальный закон распределения (закон Гаусса). СВ распределена по этому закону, если плотность вероятности имеет вид

a=M(X) – мат.ожидание СВ, σ – среднее квадратическое отклонение, σ²- дисперсия СВ.

Дисперсия СВ – МО отклонения случайной величины от ее МО.

D(X)=M[X-M(X)]

Удобная формула: D(X)=M(X²)-[M(X)]²

Кривая закона носит колокообразную форму, симметричную относительно прямой х=а (центр рассеивания). В точке х=а функция достигает максимума.

8) Стандартное нормальное распределение

Для непрерывных случ.величин описывается законом Гаусса. Распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где μ —математическое ожидание

σ² — дисперсия.

σ – среднее квадратич. отклонение этой величины

График симметричен относительно вертик.прямой Хmax = μ.

Стандартный интервал а</=х</=b

Вероятность попадания в него случайной величины

b

Р(а</=х</=b)= ар (плотность) (Х) dx

Доверительная вероятность α – некоторая заданная вероятность, с которой случ.величина попадает в определённый интервал.

Такой интервал – доверительный

Стандартные интервалы

(вместо < должно быть </=)

1. М- σ <х< М+ σ (α = 68%)

2. М- 2σ <х< М+ 2σ (α = 95%)

3. М- 3σ <х< М+ 3σ (α = 99,7%)

9) Основу статистического исследования составляет множество данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Реально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений случайной величины , является выборкой, а гипотетически существующая (домысливаемая) — генеральной совокупностью.Пример. Практически одна и та же случайно отобранная совокупность объектов — коммерческих банков одного административного округа Москвы, может рассматриваться как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков этого округа, и как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков Москвы, а также как выборка из коммерческих банков страны и т.д.Число наблюдений, образующих выборку, называется объемом выборки. Репрезентативности выборки - полнота и адекватность свойств генеральной совокупности, по отношению к которой эту выборку можно считать представительной. Изучение статистических свойств совокупности можно организовать двумя способами: с помощью сплошного и несплошного наблюдения . Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности, а несплошное (выборочное) наблюдение — только его части.Выборка образует вариационный ряд, если выборочные значения случайной величины упорядочены по возрастанию (ранжированы), значения же признака называются вариантами.

Характеристики выборки:Качественная характеристика выборки – кого именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.

10)Точечная и интервальная оценка параметра генеральной совокупности.Предположим, что по выборке нужно найти не интервал, в котором находится параметр, а одно число которое ближе всего к параметру. Под оценкой понимается любое число, рассчитанное по выборке и характеризующее параметр.Свойства точечной оценки:

Несмещенность – среднее выборочного распределения оценки равно величине параметра.

Состоятельность – при увеличении объема выборки оценка приближается к значения измеряемого параметра.

Эффективность – чем ниже дисперсия, т.е. чем меньше отличаются оценки, полученные в разных выборках, тем выше эффективность.

Интервальная оценка

Интервальная оценка включает в себя два компонента:

Интервал в котором ожидается обнаружить оцениваемый параметр генеральной совокупности;

Вероятность обнаружения параметра в данном интервале.

2Основными параметрами генеральной совокупности являются математическое ожидание и дисперсия входящих в нее величин.

.Генеральная средняя.

Пусть изучается генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения признака различны, то

Если значения признака имеют частоты N1, N2, …, Nk, где N1 +N2+…+Nk= N, то

.Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки различны, то

если же все значения имеют частоты n1, n2,…,nk, то

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.

. Генеральная дисперсия.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику — генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Если все значения признака генеральной совокупности объема N различны, то

Если же значения признака имеют соответственно частоты N1, N2, …, Nk, где N1 +N2+…+Nk= N, то

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой— средним квадратическим отклонением.

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии: