Метод двойной рекурсии

(модификация базового алгоритма

круговой интерполяции).

Запишем выражение для К+2 шага:

x[k+2]=a{ax[k]-by[k]}-b{bx[k]+ay[k]}

y[k+2]=b{ax[k]-by[k]}+a{bx[k]+ay[k]}

С учётом того, что y[k]=1/b{ax[k]-x[k+1]}

и a²+b²=cos²+sin²=1

Окончательно получаем:

x[k+2]=2ax[k+1]-x[k]

y[k+2]=2ay[k+1]-y[k] (***)

Методы и алгоритмы интерполяции

с использованием оценочной функции.

Основная идея реализуется в этих методах.

y F(x,y)=0 y=f(x) или F(x,y)=0

аналитически заданная

траектория движения

изображающей точки

х

Приращение координат хi и yi определяется поочерёдно как  элемент шагов (дискретность dz) в процессе минимизации.

F(xi, yi, Ni)min

где N – число элементарных шагов.

Xi = Ni dz (приращение координаты x) (по у координате аналогично).

F(x, y) = 0, такая, что её значения имеют разные знаки при движении в окрестности программ траектории – называется оценочной функцией.

Она позволяет организовывать скользящее движение рабочего органа по траектории с шириной трубки точности 2dz(dz).

Общий вид оценочной функции (теоретической)

F(x, y, t)=S(x, y, z)*dS(x, y)/dx=S(x, y)/y

где S(x,y) – неявная форма аналитического задания траектории.

F (xi, yi, Ni)  min где Ni – число шагов по координате x.

Ni= var xi=Nidz

По y-аналогично.

F(xi, yi, Ni)min (Xi – фиксируется)

Ni –var где Ni – число шагов по координате у. хi = Nidz

Алгоритм линейной интерполяции с оценочной

функцией на плоскости.

y

yкон

yнач=0

хнач=0 хкон х

Неявная форма уравнения прямой:

у – yнач х – хнач укон

S(x, y) =  -  = у -   х = 0

укон - унач хкон - хнач хкон

F(x,y) = хкон  у – укон  х – оценочная функция.

В многокоординатных СЧПУ используется универсальный алгоритм линейной интерполяцией оценочной функцией в абстрактных координатах , , .

где  - наибольшая координата (РО – с наибольшем перемещением).

Тогда ОФ для координат  и  имеет вид:

F(,)=кон-кон, а для координат  и 

F(,)=кон-кон, для  и 

F(,)=кон-кон

Составим рекуррентные выражения для вычисления значений ОФ (на примере F(,).

При шаге по :

F(,)=F(i,i)+кон

(*)

При шаге по :

F (i+1,i) = F (i, i) +кон

Алгоритм (*) можно усовершенствовать с учётом того, что  - наибольшая координата.

При F(i,i)>0 делается приращение только по :

F(i+1, i) = F(i, i) - кон,

а, при F(i,i)<0 делается приращение и по  и по  одновременно.

F (i+1,i+1) = F (i, i) + кон - кон.

Схема алгоритма ЛИ с ОФ

(для 4-х координатных СЧПУ).

Будем обозначать:

1. F (i, i)  Fi

2. F (i+1, i+1)  Fi + 1 и так далее.

Начало

Нет

Fi(,)>0

Шаг только по  Да шаг по 

Fi + 1= Fi + кон Fi+1=Fi+кон-кон

Начало 3

Fi( , )>0 Нет

Шаг только по  Да Шаг по 

Fi + 1 = Fi - кон Fi+1=Fi+кон+кон

Начало 2

Fi(,) Нет

Шаг только по  Да

Fi+1=Fi-кон Fi+1=Fi+кон-кон

Начало 1

Шаг по , i+1=i-1 где 1  dz

Нет

=0

Да

Конец обрабатываемого

кадра

Конец

Во избежании ошибки на одну дискрету по координатам , ,  необходимо на первом шаге выдать приращение dz по всем координатам.

Подготовка данных кадра управления программно включает в себя:

а) Сортировку конечных значений реальных координат и их идентификация с абстрактными координатами , , , при этом в качестве  кон должна применяться наибольшая координата.

б) Выбор начала алгоритма зависит от цикла нулевых координат.

в) Необходимая частота выдачи элементов шагов по наибольшей координате определяется в заданной скорости Vk и угла.

fт = 1/T = Vkкон/dz/(кон²+кон²+кон²+кон²)^1/2