Лаба3_Рус
.docxАлматинский университет энергетики и связи
Кафедра вышей математики
Теория вероятности и математическая статистика
Лабораторная работа № 3
Тема: Применение MathCad к решение задач теории вероятности
Выполнил: ст. гр. АУ-12-5 Курамшин Руслан
Проверил: ст. преподаватель Жуматаева С.А.
3 Лабораторная работа №3
Тема: Применение Mathcad к решению задач теории вероятностей
Содержание:
-
непосредственный подсчёт вероятностей;
-
формулы полной вероятности, Байеса;
-
формулы Бернулли, Пуассона, локальная и интегральная теоремы
Лапласа;
-
дискретные и непрерывные случайные величины;
-
некоторые основные законы распределения случайных величин.
Задание 1. В урне N шаров одинакового размера и веса, среди них M белых, остальные чёрные. Шары тщательно перемешаны. Найти
1) относительную частоту белых шаров в урне;
2) вероятность того, что все m шаров, взятых наугад из урны, будут белыми;
3) вероятность того, что среди m шаров, взятых наугад из урны, будет m белых.
№ |
N |
M |
m |
m |
1.4 |
80 |
9 |
5 |
3 |
У к а з а н и е. Относительная частота события А находится по формуле
Р(А) = m/ n, где n общее число испытаний, m число появления события А; вероятность появления события А находится по формуле Р(А) = m/ n, где m – число испытаний, благоприятствующих появлению события А, n – общее число испытаний; в пунктах 2) и 3) общее число испытаний одно и то же
При вычислении числа сочетаний в Mathcad используется функция combin; combin(Q,R) вводится как функция пользователя C(Q,R), позволяющая получать значения сочетаний при произвольных Q и R.
Выполнение задания
Итак, 1) Р(А) =0.113;
Р(А) = m/ n = 3.49410;
Р(А) = m/ n =8.686 10;
Задание 2. В сборный цех поступило 1000 деталей из трёх цехов: n деталей из первого цеха, n- из второго, остальные из третьего. В первом, втором и третьем цехах производится соответственно m, m и m процентов нестандартных деталей. Наугад выбрана одна деталь:
1) найти вероятность того, что она нестандартная;
2) выбранная деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того,
что она сделана в i – том цехе (i =1,2,3).
№ |
n |
n |
m |
m |
m |
i |
2.4 |
650 |
120 |
10 |
9 |
8 |
2 |
У к а з а н и е. Пусть событие А – выбрана нестандартная деталь, а события В, В, В- деталь сделана соответственно в первом, втором, третьем цехе (эти события называются гипотезами).
1) вероятность события А находится по формуле полной вероятности: Р(А) = Р(В)Р(А/ В)+Р(В)Р(А/ В)+Р(В)Р(А/ В), где Р(А/ В) – условные вероятности того, что выбранная наугад деталь из i– го цеха (i=1,2,3).
Выполнение задания:
3. Проводится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p. Найти вероятность того, что событие А появится:
1) ровно k раз;
2) менее k раз;
3) более k раз;
4) хотя бы один раз;
5) от k до k раз.
Для а) использовать формулу Бернулли, где это возможно; для б) – локальную и интегральную теоремы Лапласа.
№ |
n |
k |
k |
р |
3.4 а) |
10 |
4 |
8 |
0,4 |
б) |
100 |
65 |
75 |
У к а з а н и я. а) По формуле Бернулли , определяется вероятность появления раз некоторого события в независимых испытаниях, . Вероятности событий В, С и Е определяются как суммы вероятностей: - вероятность того, что событие произойдёт более, чем раз в независимых испытаниях, т.е. или +1,…, или раз; - вероятность того, что событие произойдёт менее раз в независимых испытаниях, т.е. или 0, или 1,…, или раз; - вероятность того, что событие произойдёт от до раз включительно. Эти вероятности называют комулятивными (накопленными). Все эти вероятности в Mathcad можно вычислить непосредственно с использованием функции combin или с применением встроенных функций dbinom и pbinom.
Выполнение задания
Таким образом,
1) =0,011;
2) 0,633;
3) 0,0001678;
4)==0,994, где противоположное D событие;
5)
б) в случае, когда число независимых испытаний велико, вероятность можно определить по локальной теореме Муавра-Лапласа: , где , , (значения этой функции находят из таблиц или с помощью встроенной функции dnorm в системе Mathcad). Применение компьютера позволяет и в этом случае найти точное значение по формуле Бернулли.
Для определения вероятностей событий В, С и Е используют интегральную теорему Муавра-Лапласа: вероятность того, что число появления некоторого события будет находится в промежутке от до приближённо равна , где , , - функция Лапласа, значения которой находятся из специальных таблиц или с помощью встроенной функции pnorm в системе Mathcad.
Выполнение задания
Итак,
1) по таблице: =
2)=;
3) =;
4) =1
5)=
4. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения. Найти
1) её функцию распределения F(x), построить график F(x);
2) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду;
3) вероятность попадания Х в интервал (a;b).
4.4
|
Х |
-4 |
-3 |
-2 |
0 |
1 |
2 |
а |
b |
Р |
0.2 |
0.08 |
0.23 |
0.27 |
0.12 |
0.1 |
0 |
1 |
У к а з а н и я. Функция распределения для дискретной случайной величины находится по формуле =, где суммирование ведётся по всем , для которых .
Числовые характеристики для дискретной случайной величины определяются так: математическое ожидание: ;
дисперсия : или ; среднее квадратическое отклонение: ; мода дискретной случайной величины (обозначается ) – это её значение, принимаемое с наибольшей вероятностью.
Вероятность попадания в интервал (а;b) находится по формуле .
Выполнение задания
Итак, математическое ожидание = -1,18; вычисление дисперсии проведено по обеим формулам и равно D(x)=3,968; мода = 0; среднее квадратическое отклонение ;
3) вероятность попадания Х в интервал (0;1):
= 0,12
5. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x). Найти
1) её функцию распределения F(x);
2) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану;
3) вероятность попадания Х в интервал (a;b).
Построить графики F(x) и f(x).
№ |
f(x) |
а |
b |
5.4 |
0 |
6. Аппаратура состоит из n элементов. Вероятность отказа одного элемента за время t не зависит от состояния других элементов и равна р. Найти:
1) закон распределения числа отказавших элементов;
2) вероятность отказа не менее m элементов.
№ |
N |
m |
р |
6.4 |
2000 |
5 |
0,002 |
У к а з а н и я. Дискретная случайная величина – число отказавших элементов распределена по закону Пуассона ( формула Пуассона определяет приближённое значение вероятности , когда вероятность р мала, а число n велико, но небольшое число; точное значение определяется по формуле Бернулли). Поэтому: , где
==2, , . В среде Mathcad закону распределения Пуассона соответствуют специальные функции с корневым словом pois.
Таким образом, =0,135; = 0.27; =0,27; 0,18, и т.д. =3.819*10^(-5) и т.д.
Искомый закон распределения:
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
10 |
… |
|
р |
0,135 |
0,27 |
0,27 |
0,18 |
… |
3.819*10^(-5) |
… |
2)
Итак, вероятность отказа не пяти элементов равна:
или = 1 – 0,03 = 0,97.
7,4
7. Случайная ошибка измерения подчинена нормальному закону распределения с параметрами а и . Найти:
1) плотность распределения f(x);
2) функцию распределения F(x);
3) математическое ожидание, дисперсию;
4) вероятность попадания в интервал ;
5) вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине .